クロスキャップを、シュタイナーのローマ曲面を経由してボーイ曲面（右でも左でも、どちらでも可）に変形する方法。
2003年9月27日 - 10月25日
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キプリングが言うように、すべては「大いなる工夫と力の魔法」である。
私は引退しているが、あえて言えば、他の人が編み物の列を並べるように、私も相変わらず少しばかり研究をしている。忍耐があって、200gの方眼ケント紙を手に入れられれば、これらの模型をすべて容易に再現できるだろう。私の友人クリストフ・タルディは、これをもとにアニメーションを制作中で、なかなかの出来になるはずだ。
クロスキャップはこれから続く図に現れるし、シュタイナーのローマ曲面も同様だ。しかし、これらはバーチャルリアリティのセクションに行けば見つけられる。そこではCosmoplayerを自分のマシンにダウンロードしておく必要がある。ぜひやってみてほしい、本当に楽しい。すべては「尖点」によって展開する。これらの点は、馬に乗って脚をぐっと締めつけるとごく自然に形成される。馬の体はそのとき線分に沿って押しつぶされる。すると馬の左腿は右肩とつながり、右腿は左肩とつながる。尖点については、探さなくてよい。あなたはただその上に座っているだけなのだ。
しかし、これらはすべて……丸っこい。尖点の「多面体的表現」に移ろう（立方体や四面体が単なる球面の多面体的表現とみなせるのと同じである）。太い線は「自己交差曲線」を表し、その終端は尖点Cである。
これらの図版を印刷したほうがよい。この先では、「さまざまな配置」の中に尖点を見分け、多面体の単なる頂点と混同しないことが必要になる。勇気があれば、これらのさまざまな対象を厚紙で作ってみると、よりよく理解できるだろう。以下にあるのは、「尖点対の生成・消滅」と呼ばれる本質的な操作である。最初の図は、太い線に沿って自己交差する一種の円筒を表し、その断面は逆さにしたギリシャ文字のガンマを思わせる。次にこの曲面を、断面が「逆さの涙」の形をした管を摘まむように変形する。この涙は点Sに退化する。そしてこの点が二つに分かれて二つの尖点になる。これが対の生成である。逆の操作は二つの尖点を消滅させる。その下にはこの操作の多面体的版がある。
以下はこの変換の別の多面体的表現で、この後曲面で起きることを見るのに近いものである。
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