イタリア語
: アンドレア・サンブゼッティ、ローマ大学
ここをクリックすると、1:1スケールの模型の図が表示され、印刷して切り取ることができます。
2色の異なるブリストル厚紙に4部コピーすれば、組み立て方の指示に従って、自分で模型を作ることができます。
このサイトのトップページ左側で、奇妙な物体が休みなく回転しているのをきっとご覧になったことでしょう。それは何でしょうか？
いつか時間ができたら、1979年1月号の『Pour la Science』に描いたような、球の裏返し方の説明をこのサイトに掲載します。つまり……22年も前のことです！ それには多くの細部と導入が必要でしょう。「球を裏返す」とはどういう意味でしょうか？ 球は、普通の人と数学者・幾何学者では同じ意味を持ちません。普通の人にとっては、定点Oから距離Rにある空間の点の集合にすぎません。しかし幾何学者は、たとえばジャガイモのような「変形した球」に相当する物体も、引き続き「球」と呼ぶでしょう。これらの概念をより正確に理解するには、LanturluのCDに収められた漫画『Topologicon』を入手してください。
しかし数学者はさらに少し先へ進みます。曲面は、その各点において接平面を定義できるとき「正則」と呼ばれます。これによってすでに、球の無限に可能な正則変形を、ジャガイモの無限に可能な形において、しかもその曲面の面積を任意に変化させながら、考えることができます。
そうは言っても、私たちの物理的宇宙では、球を裏返そうとする人（つまりその内側の面を外側へ出す人）は、その曲面を自己貫通させることができないという不可能性に直面します。この仮定を採用するとき、つまり曲面が自己貫通すること、あるいは単に「触れる」ことさえ禁じられるとき、数学者は球S2の埋め込みについて語ります。しかし数学者はいつでも何でも許します。数学者にとって球は「仮想的」で非物質的な対象であり、そこでは層の貫通が可能と見なされます。以下の一連の図は、自己貫通する球を示しています。このような、つまり自己貫通を許す表現は、はめ込みと呼ばれます。
したがって、はめ込みは自己交差の集合を持ちます（ここでは単純な円曲線です）。しかし接平面は連続的に変化しなければなりません。以上を前提として、上の図を見ると、この操作が曲面の一部（緑で表されている）を外側へ運ぶことがよく分かります。裏返しを完成させるには、この赤道状の管のようなものを押しつぶさなければならないでしょう。ここに問題があるように思われます。この押しつぶしは接平面の連続性を破壊し、したがってこの変形には、はめ込みではない段階が含まれることになるのです。
ある日、アメリカの数学者スティーヴン・スメイルが、「球S2はただ一つのはめ込みの類を持つ」ことを証明しました。この謎めいた文の系として、「標準的な」球からその「対蹠的」表現、つまり各点がその対蹠点と交換される表現へ、真のはめ込みだけを含む変形によって移行できなければならないという事実がありました。要するに……裏返された球です。
ラウル・ボットはスメイルの上司でした。この事実の形式的証明が正しいように思われる一方で、誰もこの裏返しの操作を具体的に実現できるようには思われませんでした。ボットはスメイルに「どう進めるつもりか見せてくれ」と繰り返し尋ね、それに対して、遠慮のないことで知られるスメイルは「皆目見当がつかない」と答えていました。
スメイルは後にフィールズ賞、数学におけるノーベル賞に相当するものを受賞しました。ちなみに、なぜ数学のノーベル賞が存在しないのかと疑問に思うかもしれません。答えは簡単です。彼の妻が数学者と駆け落ちしたのです。
事態はかなり長い間そのままでした。やがて1967年、アンソニー・フィリップスというアメリカの数学者が『Scientific American』に、この裏返しの極めて複雑な最初の版を発表しました。二番目のものは1970年代初頭に、フランスの（目の不自由な）数学者ベルナール・モランによって発明されました。私がその変形の連続を最初に描いたのであり、それはすでに予告したとおり、このサイトの今後の記事の対象となるでしょう。もっとも、それにはかなりの分量があります。
いずれにせよ、これらすべてはある考察へと導きます。曲面は多面体的な形で表すことができます。立方体や四面体は球の多面体的表現と見なせます。つまり、これらの対象は同じ位相を持つのです。この点については、私の『Topologicon』を参照してください。さらに、球を裏返すことが可能なら、立方体を裏返すことも同様に可能であることが分かります。ベルナール・モランが発明した変形（私が1979年1月号の『Pour la Science』の記事で図解したもの）は、中心模型を経由します。この連続には対称性があります。それを私は「4つの耳を持つ中心模型」と呼んでいます。先走って話していますが、ともかく、球が多面体的表現に適するように、この変形の successive な段階も同様に適します。私のトップページで回転しているのは、私が10年ほど前に発明した、球の裏返しの中心模型の多面体版です。このような多面体模型の面白さは、平面で作れることです。紙とはさみでも作れます。以下の図をご覧ください（かっこ内ですが、適切な寸法の部品を作ってくれた友人クリストフ・タルディに感謝します）。
これは組み立て図で、ここに全体像があります。しかし印刷するには、découpageのページへ進む方がよいでしょう。それを印刷してください。その後、お使いのプリンターの通常の紙に印刷したこの見本を使って、同じものを4部コピーしてください。2部は緑のブリストル厚紙に、2部は黄色に。これらの切り抜き用紙によって、立方体の裏返しの中心模型を作ることができるでしょう。
切り抜く部品には文字の対があります。a、b、c、d、e、fなどです。紙を折って同じ文字を一致させ、透明な粘着テープで面を固定すれば十分です。以下の図は、4つの部品の一つを組み立てる方法を示しています。まず最初に、4つの要素の一つを折り始める方法は次のとおりです。
ここに4つの要素のうち2つを、異なる角度から見たものがあります。
次に、緑と黄色の要素が交互に並ぶ4次の対称性を持つ物体になるように配置します。3Dで見るには、「仮想現実」のセクションにあるタルディの作品をご覧ください。中心模型はそこで組み立てられ、「vrml」でも実現されています。以下はさまざまな視点から再現したものです。
ある視点が「上」に、別の視点が「下」に対応するとは言えません。これらの呼称は完全に恣意的だからです。左の画像では「中心」点がモランの中心模型の「二重点」（二つの層が交差する点）に対応し、右の画像の中心点は同じ模型の「四重点」（四つの層が交差する点）に対応します。左の図が卍を連想させないよう、物体の向きを非常に注意深く決めなければなりませんでした。それとは別に、建築の観点から言えば、モランの中心模型のこの多面体的表現は、国家社会主義文化会館の立派な設計案になり得たでしょう。
最後に一言。球（つまり立方体）の裏返しの良い多面体的表現は存在しません。ここで「良い」とは、上の模型のように、比較的容易に切り抜き用紙の形で記述できる、かなり明示的な模型の連続を意味します。この方向での研究が必要でしょうが、誰にでも、数学者でなくても、たとえば彫刻家にも可能なものです。20年以上前、私はエクス＝アン＝プロヴァンスの美術学校で彫刻を教えていました。当時、校長は親愛なる友人ジャック・ブリエでした。ボーイ曲面の子午線的表現を楕円によって初めて行ったのも、アペリが与えた最初の陰関数方程式の構成の鍵となったのも、その校舎でした。当時すでに、芸術学生たちの幾何学的想像力に驚かされたもので、それはしばしば……幾何学者のそれを上回っていました。
カウンターは2001年12月31日に設置。接続数：