クロスキャップをボー面に変換する、ステインァーのローマン面を通じて
どのようにしてクロスキャップをボー面（右または左、お好みで）に変換するか、ステインァーのローマン面を通じて説明します。
2003年9月27日
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このモデルは別の角度から提示されます：
図14：同じ操作を繰り返し、自己交差曲線の3番目の「耳」を作成します。多面体では、これは共通の頂点を持つ3つの正方形の形をしています：三重点 T です。
図15：このオブジェクトを回転させると、私がトポロジコンで提案したボー面の多面体バージョンが再現されます（その中に作成するためのカットが含まれています）。
最後の図：ステインァーの面（4次、ボー面は6次）をねじれさせながらボー面に変形している様子を描いてみました。
「丸みを帯びた」形では、このオブジェクトを理解するには相当な慣れが必要です。視線が重なって2枚以上の面が重なっている場合、我々の目は非常に不快になります。そのため、多面体は、通常の人々にとって複雑な幾何学的変換を理解するための手段として非常に役立ちます。これは、人々が自分でモデルを構築する努力をするからです。その過程で、選ばれた尖点のペアによって、右または左のボー面が得られることに気づきます（これは完全に任意の言葉です）。射影平面は、鏡像の2つの表現として浸漬されます。右のボー面から左のボー面へは、ステインァーのローマン面という「中央」のモデルを通じて移行できます。
このような図が「Pour la Science」や「La Recherche」に掲載されると、きっと喜ばしいことでしょう。しかし、20年間、私はこれらの雑誌で「UFO的異端」のため、出版が禁止されています。ヘーブル・シス氏とフィリップ・ボランジェ氏に感謝します。私はこれらの雑誌にこのような記事を何回も送ったにもかかわらず、丁寧に却下されてきました。最終的には、自分の「追放者」の立場に慣れるようになりました。
一時的な話ですが、フランスには数学の一般向け書籍の著者を表彰する「アレムベル賞」という賞があります。その話は、賞の選考委員会の一人から聞きました（賞には実際に少額の金銭もあります）。会話のやり取りは次の通りです：
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しかし、ペティット氏に賞を渡すことはできないでしょうか？彼は『Géométricon』『Trou Noir』『Topologicon』といった注目すべき作品を執筆しました。
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はい、でも彼はそれだけではありません。
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何を意味しているのですか？
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『Mur du Silence』も書いたのです。
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そうか、そのような事情なら...
そうです、1983年に出版された『Mur du Silence』はMHD（マジック・ヒーリング・ディスカバリー）に捧げられたアルバムです。誰もが知っているように、この不思議な科学は、飛行円盤が音速を超えて飛行できるようにする、あるいはその逆の不思議な力を持っているとされています。
この科学を隠しておいてくれ、私は見たくない
私は手元に、素晴らしい「立方体の裏返し」のバージョンがあり、中央のモデルは非常に美しいもので、モーリンのバージョンの多面体ではありません。これは私自身のものです。いつかは…。
2003年10月22日：カウンターの数字を見ると、これらのページはそれほど混雑していないようです。私は10月13日に、トロトマン氏の招待で、マルセイユのCMI（Château-Gombert-Marseille数学・コンピュータセンター）でセミナーを行いました。その際に、Christophe Tardyによって撮影された約30点の紙製モデルを展示しました。そのうちのいくつかは、今後皆様に初公開する予定です。
セミナーを開くと、雰囲気が生まれます。次の写真では、困惑している幾何学者が写っています。
背景には、展示されたモデルの一部が見えます。その中で、私は次のように質問しました：
- これまでにローマン面を見たことのある人はいますか？手を挙げてください。
誰も手を挙げませんでした。私は、実際に存在するこのオブジェクトを、私が持ってきたノートパソコンで紹介することにしました。このオブジェクトは、Christophe Tardy氏（エンジニア）とグロノーブルのラウエ・ランゲヴィン研究所（ILL）のフリーデリック・デスカンプ氏の協力を得て作成されました。このプレゼンテーションは、数学的な表面が自由に動き回る様子に慣れていない聴衆にとって、驚きをもたらしました。
前から2枚のボードが、モデルの順序を論理的に提示するために使われました。「緑と黄色」のモデルは、尖点のペアを生成・消滅させるための重要な多面体的ツールを示しています。最も遠い白いオブジェクトは、多面体的なクロスキャップのバージョンで、まずローマン面の多面体バージョンに変形し、1メートル先では、右または左のボー面に自由に変形できます。
モデルの分析により、聴衆からいくつかのコメントが出てきました。ある幾何学者が尋ねました：
- モデルをこの方向にたどると、クロスキャップからボー面に移行できるようですが、逆にするとボー面からクロスキャップに変形できるのでしょうか？
私は肯定的に答えました。さらに意欲を示した相手は、次のように言いました：
- ローマン面に到達した時点で止まれば、鏡像のボー面に戻ることができるようになります。
私はもう一度肯定しました。しかし残念なことに、この奇妙な世界で閉じた表面の浸漬に尖点を追加したり、ペアで消滅させたりするような、この拡張された浸漬の世界について、誰も説明を提供する人はいませんでした。「サブマージョン（沈み込む）」という言葉が適切かもしれません。もし誰かがこの世界についての説明を見つけたなら、それは非常に歓迎されます。
尖点に集中的な曲率
この曲率は、頂点の角度を合計し、その合計をオイラーの合計（2π）と比較することで計算できます。
左上には、尖点の複数の多面体的表現の一つが示されています。このオブジェクトを分解すると（右側）、オイラーの合計（2π）を越える値2αが得られます。これにより、この点Cの近くに集中的な角曲率は-2αであることがわかります。もし角度αがπ/2に等しい場合、負の曲率はc（下左図）になります。実際、尖点に集中的な曲率は無限の値を取り得ます。下右図では、角の合計を強調し、曲率が2αより小さくなるようにしています。負の曲率を強調しています。
逆の操作を行うと、驚くべき状況に至ります：この点Cに集中的な角曲率を…ゼロにすることを可能にします：
今度は、2つの尖点を含むクロスキャップの多面体表現から始めます。それぞれの尖点は、-πの負の曲率を持っています：
8つの「ポジコイン」は+π/2の値を持っています。さらに4つの「ポジコイン」を+π/4の値で追加し、4つの「ネガコイン」を-π/4の値で追加します。
さらに2つの尖点は-πの曲率を持っています。
合計：2π
この合計曲率を2πで割ると、オイラー・ポアンカレ特性が得られます。