数学物理学と幾何学
物理学と幾何学
2004年11月2日
数学物理学の分野において、数学者ジャン＝マリー・スリアウがその先駆者の一人であるが、この分野は幾何学を通じて展開される。このアプローチにおいて、エネルギー、質量、運動量、スピン、電荷といった物理量は、群論という道具を用いることで、純粋に幾何学的な性質を持つ量へと変換される。この世界、あるいは宇宙を捉えるこの視点に入り込むために必要なことは、ほとんどない。行列の操作ができれば十分である。行列という概念が初めてなら、ぜひその理解に努めてほしい。その価値は十分にある。もしあなたがかつてその知識を持っていたなら、もう一度復習してみてほしい。それらの知識は、あなたを非常に遠くまで連れて行ってくれるだけでなく、次のような問いに答えられるかもしれない。
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粒子のスピンの本質的な性質とは何か？
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反物質とは一体何なのか？
ポアンカレ群の余作用
その運動量空間における
注意：本稿は科学に強く傾倒した読者向けにのみ。これは科学の一般向け解説ではない。
2004年10月24日
物理学は常に幾何学と密接な関係を築いてきた。数学者ジャン＝マリー・スリアウは、数学物理学の創始者の一人である。この分野は、非常に洗練された物理学の幾何学化を経て展開される。すべては、実数係数の群、特にローレンツ群やポアンカレ群といった群に基づいている。ここでは、それらは実数係数の行列として表現される。以下に述べる内容は、ミンコフスキー空間の計量に結びついた唯一の行列 G から始まる。この行列を用いて、4×4の行列で表される群 L を定義する。この群は、事象点からなる時空に作用する。この行列と「時空的並進ベクトル」C を組み合わせることで、5×5の行列で表される第二の群を構成する。この群もまた、時空に作用する。この時空において、「運動」という概念を考察する。軌道という概念は、あまりにも貧弱である。粒子の運動は、エネルギー E や運動量 p といった量と結びつけるべきである。理論物理学者にとって、質点としての粒子は、スピンも持つべきである。だが、このような対象とは一体何なのか？ 質点は、自らの周りを回転できるのだろうか？
スリアウは、群のみを出発点として、これらの量を幾何学的に定義した。この点については、正直に言って、かなり難解である。群は「作用」する。したがって、すべては「作用」という概念から始まる。ポアンカレ群の要素は、運動を別の運動に変換する。その結果、運動は運動の空間、すなわち時空に埋め込まれる。群は「輸送」する。例えば、ユークリッド群には、3次元空間における並進と回転が含まれる。この群は、点や点の集合を移動させることができる。この考え方は、直感的に理解しやすい。時空においては、「運動」を「輸送」する。3次元空間内の異なる位置に置かれた同一の灰皿を二つ考える。常に、ユークリッド群の要素が存在し、適切な並進と回転により、一つ目の灰皿を二つ目の灰皿の位置に重ねることができる。群の力によって、空間内のどこにでも、どんな向きにも、すべての可能な灰皿を構成できる。なぜなら、ある位置にある灰皿の記述がわかれば、空間全体のすべての可能な配置を再現できるからである。
時空においては、対象は「運動」である。ポアンカレ群が取り扱う運動は、相対論的質点の運動に対応する。同様に、群の力によって、一つの運動がわかれば、すべての運動がわかる。粒子とは、質点の運動の中の特別な一つである。この見方を、次のように要約できるだろう。
「お前がどのように動くか、教えてくれれば、お前が何であるかを教えてやる」
スリアウは、運動の空間は、彼が「運動量空間」と呼んだ第二の空間と関連づけられるべきであると示した。彼が「運動量」と呼ぶのは、特定の粒子に関連するパラメータのことである。その粒子が、適切な座標系で「観測」されると、三つの量が明確に分離される。
E, p, s
エネルギー E、運動量 p、そして謎めいた存在であるスピン s である。これらの量は、群の運動量空間における余作用を通じて、純粋に幾何学的な量として現れる。
現在、宇宙物理学者たちは「暗黒エネルギー」と呼ばれる対象を扱っている。これは、遠方の超新星観測から得られる宇宙の再加速現象を説明するための、唯一の新しい宇宙論的要素として考えられている。この「暗黒エネルギー」は……負の値である。この議論のアプローチによれば、ポアンカレ群の性質から、エネルギーが負の質点が存在することも自然に導かれる。この点に進む前に、科学的読者はこの文書を読み込み、理解を深める必要がある。計算技術的には、行列の操作ができれば十分である。15年前は高校3年生レベルだったが、どうやら行列は現在の教育課程では教えられていないらしい。残念だが、これは極めて重要な道具である。しかし、これはおそらく「教育課程の近代化」の一環であるのだろう。
負のエネルギーを持つ粒子
2004年10月25日
現代の宇宙物理学において、理論家たちは「暗黒エネルギー」と呼ばれる、負のエネルギーを持つ対象に注目しつつある。これは、遠方の超新星観測から得られる宇宙の再加速現象を説明するための、唯一の新しい宇宙論的要素として考えられている。
物理の動的群論（ポアンカレ群）は、この難解なテーマに対する理解を深める手助けとなる。繰り返すが、ここに述べる内容は、科学者または科学に強く傾倒した読者にのみ理解可能なものである。
電荷：幾何学的な対象
2004年11月9日
数学者ジャン＝マリー・スリアウが考案した「群の余作用」を用いることで、エネルギー、運動量、スピンが純粋に幾何学的な量として現れる仕組みを再確認した。以下では、彼がその方法を用いて電荷がどのように純粋に幾何学的な量として現れるかを再検討する。彼は、4次元時空に第五次元を追加する。この5次元の集合は、11次元の新しい動的群によって扱われる。これはポアンカレ群の非自明な拡張である。群の次元が増えるに従い、運動量の成分も増加する。この11番目の次元が、電荷 q として識別される。
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