クロスキャップを、シュタイナー・ローマ曲面を経由してボーイ曲面（右でも左でも、どちらでもよい）に変形する方法。
2003年9月27日
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そこで、このモデルを別の角度から提示する。
図版14：自己交差曲線の第三の「耳」を作り出すことで、同じ操作を再掲する。多面体的には、これは一つの共通頂点、すなわち三重点Tを持つ三つの正方形の形をとる。
図版15：物体を回転させることで、私が発案し、『トポロジコン』で発表したボーイ曲面の多面体的版が再現される（そこには、それを組み立てるための切り抜き図が掲載されている）。
最後の図版：私は、シュタイナー曲面（四次であるのに対し、ボーイ曲面は六次である）が身をよじり、ボーイ曲面へと変形していく様子を図示しようと試みた。
「丸っこい」形では、この物体を理解するにはかなりの慣れが必要であることがわかる。同じ視線上に二枚を超える面が重なる物体を理解しようとすると、私たちの目は非常に居心地が悪くなる。だからこそ多面体的なものに価値があるのであり、それは、人々が自らモデルを組み立てる努力をすれば、幾何学において洗練されたものと見なされる変形を、誰にでも手の届くものにする。ついでに言えば、選ばれた尖点の対に応じて、「右」または「左」のボーイ曲面（まったく恣意的な言葉である）が得られることに気づく。射影平面は二つの「鏡像異性体的」な、鏡像の表現によって浸入される。右のボーイ曲面から左のボーイ曲面へは、中心的なモデルであるシュタイナー・ローマ曲面を介して移行できることがわかる。
こうした図が『Pour la Science』や『La Recherche』に掲載されれば、おそらく好ましいだろう。しかし二十年このかた、私はUFO学的偏向主義を理由にこれらの雑誌で「掲載禁止」とされている。エルヴェ・ティス氏とフィリップ・ブーランジェ氏に感謝する。この種の記事をこれらの雑誌に送って、丁寧に返送された数を私はもはや数えていない。人はやがて、破門された身分に慣れるものである。
逸話として、フランスには数学の普及書の著者を表彰する「ダランベール賞」というものがある。その話は、賞を誰に与えるべきかを決める委員会の一員から聞いた（なにしろ鍵にはいくらか金がかかっているのだ）。対話：
——しかし、ペティに賞を与えることはできないのかね？彼は『ジェオメトリコン』『ブラックホール』『トポロジコン』のような素晴らしい著作を残している。
——そうだが、彼はそれらの画集だけを作ったのではない。
——何を指しているのかね？
——彼は『沈黙の壁』も書いている。
——ああ、それなら……
そう、1983年に刊行された『沈黙の壁』はMHDに捧げられた画集である。そして周知のとおり、このいかがわしい科学には、空飛ぶ円盤がソニックブームを起こさずに超音速で進むことを可能にするという美点、あるいは悪戯心がある。
この科学は見えぬがゆえに隠しておけ
私の引き出しには、美しい中心モデルを備えた見事な「立方体の裏返し」の版があり、それはモランの変種の多面体的版ではない。すべて私の創案である。そのうちのどれか……
2003年10月22日：カウンターの数字から判断すると、このページはそれほど賑わってはいない。私は2003年10月13日月曜日、トロットマンの招きでCMI（シャトー＝ゴンベール＝マルセイユ数学情報学センター）でセミナーを行った。折しも、私は三十点ほどの厚紙モデルのコレクションを並べることができ、それらはクリストフ・タルディによって撮影されたので、近いうちに皆さんに初公開できるだろう。
セミナーを行えば、雰囲気が醸し出される。次の写真では、一人の幾何学者が当惑を表している。
背景には、展示されたモデルの一部がある。ある時、私はこう問いかけた：
——シュタイナー・ローマ曲面を見たことがある人は？手を挙げてください。
誰も見たことがなかった。そこで私は、持参したノートパソコン上で、その物体を仮想現実で提示するのが有益だと判断した。この物体は、技術者クリストフ・タルディと、グルノーブルのラウエ＝ランジュバン研究所（ILL）のフレデリック・デスカンの協力を得て制作したものである。明らかにこの提示は、数学の曲面が自由自在に舞い踊るのを見慣れていない聴衆を当惑させた。
手前に見える二枚の厚紙のパネルによって、一連のモデルを論理的な順序で提示することができた。「緑と黄色」のモデルは、多面体的に、尖点の対の生成・消滅という本質的な道具を例示している。最も遠い白い物体はクロスキャップの多面体的版であり、それはまず一メートル先でシュタイナー・ローマ曲面の多面体的版に変形し、次いで任意に「右」または「左」のボーイ曲面に変形する。
模型の分析は、聴衆の間にさまざまな発言を呼び起こした。ある幾何学者が尋ねる：
——もしこの方向に模型をたどってクロスキャップからボーイ曲面へ移行できるなら、逆を行えばボーイ曲面をクロスキャップに変形できるはずだ。
私は肯定する。勇気づけられて、対話者は付け加える：
——もしシュタイナー・ローマ曲面の段階で止まれば、そこから鏡像のボーイ曲面へ向かうことも可能になる。
私は二度目もうなずく。しかし残念ながら、閉曲面の浸入に尖点を与え、対で生成・消滅させ、その全体が一種の浸入の世界の拡張をなすという、この奇妙な世界について説明を加えようと名乗り出る者は誰もいなかった。「沈潜」という言葉が似つかわしいように私には思える。読者が何か説明を見つけたなら、歓迎する。
一点の尖点に集中した曲率
それは頂点の角度を合計し、この和をユークリッド和2πと比較することで計算される。
左上には、尖点の多数の多面体的表現の一つが示されている。物体の「分解」（右）は、ユークリッド和2πを2αだけ超える和をもたらす。そこから、この点Cの近傍に集中する角曲率は−2αであると推論される。角度αがπ/2に等しければ、負の曲率はcに等しい（左下の図）。実際、尖点に集中する曲率は無限の値をとりうる。右下では角の和を強調しており、曲率は2α未満となる。負の曲率を強調しているのである。
逆の仕方で操作すれば、かなり驚くべき状況に行き着くことができる。すなわち、Cに集中する（角）曲率が……ゼロになるようにするのである：
今度は、それぞれが**−π**に等しい負の曲率に対応する二つの尖点が描かれたクロスキャップの多面体的表現から出発できる：
+π/2の値に対応する八つの「ポジコイン」がある。曲率+π/4の四つの「ポジコイン」と曲率−π/4の四つの「ネガコイン」を加える。
さらに曲率−πの二つの尖点を加える。
合計：2π
この全曲率を2πで割ると、射影平面のすべての表現（ボーイ曲面のような）のオイラー＝ポアンカレ標数が得られる。
講演のなかで、球面の裏返しを用いてクロスキャップの二つの尖点を入れ替える術と作法について触れた。それをサイトのどこかに書いたかどうか、もう覚えていない。あまりにごちゃごちゃしているのだ。探さねばならない、さもなければどこかに書いておこう。なかなか面白い。ともあれ、この出し物はセミナー出席者の一人にはあまり気に入らなかった。
——ペティがクロスキャップの二つの尖点を結ぶ対称性を証明するのに、なぜあんな道具立てを使うのか、私にはわからない。もっとずっと簡単な方法がある。
そして彼は黒板に、二本の定規で押しつぶして互いに接するようにした球面の絵を描いた。それは確かに、クロスキャップの場合のように、二つの尖点に縁取られた線分という形の自己交差集合を与える。しかし残念なことに、そしてこの男も気づいたのだが、それはクロスキャップではない。
——おや、ではいったいそれは何だ？と誰かが尋ねた。
それはごく単純に、二つの尖点を備えた球面である。それらを合流させれば、自己交差線は単純な円になる。そして左下（断面）には、球面の浸入が得られ、あとはそれをその埋め込みに変えればよい。さらに、この曲面の多面体的表現に移ることもできる：
これは両側的であり、曲率は2πである。
したがって、これらの「沈潜」でかなり遊ぶことができる。無限記号「∞」または「8」を軸のまわりで回転させることからなるトーラスの浸入をとろう。
尖点の合流の技法によって、以下の一連の図に示されるように、トーラスの標準的な埋め込みにごく速く到達することができるだろう。
しかし物事は時にそれほど簡単で明白ではないことが判明する。たとえば、今度は直径より短い二つの線分の間で押しつぶす球面をとる。やはり二つの尖点が得られる。
そこにメビウスの帯を内接させることができるので、この曲面は片側的である。その全曲率を計算できる多面体的表現が示されている。するとゼロが得られる。私が誤っていなければ、それはクラインの壺であろう。一般に知られているのは、自己交差線が単純な円である最も古典的な浸入だけである。しかし、これのような他のものもある。正直に言えば、上の物体をクラインの壺の浸入に変形する方法はまだ見つけていない。そもそも異なる浸入が同じホモトピー群に属するのかどうかもわからない（球面は一つしか持たない）。おそらく否であろう、トーラスは四通りの仕方で浸入でき、それらは正則ホモトピーで互いに結びつけることができないのだから。とりあえず私は、この曲面に二つの尖点を追加して変形する遊びをし、二つのクロスキャップが管で結ばれたものが得られた。それらを分解すると、オイラー＝ポアンカレ標数がゼロに等しいことがわかる。
この「奇妙な曲面」はクラインの壺の浸入の一つに変形できるはずである。しかしどれに？いずれにせよ、ここに「8」を軸のまわりで回転させ、おまけに半回転させて得られるものがある：
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