トポロジーの球体モデル 数学モデル
イタリア語: アンドレア・サムブセットティ、ローマ大学
ここをクリックして、1:1スケールのモデル図を表示し、印刷して切り抜くことができます。
2色のブリスティール紙に4つのコピーを印刷することで、そのモデルを自分で作ることができます。
組み立ての指示に従ってください
このサイトの最初のページの左側で、何らかの奇妙な物体が止まることなく回転しているのを見たことはありませんか？これは何ですか？
ある日、時間ができたら、このサイトに1979年1月のPour la Science誌で私が説明した「球体の反転」の説明を設置するつもりです。それは...22年前のことです！これは多くの詳細と導入が必要です。では、「球体を反転させる」とは何を意味するのでしょうか？一般の人にとっての「球体」と数学者・幾何学者にとっての「球体」には意味が異なります。一般の人にとって、球体は、ある固定された点Oから距離Rの空間の点の集合です。一方、幾何学者は、例えばジャガイモのような「変形された球体」に対応する対象も「球体」と呼び続けます。これらの概念をより正確に理解するには、LanturluのCDに収録されている「Topologicon」という漫画を入手してください。しかし、数学者はさらに進んでいます。各点で接平面を定義できる表面は「正則」と呼ばれます。これにより、無限の変形可能な球体の形、つまりジャガイモの無限の可能性があり、表面の面積を任意に変化させることができます。ただし、現実の宇宙では、球体を反転させようとする人は、自分の表面が自己交叉するのを防ぐ必要があります。この仮定、つまり表面が自己交叉したり、たとえ触れたりするのを禁止する場合、数学者は「S2球体の埋め込み」と言います。しかし、数学者は常に何でも許されます。彼にとって、球体は「仮想的」な対象であり、物理的なものではなく、表面の交叉は可能とされています。以下の図は、自己交叉する球体を示しています。このような自己交叉を許す表現は「浸漬」と呼ばれます。
したがって、浸漬には自己交差の集合（ここでは単純な円周）があります。しかし、接平面は連続的に変化しなければなりません。この前提の下で、上の図を見ると、表面の内部の一部（緑色で示されています）が外側に移動していることがわかります。反転を完了するには、このような赤道付近の管を圧縮する必要があります。ここに問題があります：この圧縮は接平面の連続性を破壊し、この変換は浸漬ではないステップを含むことになります。
ある日、アメリカの数学者スティーブン・スメールは、「S2球体には1つの浸漬のクラスしかない」と証明しました。この意味不明な文は、標準的な球体からその反対点の表現（つまり、すべての点が反対点と交換される球体）に、真の浸漬のみを含む変換を介して移行できるという結果を伴いました。簡単に言えば...ひっくり返った球体です。スメールの上司はラウル・ボットでした。この事実の形式的な証明は正しいように見えましたが、誰も実際にこの反転操作を実行することができませんでした。ボットはスメールに「どうやって進めるか見せて」と何度も尋ねました。すると、スメールは有名な言葉で「まったく分からない」と答えました。その後、スメールはフィールド賞を受賞しました。数学におけるノーベル賞に相当します。余談ですが、数学にノーベル賞がないのはなぜかと疑問に思ったかもしれません。答えは簡単です。彼の妻は数学者と逃げたからです。
この状況は長い間続きました。その後、アメリカの数学者アントニーフ・フィリップスが1967年に『サイエンティフィック・アメリカン』にこの反転の最初のバージョンを発表しました。それは非常に複雑でした。その後、1970年代初頭にフランスの数学者（視覚障害者）ベルナール・モーリンがその2番目のバージョンを考案しました。私はこの変換の連続的な図を最初に描きました。これは、私がお知らせした通り、このサイトで近いうちに掲載される記事の対象になります。ただし、この記事は非常に豊富です。しかし、これにより、表面は多面体形式で表現できることに気づきます。立方体や四面体は、同じトポロジーを持つため、球体の多面体表現と見なすことができます。この点については、私のTopologiconをご覧ください。さらに、球体を反転させることができるなら、立方体も反転させることができるということがわかります。ベルナール・モーリンが考案した変換（1979年1月のPour la Science誌の記事で私が図解したものです）は、中央モデルを通じて行われます。この連続性には対称性があります。これを「4つの耳を持つ中央モデル」と呼びます。これは少し先取りしています。しかし、球体が多面体表現に適しているように、この変換の次のステップも同様に適しています。私のホームページで回転しているのは、私が約10年前に考案した球体反転の中央モデルの多面体バージョンです。このような多面体モデルの利点は、平面の表面で構築できる点にあります。紙とハサミで作ることもできます。以下の図をご覧ください（括弧内には、正しい寸法の要素を作成してくれた友人クリスophe Tardyに感謝します）。
これは、ここに一般的なビューの組み立て図です。印刷するには、切り抜きページに移動することをお勧めします。印刷してください。その後、通常のプリンターの紙に印刷されたこのコピーを手に入れ、同じものを4枚印刷し、2枚は緑のブリスティール紙、2枚は黄色にします。これらの切り抜き可能な紙を使って、立方体の反転の中央モデルを構築することができます。
切り抜き可能な要素には、a、b、c、d、e、fなどの文字のペアがあります。同じ文字を重ねて折るだけで、その面を透明テープで固定できます。続く図は、4つのピースの1つを組み立てる方法を示しています。まず、4つの要素の1つをどのように折るかを示します：
これは、4つの要素の2つで、異なる角度から見たものです。
それらは、4次の対称性を持つように配置され、緑色と黄色の要素が交互に並びます。3Dで見るには、Tardyの実装、つまり「仮想現実」セクションを見てください。中央モデルは組み立てられ、このセクションでは「vrml」で作成されています。以下は、さまざまな視点から再現されたものです：
「上」と「下」の視点を区別することはできません。なぜなら、これらの名前は完全に任意だからです。左の画像では、「中央」のポイントは「二重点」（...）に対応します。