トポロジーの球体モデルと数学
イタリア語: アンドレア・サムバスエッティ、ローマ大学
Cliccate qui で1:1のスケールのモデルの図を表示し、印刷して切り抜くことができます。
2色のブリスターカードに4つのコピーを印刷することで、組み立ての指示に従って自分自身でモデルを作成できます
あなたは、このサイトの最初のページの左側で、絶え間なく回転する奇妙な物体を見たことがあるでしょう。これは何ですか？
いつか時間ができたら、このサイトに1979年1月のPour la Scienceに私が図解した「球体の裏返し」の説明を設置したいと思っています。それは...22年前のことです！これには多くの詳細と導入が必要です。「球体を裏返す」とはどういう意味でしょうか？一般の人にとっての球体と数学者・幾何学者にとっての球体は意味が異なります。一般の人にとって、球体は、ある固定された点Oから距離Rの空間内の点の集合に過ぎません。一方、幾何学者は、例えばジャガイモのような「変形した球体」に対応する対象も「球体」と呼ぶでしょう。これらの概念をより正確に理解するには、LanturluのCDに収録されている「Topologicon」というマンガを入手してください。しかし、数学者はさらに一歩進みます。ある表面が「正則」と呼ばれるのは、その表面のどの点においても接平面を定義できるときです。これにより、無限の変形可能な球体の形、例えばジャガイモの無限の形を変化させ、表面積を任意に変化させることができるという考えが可能になります。しかし、現実の宇宙では、球体を裏返そうとする人（つまり、表面を内側から外側に移動させようとする人）は、自分の表面が自己交叉することができないという不可能さに直面します。この仮定、つまり表面が自己交叉したり、たとえ触れたりするのを禁止する場合、数学者は「球体S2の埋め込み」と言います。しかし、数学者は常に何でも許されます。球体は彼にとって「仮想的」な対象であり、物質的ではないものであり、表面の交叉は可能とされています。以下の図は、自己交叉する球体を示しています。このような自己交叉を許容する表現は「浸漬」と呼ばれます。
浸漬には自己交差の集合（ここでは単純な円形の曲線）があります。しかし、接平面は連続的に変化しなければなりません。この前提の下で、上の図を見ると、表面の内側（緑色で示されています）が外側に移動しているのがわかります。裏返しを完成させるには、このような赤道部分を押しつぶす必要があります。ここには問題があります。この押しつぶしは接平面の連続性を破壊し、この変形は浸漬ではないステップを含むことになります。
ある日、アメリカの数学者スティーブン・スマールが、「S2の球体には1つの浸漬のクラスがある」と証明しました。この意味不明な文は、標準的な球体からその反対点の表現（つまり、各点が反対点と交換されたもの）への変換が、真の浸漬のみを含む変換によって可能であることを示していました。簡単に言えば、裏返った球体です。スマールの指導者はラウル・ボットでした。この事実の形式的な証明は正しいように見えましたが、誰も実際にこの裏返しの操作を実現することができませんでした。ボットはスマールに「どのように進めるか見せてください」と尋ね続けました。スマールは、有名なように、気遣いのない人物で、「まったく分からない」と答えました。その後、スマールはフィールズ賞を受賞しました。数学のノーベル賞に相当します。余談ですが、なぜ数学にはノーベル賞がないのかと疑問に思ったかもしれません。答えは簡単です。彼の妻は数学者と逃げました。
しばらくの間、この状態が続きました。1967年に、アメリカの数学者アントニー・フィリップスが、『サイエンティフィック・アメリカン』にこの裏返しの最初のバージョンを公開しました。これは非常に複雑でした。その後、1970年代初頭に、視覚障害者であるフランスの数学者ベルナール・モーリンによって、第二のバージョンが考案されました。私はこの変換の連続を最初に描きました。これは私がすでに発表したこのサイトの近い記事の対象になります。ただし、これは十分に豊富です。しかし、これにより、表面は多面体形式で表現できます。立方体や四面体は、同じトポロジーを持つため、球体の多面体表現として考えることができます。この点については、私の『Topologicon』を参照してください。また、球体を裏返すことが可能であれば、立方体も裏返すことが可能であることがわかります。ベルナール・モーリンが考案した変換（1979年1月のPour la Scienceに図解したものです）は、中央モデルを通じて行われます。この変換には対称性があります。これを「4つの耳を持つ中央モデル」と呼びます。私は少し先に話しています。しかし、球体が多面体表現に適しているように、この変換の次のステップも同様に適しています。私の最初のページで回転しているのは、私が10年前に考案した球体裏返しの中央モデルの多面体バージョンです。このような多面体モデルの利点は、平面の表面で構築できることです。紙とハサミで作ることもできます。以下の図を見てください（感謝の意を込めて、私の友人クリスティーフ・ターディが正しい寸法の要素を作成してくれたことに感謝します）。
これは、ここに全体像を示した組み立て図です。しかし、印刷するには「切り抜き」のページに移動した方が良いです。印刷してください。その後、通常のプリンターの紙に印刷されたこのコピーを手元に持ち、同じものを4枚印刷し、2枚は緑色のブリスターカードに、2枚は黄色にします。これらの切り抜き可能な紙を使って、立方体の裏返しの中央モデルを構築できます。
切り抜き対象の部品には、a、b、c、d、e、fなど、文字のペアがあります。同じ文字を重ね合わせて折るだけで、その面を透明テープで固定できます。続く図は、4つの部品の1つを組み立てる方法を示しています。まず、4つの部品の1つをどのように折るかを示します：
4つの部品のうちの2つを、異なる角度から見ています。
これらは、4次の対称性を持つオブジェクトに配置され、緑色と黄色の部品が交互に並びます。3Dで見るには、ターディの実装、つまり「バーチャルリアリティ」セクションを見てください。このセクションでは、中央モデルが組み立てられ、VRML形式で作成されています。このモデルは、さまざまな視点から再現されています：
これ以上、「上」と「下」の視点を区別することはできません。というのも、これらの名称は完全に任意だからです。左の画像では、「中央」の点は「二重点」（...）に対応します。