キューブの反転の中央モデル（多面体）
キューブの反転の中央モデル
2001年12月31日
皆さんは、サイトのトップページの左側で、何とも不思議な物体が止まることなく回転しているのを見たことがあるでしょう。これは一体何なのでしょうか？
いつか時間ができたら、私はこのサイトに1979年1月号の「Pour la science」に私が図解した「球体の反転」の説明を掲載する予定です。それはすでに...22年前のことです。もちろん、これには多くの詳細と導入が必要です。「球体を反転させる」ということはどういうことでしょうか？「球体」は一般人と数学者-幾何学者にとって意味が異なります。一般人にとって、それは3次元空間において、ある固定点Oから距離Rの点の集合として定義されます。幾何学者は、「球体」として「変形された球体」や「ジャガイモのような」物体を指すこともあります。これらの概念をより正確に理解するには、「Le Topologicon」というコミックが収録されているLanturluのCDを入手してください。しかし、数学者はさらに進んでいます。表面が「正則」であると、その表面上のどの点でも接平面を定義できます。これにより、元の「球体」を無限の「ジャガイモ」に変形することが可能になります。さらに、その表面積は任意にすることができます。ただし、物理的な「宇宙」では、この球体を自分自身を通らせることが不可能です。もし、このような通過や接触が禁止されている場合、それらは「球体S2の埋め込み」と呼ばれます。しかし、数学者はすべての権利を持っています。彼にとって、球体は「仮想的」な対象であり、面の通過が可能になります。以下の図は、自分自身を通った球体を示しています。このような球体の表現は「浸漬」と呼ばれます。
浸漬には、自己交差または自己交点（ここでは単純な円形の曲線）の集合があります。接平面は連続的に変化しなければなりません。しかし、上の図を見ると、球体の一部（緑色で示されている）が内部から外部へ回転しているのがわかります。このような反転を完了するには、このような「エクアトリアルなバウンド」を潰す必要があります。この操作は一見して問題があります。この潰しは接平面の連続性を破るからです。したがって、この操作には「浸漬ではない」ステップが含まれます。
ある日、アメリカの数学者スティーブン・スメールは、「S2の球体はただ一つの浸漬のクラスを持つ」と証明しました。この意味不明な文の結果は、標準的な球体から反対側の表現（すべての点が反対点に置き換えられたもの）に移行するための浸漬の連鎖を可能にすることでした。要するに、球体を裏返したものです。ラウル・ボットはスメールの指導者でした。スメールの証明は純粋に形式的で、欠点が見つからなかったにもかかわらず、誰もどのように実行するかがわかりませんでした。ボットはスメールに「あなたがどのように進めるか見せてください」と繰り返し言っていましたが、スメールは有名な舌の毛の話で「まったく思いつかない」と答えていました。その後、スメールはフィールズ賞（数学のノーベル賞）を受賞しました。その間、あなたはなぜノーベルが数学のノーベル賞を作らなかったのかと疑問に思うかもしれません。答えは簡単です。彼の妻が数学者と逃げたからです。
しばらくの間、状況は変わりませんでしたが、1967年にアメリカの数学者アントニー・フィリップスが「Scientific American」にこの反転の最初のバージョンを発表しました。それは非常に複雑でした。その後、1970年代の初頭にフランスの数学者（失明した）ベルナール・モーリンによって第二のバージョンが考案されました。私はこの変換の連続を最初に描いた人です。すでに述べたように、これはサイトで今後発表される論文の主題になります。しかし、これは補足的な結論に導きます。表面は多面体の表現として扱うことができます。立方体や四面体は、同じ「トポロジー」を持つため、球体の多面体表現として考えることができます。この点については私のコミック「Le Topologicon」を参照してください。さらに、球体を反転させることができるなら、立方体も反転させることができるということがわかります。ベルナール・モーリンによって考案されたこの変換（私が1979年1月号の「Pour la science」の記事で図解したものです）は、中央モデルを通じて行われます。このシーケンスには対称性があります。これを「四耳の中央モデル」と呼びます。また、私は先に進んでいます。しかし、球体が多面体表現に適しているように、この変換の各ステップも同様に多面体表現に適しています。あなたが私のトップページで回転している物体は、球体の反転の中央モデルの多面体バージョンであり、私は約10年前に考案したものです。このような多面体モデルの利点は、平面の表面で構築できることです。また、切り抜きに沿って配置することもできます。以下の図をご覧ください（この図の正しい寸法を提供してくれた友人クリスophe Tardyに感謝します）。
これはあなたのプリンターから小さなサイズで出力される図であり、使い物になりません。
この図をA4用紙に印刷する
それには、厚紙のA4用紙4枚を印刷し、2枚は一つの色、2枚は別の色で印刷する必要があります。
これは、切り抜きの全体像です。しかし、印刷するには、切り抜きのページに移動することをお勧めします。印刷してください。その後、通常のプリンター用紙に印刷されたこの図を持ち、コピー機に行き、この図の4枚のコピーを作成してください。2枚は緑のボード紙、2枚は黄色のボード紙にコピーしてください。この切り抜きを使って、キューブの反転の中央モデルを構築できます。
この切り抜きの各部には、a、b、c、d、e、fなど、ペアの文字が表示されています。同じ文字が一致するように折りたたみ、透明テープでこれらの面を接着してください。以下の図は、4つの要素の一つの組み立て方を示しています。まず、4つの要素の一つの折り方を示します：
これは、4つの要素のうちの2つで、異なる角度から見たものです。
これらは、4次の対称性を持つオブジェクトまたは緑色と黄色の要素を交互に配置することで組み合わされます。これを3Dで見るには、Tardy氏の「バーチャルリアリティ」での実現を参照してください。完全に組み立てられた中央モデルは、このセクションで「vrml」形式で提供されます。以下は、このオブジェクトのさまざまな角度からのビューです：
「上」と「下」のビューを区別することはできません。なぜなら、これらの用語は完全に任意だからです。左のビューでは、「中央」の点は「二重点」（o...）に対応します。