立方体の反転の中心モデル
2001年12月31日
皆さんは、サイトのホームページ左側で、奇妙な物体がひっきりなしに回転しているのをご覧になったことでしょう。それは何なのでしょうか？
いつか時間ができたら、球の反転についての説明をサイトに載せます。それは、私が『Pour la science』誌の1979年1月号、つまり……今から22年前に図解したものです。もちろん、そのすべてには膨大な細部と導入が必要でしょう。球を反転させるとは、どういう意味でしょうか？ 球は、街の人と数学者＝幾何学者とでは同じ意味を持ちません。街の人にとって、球とは三次元空間において、その中の固定点Oから距離Rにある点の軌跡として定義されます。幾何学者は、「変形した球」、一種の「ジャガイモ」に相当する対象も引き続き「球」と呼ぶでしょう。こうした概念すべてをより正確に把握するには、バンド・デシネ『Le Topologicon』を収録したLanturluのCDをお求めください。しかし数学者はさらに先へ進みます。曲面が「正則」と言われるとき、その各点において接平面を定義できます。これによってすでに、「出発点の球」を無限のジャガイモへと無限に変形させることを想定できますし、さらにその曲面の面積は任意であり得ます。とはいえ、「物理的な宇宙」では、この球を変形させる人は、球が自分自身を貫通できないという不可能性に突き当たります。こうした貫通や接触が禁じられている場合、球S2の埋め込みと呼ばれます。しかし数学者はあらゆる権利を自分に与えます。数学者にとって球とは「仮想的な」対象であり、膜の貫通が可能になります。以下の一連の図は、「自己貫通した」球を示しています。このとき、球のこの表現ははめ込みと呼ばれます。
はめ込みには自己交差の集合（ここでは単純な円曲線）があります。接平面は連続的に変化しなければなりません。とはいえ、上の図を見ると、操作は球の内部の一部（緑色で表されている）を確かに外側へと反転させています。このような反転を完了するには、この種の赤道状のソーセージを押しつぶさなければならないでしょう。このことは一見したところ問題がありそうです。この押しつぶしは接平面の連続性を破るでしょう。したがって操作には、はめ込みではない段階が含まれることになります。
ある日、アメリカの数学者スティーヴン・スメイルが、「球S2はただ一つのはめ込み類しか持たない」と証明しました。この謎めいた文の系は、「標準的な球」からその「対蹠的」表現、つまりすべての点がその対蹠点に置き換えられた表現へと移行できるような、球のはめ込みの列をつなげられるはずだ、というものでした。要するに……裏返しにされた、表裏のある球です。ラウル・ボットはスメイルの上司でした。スメイルの純粋に形式的な証明が欠陥がないように見えたのと同じくらい、誰もその操作をどうやって実現するかわかりませんでした。ボットはスメイルに絶えず「どう進めるつもりか見せてみろ」と言い、それに対してスメイルは、例の舌足らずな話し方で「皆目見当がつかない」と答えました。スメイルは後に、数学におけるノーベル賞に相当するフィールズ賞を受賞しました。ついでに、なぜノーベルが数学のノーベル賞を創設しようとしなかったのかと疑問に思うかもしれません。答えは簡単です。彼の妻が数学者と駆け落ちしたのです。
事態はかなりの年数のあいだそのまま放置されましたが、1967年にアメリカの数学者アンソニー・フィリップスが『Scientific American』に、恐ろしく複雑なこの反転の最初の版を発表するまで続きました。第二の版は1970年代初頭に、フランスの（盲目の）数学者ベルナール・モランによって発明されました。私がこの一連の変換を最初に描いた者であり、すでに述べたように、それはサイトにおける今後の記事の対象となるでしょうし、かなり分量のあるものになります。ともあれ、これは副次的な結論へと導きます。曲面は多面体的な表現の対象となり得ます。立方体や四面体は、これらの対象が同じ位相を持つ限り、球の多面体的表現と見なせます。この点については、私のBD『Le Topologicon』をご覧ください。さらに、球を反転させることが可能なら、立方体を反転させることも可能であると理解されるでしょう。ベルナール・モランが発明した変換（私が『Pour la Science』1979年1月号の記事で図解したもの）は中心モデルを経由します。この系列には対称性があります。これが「四つの耳を持つ中心モデル」と呼ばれるものです。ここでもまた先取りしています。しかし球が多面体的表現に適し得るのと同様に、これらの変換の successive な段階も同様です。こうして私のホームページで回転しているのをご覧になっている物体は、球の反転の中心モデルの多面体的版であり、私が10年ほど前に発明したモデルです。これらの多面体モデルの利点は、平面で構成できることです。さらに、切り抜き図に従って組み立てることもできます。以下の図をご覧ください（ついでながら、正確に寸法を記入した要素を作ってくれた友人クリストフ・タルディに感謝します）。
これはお使いのプリンターで小さい形式で出力される図で、そのままでは使えません。
この図をA4用紙に印刷するには
その場合は、厚手のA4用紙に4枚コピーする必要があります。2枚はある色、2枚は別の色です。
これはここに全体像を示した切り抜き図です。ただし印刷するには、切り抜きページに進むほうがよいでしょう。それを印刷してください。そして、お使いのプリンターの普通紙に印刷したこの部品を持ってコピー店へ行き、この図の同一コピーを4枚、緑のボール紙2枚と黄色のボール紙2枚に作ってください。この切り抜き図を使って、立方体の反転の中心モデルを組み立てられるようになります。
これらの切り抜いた要素には、文字の対があります。a、b、c、d、e、f など……同じ文字が一致するように折り、次に透明な粘着テープでこれらの面を組み立てるだけでよいのです。以下の図は、四つの要素の一つを組み立てる方法を示しています。まず、四つの要素の一つの折り方を始める方法は次のとおりです。
以下は、これら四つの要素のうち二つを異なる角度から見たものです。
これらは次に組み合わされ、四次の対称性を持ち、緑の要素と黄色の要素が交互に並ぶ対象になります。これを3Dで見るには、タルディ氏の「バーチャル・リアリティ」による作品をご覧ください。完全に組み立てられた中心モデルも、このセクションで「vrml」として制作されています。以下は、異なる角度から見たこの対象です。
一方の図が「上」で他方が「下」に対応するとは言えません。これらの呼称はまったく恣意的だからです。左の図では「中心」点がモランの中心モデルの「二重点」（二枚の膜が交差する点）に対応し、右の中心点は同じモデルの「四重点」（四枚の膜が交差する点）に相当します。左の図がかぎ十字を連想させないよう、対象を注意深く向きを定めなければなりませんでした。そうでなければ、建築的に言えば、モランの中心モデルのこの多面体的表現は、国家社会主義文化会館の非常によい計画になり得たでしょう。
最後の図：
最後に一言。球の反転（別名、立方体の反転）のよい多面体的表現は存在しません。「よい」とは、上のモデルのように、比較的容易に切り抜き図の形で組み立てられる、十分に明示的な一連のモデルを意味します。この方向での研究が必要でしょうが、それは誰にでも、場合によっては非数学者や、たとえば造形作家にも手の届くものです。20年以上前、私はエクス＝アン＝プロヴァンス美術学校で彫刻の教師をしていました。当時、その学校は私の優れた友人ジャック・ブリエがまだ校長をしていました。最初の楕円によるボーイ曲面の子午線的表現が生まれたのはその校舎においてであり、それがアペリによる最初の陰関数方程式の構成の鍵となりました。当時、私は芸術学生たちの幾何学的想像力にいつも驚かされていたと言わねばなりません。それはしばしば……幾何学者たちのそれを上回っていました。
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