中央モデル（多面体）の立方体のひっくり返し
キューブの中央モデルのひっくり返し
2001年12月31日
皆さんは、サイトのホームページの左側で、何とも不思議な物体が止まることなく回転しているのを見たことがあるでしょう。これは一体何なのでしょうか？
いつか時間ができたら、私はこのサイトに1979年1月号の「Pour la science」に私が図解した「球体のひっくり返し」の説明を載せたいと思っています。それはもう...22年前のことです。もちろん、これには多くの詳細と導入が必要です。「球体をひっくり返す」とは一体どういうことでしょうか？「球体」という言葉は、一般の人と数学者・幾何学者にとって意味が異なります。一般の人にとっては、3次元空間において、ある固定点Oから距離Rの点の集合を意味します。幾何学者は、「球体」という言葉を「変形した球体」や「ジャガイモのようなもの」に対応させます。これらの概念をより正確に理解するために、「Le Topologicon」というコミックが収録されているCD Lanturluを入手してください。しかし、数学者はさらに進んでいます。「滑らかな」表面であれば、その表面上のどの点においても接平面を定義できます。これにより、元の「球体」を無限の「ジャガイモ」に変形することが可能になります。さらに、その表面の面積は任意に変えることができます。このような状況において、「物理的宇宙」ではこの球体を自分自身を通るような変形は不可能です。もし、このような通過や接触が禁止されているとすれば、これは「球体S2の埋め込み」と呼ばれます。しかし、数学者はすべての権利を持っています。彼にとって、「球体」とは、表面の通過が可能となる「仮想的」な対象です。以下の図は、自分自身を通った球体を示しています。このような球体の表現は「浸漬（immersion）」と呼ばれます。
浸漬には、自己交差または自己接触の集合（ここでは単純な円形の曲線）があります。接平面は連続的に変化しなければなりません。しかし、上の図を見ると、球体の一部（緑色で示されている部分）が内側から外側へ回転しているのがわかります。このようなひっくり返しを完成させるには、このような「エクスパンション」を潰す必要があります。一見してこれは問題がありそうに思えます。この潰しは接平面の連続性を破るでしょう。したがって、この操作には「浸漬ではない」ステップが含まれることになります。
ある日、アメリカの数学者ステファン・スメールは、「S2の球体はただ一つの浸漬のクラスを持つ」と証明しました。この意味不明な文の結果として、標準的な球体からその反対の表現（すべての点が反対の点に置き換えられたもの）に移行するための浸漬の連鎖が可能であることが示されました。要するに、これは「ひっくり返った」球体、つまり表と裏の入れ替わった球体です。ラウル・ボットはスメールの指導者でした。スメールの証明は純粋に形式的で、間違いがないように見えましたが、誰も実際にどのように実行するかはわかりませんでした。ボットはスメールに「あなたがどのように進めるか見せてください」と繰り返し言いましたが、スメールは有名な「舌の上の髪の毛」で「まったく思いつかない」と答えました。その後、スメールはフィールド賞（数学のノーベル賞に相当）を受賞しました。その途中、あなたがなぜノーベルが数学のノーベル賞を作らなかったのか疑問に思ったかもしれません。答えは簡単です。彼の妻が数学者と逃げたからです。
この状況は長期間続きました。1967年にアメリカの数学者アントニー・フィリップスが「Scientific American」にこのひっくり返しの最初のバージョンを発表しましたが、それは非常に複雑でした。その後、1970年代の初頭にフランスの数学者（失明している）ベルナール・モーリンによって第二のバージョンが考案されました。私はこの変換の系列を最初に描いた人で、すでに述べたように、これはサイトで今後発表される論文の主題になります。とにかく、これは補足的な結論に至ります。表面は多面体的な表現を持つことができます。立方体や四面体は、同じ「トポロジー」を持つため、球体の多面体的な表現として考えることができます。この点については私のコミック「Le Topologicon」を参照してください。さらに、球体をひっくり返すことが可能であるなら、立方体をひっくり返すことも可能であることが理解できます。ベルナール・モーリンによって考案された変換（私が1979年1月号の「Pour la science」の記事で図解したものです）は、中央モデルを通じて行われます。この系列には対称性があります。これを「4つの耳を持つ中央モデル」と呼びます。私はすでに予測していますが、球体が多面体的な表現を持つように、この変換の各段階も同様です。私がホームページで回転させている物体は、球体のひっくり返しの中央モデルの多面体バージョンであり、私は約10年前に考案しました。このような多面体モデルの利点は、平面の表面を使って作成できるということです。また、切り抜きを使って配置することもできます。以下の図をご覧ください（この図の正確な寸法を提供してくれた友人クリスophe Tardyに感謝します）。
これはあなたのプリンターで小さなサイズで出力される図であり、利用できません。
この図をA4用紙に印刷するには
それには、A4の厚紙で4枚のコピーを作成する必要があります。2枚は一つの色、もう2枚は別の色です。
これは全体像の図です。しかし、印刷するには、まず切り抜きのページに移動してください。そこを印刷してください。その後、通常の紙で印刷したものを手元に持ち、コピー機でこの図を4枚、2枚は緑のブリスターより、2枚は黄色の紙にコピーしてください。この切り抜きを使って、立方体のひっくり返しの中央モデルを構築できます。
この切り抜きの各部には、a、b、c、d、e、fなど、対応する文字が付いています。同じ文字が一致するように折りたたみ、透明テープでこれらの面を組み立てれば良いです。以下の図は、4つの要素の一つの組み立て方を示しています。まず、4つの要素の一つの折り方を以下に示します：
以下は、この4つの要素のうちの2つで、異なる角度から見たものです。
これらの要素は、4次の対称性を持ち、緑色と黄色の要素を交互に配置します。これを3Dで見るには、Tardy氏の「仮想現実」の作品を見てください。このセクションでは、完全に組み立てられた中央モデルも「vrml」形式で提供されています。このオブジェクトをさまざまな角度から見てみましょう：
「上」と「下」を区別することはできません。なぜなら、それらの名称は完全に任意だからです。左のビューでは、「中央」の点は「二重点」（o...）です。