クロスキャップをボイの表面に変換する、スティーナーのローマン表面を通じて
どのようにしてクロスキャップをボイの表面（右または左、お好みで）に変換するか、スティーナーのローマン表面を通じて説明します。
2003年9月27日
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それでは、モデルを別の角度から紹介します：
図14：同じ操作を繰り返し、自己交差曲線の3番目の「耳」を作成します。多面体では、これは共通の頂点を持つ3つの正方形の形をしています：三重点 T です。
図15：オブジェクトを回転させると、私がトポロジコンで提案し、提示したボイの多面体バージョンが再現されます（そこにはそれを構築するためのカットアウトが含まれています）。
最後の図：私はスティーナーの表面（4次元、ボイは6次元）がねじれながらボイの表面に変化する様子を描こうと試みました。
「丸みを帯びた」形では、このオブジェクトを理解するには相当な慣れが必要です。同じ視線の下で、2枚以上の層が重なっていると、私たちの目は非常に不快になります。したがって、多面体は、人々が自分の手でモデルを構築する努力をする限り、幾何学で考えられる高度な変換を一般の人々に理解可能にします。その過程で、選ばれた尖点対によって、ボイの表面は「右」または「左」になります（これは完全に任意の語です）。射影平面は、鏡像の2つの「エナンチオモルフィック」表現として埋め込まれます。右ボイから左ボイへは、中央のモデルであるローマンスティーナー表面を通じて移行可能です。
このような図は、Pour la ScienceやLa Rechercheに掲載されると、きっと喜ばしいことでしょう。しかし、20年間、私はこれらの雑誌で「UFO的異端」のため、出版禁止となっています。ヘーブル・シス氏とフィリップ・ボランジェ氏、ありがとうございます。私はこれらの雑誌にこのような記事を何回も送り、丁寧に返却されてきました。最終的には、異端者としての立場に慣れるようになりました。
余談ですが、フランスには数学の一般向け書籍の著者を表彰する「アレムベル賞」という賞があります。その物語は、賞の決定を担当した委員会のメンバーから聞かされたものです（賞には少なからぬ金額が含まれています）。会話：
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しかし、ペティットに賞を授与することはできませんか？彼は『Géométricon』『Trou Noir』『Topologicon』などの注目すべき作品を執筆しました。
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はい、しかし彼はそれだけではありません。
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何を意味しているのですか？
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『Mur du Silence』も書きました。
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そうですね、その場合は・・・
そうです、1983年に出版された『Mur du Silence』はMHD（磁気流体力学）に捧げられたアルバムです。そして、誰もが知っているように、この不気味な科学は、飛行船が音速を超えて飛行できるようにする、あるいはそのような飛行船を操縦するための特徴を持っています。
この科学を隠しておいてください、私は見たくありません
私は自分の箱の中に、非常に美しい「立方体の裏返し」のバージョンがあり、これはモーリンのバージョンの多面体ではなく、私の独自のものです。いつかは皆さんに紹介する予定です。
2003年10月22日：カウンターの数字によれば、これらのページはあまり混雑していません。私は2003年10月13日にトロトマン氏の招待でCMI（シャトー・ゴンベール・マサールの数学・情報科学センター）でセミナーを開催しました。その機会に、クリストフ・ターディによって撮影された約30点の紙製モデルのコレクションを並べました。これらは今後間もなく皆様にお披露目する予定です。
セミナーを開くと、雰囲気が生まれます。次の写真では、困惑した幾何学者が写っています。
背景には展示されたモデルの一部が見えます。ある時、私は次のように尋ねました：
- これまでにローマンスティーナー表面を見たことがありますか？手を挙げてください。
誰も手を挙げませんでした。私はそのオブジェクトを紹介する必要があると考えました。実際には仮想的なもので、私が持ってきたノートパソコンに表示され、クリストフ・ターディ氏（エンジニア）とグロノーブルのラウエ・ランゲヴィン研究所（ILL）のフリーデリック・デスカンプ氏の協力で作成されました。明らかに、このプレゼンテーションは参加者を困惑させ、通常は数学的な表面が自由に動き回るのを見るのは珍しいことでした。
前面上に見える2つのボードは、モデルの順序を論理的に提示するために使われました。「緑と黄色のモデル」は、尖点対の作成と消滅に必要な重要な道具を多面体で示しています。最も遠い白いオブジェクトは、クロスキャップの多面体バージョンで、まずローマンスティーナー表面の多面体バージョンに変化し、1メートル先で、いつでも右または左のボイの表面になります。
モデルの分析により、参加者の中からいくつかのコメントが出てきました。幾何学者の一人が尋ねました：
- モデルをこの方向にたどると、クロスキャップからボイに移行できることがわかりますが、逆にボイからクロスキャップに変換できるのでしょうか？
私は肯定的に答えました。さらに意欲をかき立てた彼は、次のように言いました：
- ローマンスティーナー表面に到達した時点で止まれば、鏡像のボイの表面に戻ることができるようになります。
私は再び肯定しました。しかし残念なことに、この奇妙な世界で閉じた表面の浸漬に尖点を備え、対で作成または消滅させることによって、浸漬の世界の拡張を構成するような、このような説明を誰も提供してくれません。この世界を「サブマージョン」と呼ぶのが適切かもしれません。もし誰かがこの世界についての説明を見つけたなら、歓迎します。
尖点における曲率の集中
この曲率は、頂点の角度を合計し、その合計をユークリッド的な合計（2π）と比較することで計算されます。
左上には、尖点の複数の多面体表現の一つが示されています。「分解」（右側）により、ユークリッド的な合計（2π）を越える値2αが得られます。このため、この点Cの近くに集中する角の曲率は -2α となります。もし角度αがπ/2に等しい場合、負の曲率は c になります（下左図）。実際、尖点に集中する曲率は無限に多くの値を取り得ます。下右図では、角度の合計を強調し、曲率が2αを下回るようにしています。負の曲率をさらに強調します。
逆の操作を行うと、驚くような状況に至ります：この点Cに集中する曲率（角の曲率）が...ゼロになるようにします：
今度は、2つの尖点を持つクロスキャップの多面体表現から始めます。それぞれが -π の負の曲率を持っています：
8つの「ポジコイン」が +π/2 の値を持っています。さらに4つの「ポジコイン」が +π/4 の曲率を持ち、4つの「ネガコイン」が -π/4 の曲率を持ちます。
さらに2つの尖点が -π の曲率を持っています。
合計：2π
この総曲率を2πで割ると、オイラー・ポアンカレの特性が得られます。