クロスカップをボイの表面に変換する、ステイナーのローマン表面を通じて
どのようにしてクロスカップをボイの表面（右または左、お好みで）に変換するか、ステイナーのローマン表面を通じて。
2003年9月27日 - 2003年10月25日
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これはあなたが仮想現実の画像で見つけたクロスカップです。この表面には、交差線を囲む2つのカスプ点があります。これは、カーラーで風船をつまむことで作ることができます。あるいは、多面体の表現を作ることもできます。下のものは特に注目されます。
この図4では最も理解するのが難しい瞬間があります。これら図形をただ見て理解するのは、おそらく誰にとってもほぼ不可能です。これらのモデルを作成してください。つまり、カスプ点C2を「表面の内部」に引き込みます（ただし、あなたがすぐに気づいたように、クロスカップは一方向性の表面であるため、これは意味がありません）。表面を強く押すと、自己交叉が発生し、8の字のような曲線で「丸みを帯びた」形になります。その際に三重点Tができます。
この表面は多面体の形で理解しやすくなります。下の図では、いくつかの要素を大きくして、このオブジェクトをステイナーのローマン表面（仮想現実を参照）に変換する理由を示しています。その最も単純な多面体の形は、4つの立方体を組み合わせたものです（ここでは3つしか見えません）。
図5：左側の多面体、右側の丸みを帯びた形。矢印は「つまみ」を通る経路を示しています。下部はつまみの始まりです。
図6：つまみは、特異点Bを作ることで行われます。実際には、時間短縮のため両側からつまみます。すると、2つの特異点S1とS1が形成され、2つのカスプ点のペアができます。この段階では、ブリスタル、ハサミ、テープがなければ、あなたは困ってしまいます。
図7：単に異なるカスプ点を移動させただけです。もし点C2が「明白」であれば、点C3とC4がカスプ点であることを識別するのは少し難しくなるでしょう。しかし、これらは自己交叉線の端に存在しています。C3の上には、私が「ポジコイン」と呼んだ、正の曲率の集まりがあります（負の曲率の集まりは「ネガコイン」と呼ばれます）。このオブジェクトをわずかに変形すると、ステイナーのローマン表面の多面体形になります（ステイナーがローマで発明した4次元表面。仮想現実での説明を参照)。
したがって、すべてが完了しました。表面には、あなたが設定したルールによって異なる種類があります。自分自身と交差しない表面は「埋め込み」と呼ばれます（球面やトーラスをR3に埋め込む）。交差するが接平面が連続的に変化するものは「浸漬」と呼ばれます。例：クラインの壺の古典的な表現。R3ではクラインの壺の埋め込み表現は存在せず、必ず自分自身と交差します。浸漬には自己交差集合があり、カスプ点は含まれません。これらの曲線は連続的ですが、二重点や三重点がある場所で交差することがあります。注意：球面は自分自身と交差させることで浸漬として表現できます。これは実際に球面をひっくり返す方法であり、A. Phillips（1967年）、中心ステップとしてボイ表面の二重被覆を使用しました。B. MorinとJ.P. Petit（1979年）、中心モデルとしてMorinの4つの耳のモデルを使用しました。以下は私が10年前に考案したその多面体表現です。
もし、これらのオブジェクトがカスプ点を持つと仮定してルールを拡張すると、沈み込み（クロスカップ、ステイナーのローマン表面）が得られます。正確な言葉ではないかもしれませんが、誰も私を助けてくれなかったので、一時的に私が考案した言葉を使いました。それまでは、専門家が現れるまで、この言葉を使っていきます。したがって、クロスカップとステイナーのローマン表面は「射影平面」の沈み込みになります。
正直言って、25年間のMHDに関する私の苦労の後、これらは軍事的応用とは最も遠いものであると考えていたので、これらの研究を始めたのです。しかし、私の古い友人Mihnが指摘したように、「沈み込み」という用語は混乱を招く可能性があり、海軍に、これらの研究を通じて水中推進の進展を隠そうとしているように思われかねません。
カスプ点のペアの「生成・消滅」のルールにより、あるオブジェクトの沈み込みから別の沈み込みに移行でき、私たちはこれを示すことで、クロスカップとステイナーのローマン表面が同じオブジェクトである「射影平面」の2つの沈み込みであることを示しました。射影平面がどのようなものかを探そうとしてはいけません。このオブジェクトは、そのさまざまな表現を通してのみ理解できます。そして、「射影平面」という言葉は、数学者が彼らの閉じた世界に侵入しようとする人を混乱させるために考案した1000の言葉の1つに過ぎません。数学ではラロッシュは役に立ちません。
最後に、ボイの表面に移行します。これは射影平面の浸漬です。
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