クロスキャップをボイの面に変換する、ステインァーのローマン面を経由して
どのようにしてクロスキャップをボイの面（左または右、お好みで）に変換するか、ステインァーのローマン面を経由して説明します。
2003年9月27日 - 2003年10月25日
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これはあなたが仮想現実の画像で見つけたクロスキャップです。この面は、二つのカスプ点を持ち、それらは自己交叉線を囲んでいます。あなたはヘアアイロンでボールをつまむことでこれをつくることができます。しかし、あなたは多面体の表現も作ることができます。下のものは特に注目されます。
この図4では最も理解するのが難しい瞬間があります。私には、誰かが単に図を見ただけでこれらの図形を理解するのはほぼ不可能に思えます。これらのモデルを実際に作ってください。つまり、カスプ点 C2 を「面の内部」に引き込みます（これは、あなたがすぐに気づいたように、クロスキャップが一方向性であるため、意味がないことです）。この面を強く引き続けると、自己交叉が生じ、8の字のような曲線によって自己交叉が完成します。その過程で三重点 T が生じます。
この多面体の形では面がより理解しやすくなります。下の図では、いくつかの要素を大きくして、このオブジェクトをステインァーのローマン面（仮想現実を参照）に変換する理由を示しています。このステインァーのローマン面の最も単純な多面体の形は、4つの立方体を組み合わせたものです（ここでは3つしか見えません）。
図5：左側は多面体、右側は8の字の形。矢印は「つまむ」通路を通ります。下部はつまみの開始部分です。
図6：つまみは、点 B を作ることによって行われます。実際には、時間短縮のため両側からつまみます。すると、2つの特異点 S1 と S1 が生じ、2つのカスプ点のペアができます。ここでは、ブリスタル、ハサミ、テープがなければ、あなたは困ってしまいます。
図7：単に異なるカスプ点を移動させただけです。もし点 C2 が「明白」であれば、点 C3 と C4 をカスプ点として識別するのはやや難しくなります。しかし、それらは自己交叉線の端に存在しています。点 C3 の上には、私が「ポジコイン」と呼んだ、正の曲率の集中点があります（負の曲率の集中点は「ネガコイン」と呼ばれます）。このオブジェクトをわずかに変形すると、ステインァーのローマン面の多面体の形になります（ステインァーがローマで発明した4次元の面。仮想現実での説明を参照)。
したがって、この変換は完了しました。表面には、あなたが設定するルールによって異なる種類があります。自分自身と交差しない表面は「埋め込み」と呼ばれます（球面やトーラスを R3 に埋め込む）。交差するが接平面が連続的に変化するものは「浸漬」と呼ばれます。例として、クラインの壺の古典的な表現があります。R3 ではクラインの壷の埋め込み表現は存在せず、必ず自分自身と交差します。浸漬には自己交叉の集合があり、カスプ点は含まれません。これらの曲線は連続的ですが、二重点や三重点が存在する場所で交差することがあります。注意：球面は単に自分自身と交差させることで浸漬として表現できます。これは、アーノルド・フィリップス（1967年）が中心ステップとしてボイの面の二重被覆を使用したように、球面をひっくり返す方法です。B.モーリンとJ.P.ペティット（1979年）は、中心モデルとしてモーリンの4つの耳モデルを使用し、私は10年前に考案したこのモデルの多面体表現を以下に示します。
もし、これらのオブジェクトがカスプ点を持つと仮定してルールを拡張すると、浸出（クロスキャップ、ステインァーのローマン面）が得られます。これは正確な用語かどうかはわかりませんが、私が数学の専門家に説明を求めても答えが得られなかったため、一時的にこの用語を考案しました。したがって、クロスキャップとステインァーのローマン面は「射影平面」の浸出であると考えられます。
正直に言うと、25年間のMHDに関する私の苦労の後、これらの作業を始めたのは、それが軍事的応用から最も遠いものであると考えたからです。しかし、私の古い友人ミンの指摘のように、「浸出」という語は混乱を招く可能性があり、海軍に何か水中推進に関する発見を隠しているように思われるかもしれません。
カスプ点のペアの「生成・消滅」ルールにより、あるオブジェクトの浸出から別の浸出に移行できます。そして、私たちはクロスキャップとステインァーのローマン面が同じオブジェクトである「射影平面」の2つの浸出であることを示したのです。では、「射影平面」がどんなものかを尋ねないでください。このオブジェクトは、そのさまざまな表現を通してのみ理解できます。そして、「射影平面」という語は、数学者が他人を混乱させるために考案した1000の語の1つに過ぎません。数学ではラロッシュは役に立ちません。
最後に、ボイの面に移行します。ボイの面は射影平面の浸漬です。
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