クロスキャップを、シュタイナーのローマ曲面を経由してボーイ曲面(右でも左でも好きな方を選べる)に変形する方法。
2003年9月27日 - 10月25日
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ここにあるのはクロスキャップである(バーチャルリアリティの画像で発見したとおりのものだ)。これには自己交差線に縁取られた二つの尖点がある。ヘアアイロンで風船を挟んで作ることができる。しかし多面体的な表現を構成することもできる。下のものは特に興味深い。
この図版4にあるのは、最も把握しにくい瞬間である。ただ図面を見ただけで、誰もがこれらの図を理解できるとはほとんど思えない。これらの模型を作ってほしい。要するに、尖点C2を「曲面の内側へ」引っ張るのである(もっとも、すぐにお気づきだろうが、クロスキャップは片面であるため、これは何の意味もない。さらに続けると曲面は自己貫通し、自己交差の集合は「丸っこい」8の字の曲線で完成する。その過程で三重交点Tが生じる。
曲面は多面体的な形の方がより理解しやすい。そして下では、この対象をシュタイナーのローマ曲面(バーチャルリアリティを参照)に変形したくなるきっかけを示すために、いくつかの要素を拡大してある。その最も単純な多面体的な形は四つの立方体を組み合わせることからなる(ここでは三つしか見えていない)。
図版5:左が多面体的なもの、右が丸っこいもの。矢印は「つまむ」ことになる通路を通っている。下はつまみの始まり。
図版6:つまみは特異点Bを生じさせることで行われる。実際には時間を稼ぐために両側をつまむので、二つの特異点S1とS1、続いて二対の尖点が形成される。ここでは、厚紙とハサミとセロハンテープなしではお手上げである。
図版7:さまざまな尖点を単に移動させただけである。点C2は「明らか」だが、点C3とC4を尖点として識別するのはもう少し難しいだろう。しかしそれらは自己交差線の端に存在している。点C3の上にあるのは、私が「ポジコイン」と呼んだもの、つまり正の曲率の集中点にすぎない(負の曲率の集中点は「ネガコイン」である)。この対象をほんの少し変形すれば、シュタイナーのローマ曲面(シュタイナーがローマで発明した四次曲面。バーチャルリアリティによる提示を参照)の多面体的な形に行き当たる。
というわけで、できあがりである。曲面には、自らに課す規則に応じてさまざまな種類がある。自己交差しない曲面は埋め込み(球面やトーラスのR3への)と呼ばれる。自己交差するが接平面が連続的に変化する場合、それらははめ込みと呼ばれる。例:古典的な表現におけるクラインの壺。R3にはクラインの壺の埋め込みとしての表現は存在しない。それは必然的に自己交差する。はめ込みは尖点を含まない自己交差集合を持つ。これらの曲線は連続だが、二重点や三重点のあるところで交わることがある。注:球面は単に自己交差させることで、はめ込みの形で提示することもできる。ちなみにそうやって裏返すことに成功するのである(A.フィリップス、1967年、中心となる段階としてボーイ曲面の二重被覆を用いる。B.モランとJ.P.プティ、1979年、中心となるモデルとしてモランの四耳モデルを用いる。その多面体的表現を以下に示すが、これは私が十年前に発明したものである)。
これらの対象が尖点を持つと仮定して遊びの規則を拡張すれば、沈め込み(クロスキャップ、シュタイナーのローマ曲面)が得られる。これが正確な言葉かどうかはわからないが、明快に教えてくれる数学者を見つけられなかったので、幾何学の専門家が名乗り出るまでの暫定的なものとして、これを発明するのは面白いと思った。こうしてクロスキャップとシュタイナーのローマ曲面は「射影平面」の沈め込みということになる。
すべてを打ち明けると、25年にわたるMHDでの苦労の後、この研究を始めたのは、あらゆる軍事応用からできるだけ遠いと思えたからである。しかし、旧友ミンの指摘どおり、「沈め込み(submersion)」という語は混同を招き、海軍に、この研究を通じて潜水艦推進に関する何らかの突破を隠そうとしていると勘繰らせるかもしれない。
尖点の対の「生成-消滅」の規則によって、ある対象の沈め込みから別の沈め込みへと移ることができ、先ほどクロスキャップとシュタイナーのローマ曲面が射影平面と呼ばれる同一の対象の二つの沈め込みであることを示したのはまさにそれである。「射影平面」がどんな形をしているか探さないでほしい。この対象はそのさまざまな表現を通してしか把握できない。射影平面という語にしても、数学者が閉じた世界に踏み込もうとする者を迷わせるために発明した千もの言葉の一つにすぎない。数学においてラルース百科事典は何の役にも立たない。
あとはボーイ曲面に移るだけである。それは射影平面のはめ込みである
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