四元数

球面 S3 と四元数

BK

球面 S3 が球面 S2 よりも円 S1 に似ているように見えるのは、両者ともある「数体」の「単位元群」に対応しているからです。すなわち、S1 は複素数体に対応し、S3 は四元数体に対応しています。しかし、S2 ではこの対応は成り立ちません。なぜなら、R3 は数体ではないからです。

これらの構造を理解するために、まず R2 を実係数の 2×2 正方行列の代数に埋め込むことで、どのようにして数体の構造を持たせるかを復習します。その後、同様の構成により、複素係数の 2×2 正方行列の代数に埋め込むことで R4 に数体（四元数体）の構造を持たせることができることを示します。

1. 複素数体

M2(R) を実係数の 2×2 行列の空間とします。これは、

ここで a, b, c, d は実数であるような行列の空間です。以下が知られています：

1. M2(R) の 2 つの行列を加算できる。
2. M2(R) の行列に実数を乗算できる。
3. M2(R) の 2 つの行列を互いに乗算できる。

これら 3 つの性質をまとめて、M2(R) は「代数」であると称します。記述には 4 つのパラメータが必要なため、その次元は 4 です。

平面 R2 の任意のベクトル (x,y) に対し、次のような実係数の正方行列を対応させることができます：

すると、以下のことがわかります：

1. このような 2 つの行列の和も同じ形をしている：

2. このような行列 z に実数 λ を乗じたものも同じ形をしている：

3. このような 2 つの行列の積も同じ形をしている：

したがって、加算、スカラー乗算、行列乗算に対して安定な M2(R) の部分空間 C を構成することができました。C は M2(R) の部分代数であると称します。その次元は 2 です。この代数の重要な性質として、可換性があることが挙げられます：

z1z2 = z2z1

行列 z ∈ C の行列式は

= x² + y²

と書けるため、C のゼロでない任意の行列 z は正則であり、その逆行列

1/Det(z) * | x | -y |
|---|---|
| y | x |

もまた C に属します。このとき、C は体であると称します。ここで私たちは、複素数体を再発見したことになります。

ベクトル (1,0) に対応する行列は「単位行列」

です。

ベクトル (0,1) に対応する行列を i と表記します：

この行列は、i² = -1 という注目すべき性質を持っています。

これらの記法を用いると、任意の複素数は、x と y が実数であるとき、次のように一意に表せます：

z = x·1 + y·i

C の元 z の「共役」は、行列 z の転置として定義されます：

複素数体には 2 つの注目すべき部分空間があります。一方は、単位行列 1 のスカラー倍、すなわち次の形の行列の集合です：

これは加算と乗算に対して安定であり、「実数空間」と呼ばれます。これは実数体と同一視され、C の部分体として現れます。これはまた、方程式 z = z̄ によって定義されます。

もう一方は、対角成分の和（トレース）がゼロであるような行列 z の部分空間です：

これは「虚数空間」と呼ばれます。加算に対しては安定ですが、乗算に対しては安定ではありません。これはまた、反対称な 2×2 行列の空間でもあることに注意してください。

これらの定義により、R2 の 2 つのベクトルの通常の内積は容易に計算できます。z1 が (x1,y1) に対応する行列、z2 が (x2,y2) に対応する行列であるとき、

(x1,y1)·(x2,y2) = 1/2 Tr(z1 z̄2)

と書けます。

z に対応するベクトル (x,y) のノルムは

||(x,y)||² = x² + y² = Det(z) = 1/2 Tr(z z̄)

と書けます。これは複素数 z の絶対値またはノルムとも呼ばれ、|z| と表記されます。もちろん、|z1z2| = |z1||z2| が成り立ちます。

体 C の「単位元部分群」、すなわち U(1) は、

|z|² = z z̄ = x² + y² = 1

を満たす C の元 z の集合です。

この集合は乗算に対して安定です。元 1 は U(1) に属します。U(1) の任意の元は正則であり、その逆元もまた U(1) に属します。このとき、U(1) は群であると称します。ただし、U(1) の 2 つの元の和は一般には U(1) に属さないことに注意してください。以上の構成により、円 S1 が C の単位元からなる群として現れることがわかりました。点 1 における円 S1 の接線、すなわち群 U(1) のリー代数は、

Tr(z) = 0

によって定義される虚数直線です。

2. 四元数体

定義

先ほどの構成を繰り返して、R4 に数体の構造を持たせます。M2(C) を複素係数の 2×2 行列の空間とします。複素数の組 (a,b) に対し、次のような複素係数の正方行列を対応させることができます：

すると、以下のことがわかります：

1. このような 2 つの行列の和も同じ形をしている：

2. このような行列 q に実数 λ を乗じたものも同じ形をしている：

3. このような 2 つの行列の積も同じ形をしている：

したがって、M2(C) の部分代数 K を構成することができました。しかし、C とは異なり、この代数は可換ではありません。例えば、

| i | 0 | | 0 | i | | 0 | -1 |
|---|---| |---|---| |---|---|
| 0 | -i | | i | 0 | | 1 | 0 |

| 0 | i | | i | 0 | | 0 | 1 |
|---|---| |---|---| |---|---|
| i | 0 | | 0 | -i | | -1 | 0 |

行列 q ∈ K の行列式は

= |a|² + |b|²

と書けるため、K のゼロでない任意の行列 q は正則であり、その逆行列

1/Det(q) * | ā | -b |
|---|---|
| b | a |

もまた K に属します。K を「四元数体」と呼びます。これはまた、次元 4 の実ベクトル空間でもあります。任意の四元数 q は、

q = t·1 + x·I + y·J + z·K

の形に書けます。ここで、

1 = | 1 | 0 |
|---|---|
| 0 | 1 |

I = | i | 0 |
|---|---|
| 0 | -i |

J = | 0 | 1 |
|---|---|
| -1 | 0 |

K = | 0 | i |
|---|---|
| i | 0 |

です。

以下の関係式は容易に検証できます：

I² = J² = K² = -1,
IJ = -JI = K, JK = -KJ = I, KI = -IK = J.

四元数

q1 = t1·1 + x1·I + y1·J + z1·K

および

q2 = t2·1 + x2·I + y2·J + z2·K

によって表される R4 の 2 つのベクトルの通常の内積は、

(t1,x1,y1,z1)·(t2,x2,y2,z2) = 1/2 Tr(q1 q̄2)

と書けます。

q によって表されるベクトル (t,x,y,z) のノルムは

||(t,x,y,z)||² = t² + x² + y² + z² = Det(q) = 1/2 Tr(q q̄)

と書けます。これは四元数 q の絶対値またはノルムとも呼ばれ、|q| と表記されます。もちろん、|q1q2| = |q1||q2| が成り立ちます。

実四元数と虚四元数

K の元 q の「共役」は、行列 q の共役行列の転置として定義されます：

四元数 q が、t が実数であるとき

の形をしている場合、q は「実四元数」であると称します。これにより、R を K の部分体と同一視できます。「実四元数」の部分空間は、方程式 q = q̄ によって定義されます。

また、「虚四元数」の空間 H を、方程式

Tr(q) = 0

によって定義します。

これは I, J, K によって生成される 3 次元空間です。これはまた、トレースがゼロである M2(C) の反エルミート行列

M* = tM̄ = -M

（ここで M* は複素共役行列の転置を表す）の空間としても定義されます：

Tr(M) = 0

注 1: 複素数体 C の場合、虚数空間は反対称な実 2×2 行列から構成されていることを確認しました。しかし、反対称行列 tM = -M のトレースは必ずゼロですが、反エルミート行列 M* = -M のトレースは必ずしもゼロではありません。

単位元群

体 K の「単位元部分群」、すなわち SU(2) は、

|q|² = q q̄ = t² + x² + y² + z² = 1

を満たす K の元 q の集合です。

これは球面 S3 に属する点の集合であり、群 SU(2) という「群構造」を備えていることがわかります。球面 S3 の接空間（次元 3）、すなわち群 SU(2) の「リー代数」は、

Tr(q) = 0

によって定義される虚数空間です。

H の 2 つの元 X と Y の「リー括弧積」

[X,Y] = XY - YX

もまた H に属することを検証できます。

任意の点 q における球面 S3 の接空間は、虚数空間 H の元を左から q で乗算することで得られます：

TqS3 = q H

点 1 から方向 X（ここで X ∈ H かつ |X| = 1）に向かう球面 S3 の各測地線は、

q(s) = exp(sX) = cos(s)·1 + sin(s)·X

によって定義されます。

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