フランス語のオリジナルバージョン
第3回カール・シュヴァルツシルト会議レポート
ファイアス、フランクフルト、ドイツ
2017年7月24日～28日
2017年8月2日
私は、ドイツのフランクフルトにあるプレステジウスなファイアス（フランクフルト先端研究機関）で開催された「重力物理とゲージ/重力対応に関する第3回カール・シュヴァルツシルト会議」から今さっき戻ってきました。
私は自分のポスターの内容に非常に迷い、最終的に私の2つの結合された場の式、つまりジャンス宇宙モデルの中心となるものを提示することにしました。
これはシンポジウムの中心テーマ「ブラックホールの物理」に合っていなかった。私は後でこのテーマを取り上げようと思っていたが、2015年に
Modern Physics Letters A
に掲載した以下の論文：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 mars 2015).
"Annulation de la singularité centrale de la solution de Schwarzschild par un processus naturel d'inversion de masse"
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9): 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
は、査読後で私がすでに出版した中で最も近いものでした。私のポスターの隣には表があったので、私はその論文の概要を書きました：
これは多くの注目を浴びました。会議参加者は写真を撮り、群衆が集まりました。60代のシニア研究者がすぐに、1916年にシュヴァルツシルトが得たメトリックのすべての特異点が単なる変数変換によって排除できるという主張に疑問を呈しました。彼は他の人と違ってバッジを付けていなかったので、ファイアス、フランクフルトの先端研究機関のメンバーであると考えました。これは変数変換です：
ようやく批判者が現れた！さらに明確にするために、私はすぐに計算の詳細を書いた用紙を私の専門家に渡しました。彼はその紙を手に取り、少し離れて、椅子に座り、15分間その方程式に集中しました。
誰もが彼の判断を待っていました。彼は最終的に私にその紙を戻し、うなずきで承認しました。彼の顔には大きな困惑が浮かんでいました。彼はおそらく次のように思っていたに違いありません：
「私はこれを見たことがありません。明らかに、このフランス人はどこかで間違いを犯しているに違いない。私は後でそれを見つけるだろう。」
私はこの問題に彼を巻き込み、1916年にカール・シュヴァルツシルトが得た結果の解釈に関する問いを提起しました（会議の名前がまさに「カール・シュヴァルツシルト会議」だったのです！）。私は彼に、1916年にプロイセン科学アカデミーの会報に掲載されたオリジナル論文を読んだか尋ねました。これは現在「シュヴァルツシルト外部解」と呼ばれるものです：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
英語訳は次の通り：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9905030
[physics.hist-ph]
また、数週間後（彼の死の3か月前）に掲載された彼の2番目の論文、つまり「シュヴァルツシルト内部解」：
Schwarzschild, K. (24 février 1916).
"Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
英語訳は次の通り：
Antoci, S. (12 mai 1999). "On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9912033
[physics.hist-ph]
彼はそれを読んだことはないと認めた（！）上で、次のように言いました：
— あなたはドイツ語を読めますか？
— いいえ、しかし私は1999年に出版された比較的新しい英語訳を読んだことがあります。100年前の論文を読むために、私は自分のノートパソコンにそれを持っています。一緒に見るのは問題ありませんか？また、1916年12月にダヴィド・ヒルベルトが出版した非常に重要な論文もあります。これはシュヴァルツシルトの死後に彼の研究を再評価したものです。
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
英語訳は次の通り：
Renn, J. (2007).
"The Foundations of Physics (Second Communication)"
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics
. Springer. 1017–1038.
彼はその質問を回避し、彼がそれも知らないと付け加えました（！）
実際、私はフランクフルトで発見したのは、「ブラックホールの人々」
が、彼らが発展させている研究の元となった基本的な文献をまったく知らないということでした。全会員の前で講演した、
ジャン・マルダセナ
、現代ブラックホール理論の主要人物は、会議の下書き（
会議の下書き
）に掲載されているように、次のように始めました：
ジャン・マルダセナ
— シュヴァルツシルト解は1世紀以上にわたり私たちを悩ませ、空間と時間の観念をより正確にしました。これはアインシュタイン理論の理解を深めました。実験的には、いくつかの天体観測を説明しています。その量子的側面は、空間時間の幾何学と量子力学の関係をより深く理解するための理論的パラドックスを生み出しました。
具体的には、その影響はどこにあるのでしょうか？
まず、「ホーキング放射」の「発見」があります。実際、これは一般相対性理論と量子力学の統合に依存しています。このような統合は一度も成功したことはありません（重力は量子化されず、重力子というスピン2の粒子が見つかっていない）。現代の理論家たちは、この空想が現実であると信じています。ホーキングは、イベントホライズン近くの量子現象を援用して、ブラックホールがエネルギーを失い「放射」することを「証明」しました。これはすぐにブラックホール情報パラドックスをもたらしました。なぜなら、ブラックホールと呼ばれるこれらの物体では、すべての構造が潰されるはずで、すべてが完全に消失するからです。したがって、ブラックホールは「情報破壊機関」です。マルダセナはその後、ブラックホールの「熱力学」の進展を示しました。特に、「ブラックホールのエントロピーがその表面に比例している」と強調しました。
要するに、ここ数十年、理論家たちは情報パラドックスを回避する方法に注目してきました。あなたはおそらく「火の壁」や他の類似の概念を聞いたことがあるでしょう。マルダセナの最新の研究では、新たな「魔法の言葉」：
「量子もつれ」
を援用しています。これは量子力学と有名なアインシュタイン＝ポドルスキー＝ローゼンのパラドックス（EPRパラドックス）から来ています。私は私のビデオ
JANUS 6（14:04）
でこれを説明しました。この有名な実験では、発射された2つの光子は「もつれています」。要するに、マルダセナによれば、「もつれ」がすべての答えを提供します。それに加えて、少しの弦理論。
このような発言は、2017年の理論の最良の例です。
会議の参加者は当然、JANUSのビデオを参照しました（
完全なプレイリストはこちら
）。ジュリエン・ジェフレイの驚くべき作業により、これらのビデオは英語に翻訳され、字幕が追加されました。会議の開会時には、JANUS 14から19までの6本がすでに翻訳されていました。そして、ここであなたが理解する必要があります。英語での正確な翻訳は、フランス国外で聞かれるために絶対に必要です。私は悪い英語の翻訳を提供することはできません。外国の利用者はすぐに切り替えてしまいます。ジェフレイは20年以上にわたり私の仕事を追っており、シャクスピアの言語を完璧に理解しています。彼だけがこの非常に微妙な字幕作業を担当できました。1本のビデオあたり2〜3日かかる作業で、1本のビデオあたり15,000〜20,000文字のテキストがあり、多くの専門用語を翻訳する難しさ、視覚的に配置し、10分の1秒単位で調整する難しさ、および私の出版物や科学的なコマーシャルのためのマップの作成が含まれます。
非フランス語話者への影響を見て、私はJANUSシリーズのすべてのビデオを英語に字幕を付ける必要があると理解しました。私たちは価格を再交渉して翻訳をさらに拡大しましたが、20本以上のビデオでは予算が高くなります。
インターネットユーザーは呼びかけに応じて
PayPal
を通じて寄付をしました。これらの資金は、私は海外を旅し、国際会議に参加するための費用（登録料、交通費、宿泊費）、および字幕作業に使われます。私は、今後も月に2本のビデオを制作し続けるつもりです（はい、量子力学に関するJANUSのビデオもあります）。私は、ウェブサイト上のテキストはしばしば忘れられてしまうが、ビデオは時間の制限なく続くため、現代のコミュニケーションツールとして非常に重要であると考えています。
2018年春までの予算（字幕＋会議）：20,000ユーロ
真実を明らかにするにはコストがかかります。
インターネットユーザーから送られたお金（彼らに感謝します！）が、私が次の会議（シュヴァルツシルト会議、フランクフルト；その後、COSMO-17、パリ…）に出席するためのものであるなら、私は字幕作業とその後の会議の費用を補うための追加の支援が必要です。
これらのビデオの影響：シュヴァルツシルト会議での若手研究者の反応。その一人、イタリア人だった彼は、最終的に私に次のように言いました：
— あなたが書いたジャンス宇宙モデルの論文を読んだことがあります
（彼はその内容を評価するための専門知識を持っていました）
。私はここでのあなたの受け入れ方を見ていました。あなたがこれらの人があなたに背を向けることを期待できるとは思えません。あなたが提案しているのは、彼らの仕事の根本を破壊することです！
この若い人と接触を築き、維持しました。彼はイタリアでニュートン力学の修正に関する研究をしています。これは最初の種です。私が国際会議で「アプローチ」を続ける限り、若い世代にも他の種が生まれるでしょう。おそらく、私が言及したファンタジーな作品で有名になった人々の中にはいないでしょう。
これらの若い人々のうち、ある日、「私はモンド理論を本当に信じていません。このフランス人の物理学者のアイデアがどこへ導くかを試してみようか」と言うかもしれません。
これらの接触と交換は、若い研究者がビデオを見て、私が出会ったときにジャンスモデルに関する論文を読むことで容易になります。
フランクフルトでは、ほとんどの発表は「ブラックホールの物理」に焦点を当てており、「あなたが観測できるなら、何が観測できるか…」についてでした。新しい「ホログラフィック宇宙」のアイデアを追加しました（私は実際にホログラムとは何かを説明するビデオを作らなければなりません）。女性が「宇宙のひもに恐怖する必要はない」と説明しました。別の女性は、宇宙のインフレーション期に小さなブラックホールのペアが形成される仕組みを示しました。弦理論に関連する物語や「ブレーンの衝突」を追加しました。私は、観測と対比可能な結果を持つ研究と成果を提案している唯一人です。
私が宇宙論界を刺激し、反応を引き起こしたいなら、私は彼らの愛児であるブラックホールを攻撃しなければなりません。これは私が後ほど行うと思っていたことよりもずっと早く行う必要があると私は思っていませんでした。しかし、フランクフルト会議の雰囲気が私をその状況に追い込みました。したがって、私の次のビデオのタイトルは：
JANUS 21：1916年にカール・シュヴァルツシルトが見つけた解の誤った解釈から生まれたブラックホール
これはパリでの国際会議COSMO-17での私の言葉にもなります。これはブラックホールの代替モデルを提案するものではありません（まだ）、しかし次のように要求します：
— このオブジェクト、つまり「ブラックホール」と呼ばれるものは、1916年にカール・シュヴァルツシルトが見つけた解に合致していないため、矛盾しています。私はそれを証明します。
ドイツの数学者カール・シュヴァルツシルトは、1916年5月11日にポツダムで43歳で亡くなりました
エインシュタインの式の解を発見した3か月後に出版されました
この解は1916年にシュヴァルツシルトによって見つかり、次のように出版されました：
Schwarzschild, K. (13 janvier 1916).
"Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie"
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 189–196
英語訳は次の通り：
Antoci, S.; Loinger, A. (12 mai 1999). "On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory".
arXiv:physics/9905030
[physics.hist-ph]
この最初の論文で、シュヴァルツシルトは「極座標」として
r
を明確に定義しています：
しかし、彼はそれを「補助量」として導入し、1916年1月に彼の有名な「外部解」を表現するためにはそれを使います：
数学の専門家でなくても、シュヴァルツシルトが選んだ変数
r
（上記のように定義されたもの）が厳密に正である場合、中間量
R
は自由ではなく、下限αを持っています：
シュヴァルツシルトは1916年5月11日にポツダムで43歳で亡くなり、この最初の出版から数か月後のことでした。
1916年12月にゲーテンゲン科学アカデミーで発表された発表で、この解の表現方法を再評価しました。ドイツの偉大な数学者
1916年当時の54歳のデービッド・ヒルベルトは、この解の表現方法をあまり興味深いものとは考えておらず、この場合、特異点（
R
= α）を
r
= 0で原点に送り込みました。
ヒルベルトの発表は1916年12月23日に発表されました（シュヴァルツシルトは5月に亡くなった）：
Hilbert, D. (23 décembre 1916).
"Die Grundlagen der Physik (Zweite Mitteilung)"
.
Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, (Math.-Phys.)
. 53–76.
英語訳は次の通り：
Renn, J. (2007).
"The Foundations of Physics (Second Communication)"
.
The Genesis of General Relativity, Vol.4: Gravitation in the Twilight of Classical Physics: The Promise of Mathematics
. Springer. 1017–1038.
実際、ヒルベルトはすでに相対性理論の研究に積極的に取り組んでいました。彼の論文のタイトルは「物理学の基礎」でした。多くの人々は、アインシュタインが物理学者で、ヒルベルトが純粋な数学者であると考えています。実際、ヒルベルトは科学の技術的側面をあまり好きではありませんでした。ある日、彼に病気の数学者フェリクス・クラインの代わりに、学生エンジニアのための講義を担当するように求められました。ヒルベルトはその講義を次のように始めました：
—
科学者とエンジニアの間には敵意があるとよく聞きます。私は信じていません。実際、これは真実ではないと思っています。どちらの側にも何の関係もないからです。
しかし、これはエンジニアだけを狙ったものではありません。彼の有名な言葉にもあります：
— 物理学は、物理学者にとってあまりにも難しくなっています。
ヒルベルトの数学的業績は実に膨大です。
また、私は次のビデオで詳しく説明するつもりですが、シュヴァルツシルトは「外部解」だけでなく、「内部解」も構築しました（一定の密度を持つ球体の幾何学を記述するもの）を、1か月後に出版した2番目の論文で：
Schwarzschild, K. (24 février 1916).
« Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach Einsteinsechen Theorie »
.
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
. 424–434
英語訳は次の通り：
Antoci, S. (12 mai 1999). « On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory ».
arXiv:physics/9912033
[physics.hist-ph]
今日、中性子星などの対象が登場するようになってから、この「距離変数」がシュヴァルツシルト半径と比べて無視できない場合に問題が生じます。では、どの変数を選べばよいのでしょうか：ヒルベルトのものか、シュヴァルツシルトのものか？
理論家たちはこの外部解に物理的な性質を与えることを提案し、それを「ブラックホール」と呼ぶオブジェクトを記述すると述べました。幾何学的には、次のように答えなければなりません：
– シュヴァルツシルトの表現では、ここで起こっていること：
r = 0
– ヒルベルトの表現では、ここで起こっていること：
R < α（ブラックホールの「内部」）
私は、シュヴァルツシルトの表現では、第二の質問は起こらないことを強調します。あなたは、質量の点が「αの外側」に落ちたときに何が起こるかを考える必要はありません。なぜなら、そのような「内部」は存在しないからです。
一方、ヒルベルトの表現では、もし「内部」が実際に存在したなら、それは非常に奇妙なことになります。計量テンソルの符号が変化し、現代の理論家たちは次のように言います：「内部では、
r
が時間になり、
t
が半径になります。」
この査読済み論文において：
Petit, J.-P.; d'Agostini, G. (21 mars 2015).
« Cancellation of the central singularity of the Schwarzschild solution with natural mass inversion process »
.
Modern Physics Letters A
.
30
(9) : 1550051. doi:10.1142/S0217732315500510.
私は別の座標の選択を示しました。これはシュヴァルツシルトの解から次の変数変換によって導かれたものです：
これにより、次の形でメトリックの解が提示されます：
これは、変数の値がどうであれ、正則です。ただし、最初の項は原点でゼロになります。関連する幾何学は、このメトリックが2つのミンコフスキー時空をPT対称性で接続するものと解釈されます。接続は、周長2παのガード球を介して行われます。この球の沿いでは、行列式がゼロであり、これはこの表面を通過する際に空間と時間の方向の二重反転を反映しています。
シュヴァルツシルトによって与えられたメトリックを、方程式の解として、座標（
t
,
r
,
θ
,
φ
）で表現した場合、一見するとガード球が一点に縮小しているように見えます。これはコーンの頂点に似た点
r = 0
です。しかし、これは「次元的な値」をこの量に割り当てることになります。これは単なる「空間マーカー」に過ぎません。微分幾何学における空間マーカーは、特定の点を位置付けるために使用される数値です。実際の距離、つまり意味を持つ長さは、メトリックを用いて計算されます。これらの長さを表す記号
s
は、選ばれた座標系に関係なく不変です（同じ経路が異なる座標系で記述された場合）。
解の球対称性により、4つの座標のうち3つ（
t
,
r
,
φ
）を固定し、座標
θ
に沿って2πの回転を行います。ヒルベルトの表現におけるガード球は
R = α
に相当します。
t = 定数
、
φ = 定数
で、この回転が
θ
に沿って行われると、結果は2πα、ガード球の大きな円の周長になります。
この操作を私の表現（
t
,
r
,
θ
,
φ
）で再び行います。ガード球は現在
ρ = 0
に相当します。
θ
に沿った回転により、同じ値2παが得られます。
驚くことに、シュヴァルツシルトの表現でガード球が
r = 0
に相当する場合でも、この長さ2παが得られます！これは非常に混乱を招くことで、r = 0の周りを回ることで非ゼロの長さが得られるからです。これは、rが「次元的な長さ」ではないからです。これは微分幾何学とメトリックでオブジェクトを表現する際の混乱の一部です。
この思考実験を通して、あなたはもうrを「次元的な長さ」として考えることをやめるべきです。すべてがrを「半径方向の距離」として想像するから混乱が生じるのです。
実際、単語「次元」自体が混乱を生んでいます。代わりに「私たちはこの幾何学的オブジェクト内の点を次元の集合を使って位置付ける」と言うべきです。「私たちはこの幾何学的オブジェクト内の点を空間マーカーを使って位置付ける」と言うべきです：
( x 0
,
x 1
,
x 2
,
x 3 )
しかし、記号xも誤解を招く可能性があります。rが半径方向の変数で中央の点に至るという誤った考えを完全に排除するためには、空間マーカーはアルファベットのギリシャ文字で、例えばβやζで定義されるべきです：
(ζ
0
, ζ
1
, ζ
2
, ζ
3 )
メトリックの一般的な概念に戻ります。数学、幾何学では、これは何ですか？
地球は平らではありません。球形です。これは地図作成者にとって問題です。もし地球の大陸を球体で見れば、問題ありません。しかし、曲がった世界を平面の紙に地図化するにはどうすればいいのでしょうか？複数の地図が作成され、アトラスとしてまとめられます。隣接する地図は、経度と緯度の対応を調整することで接続されます。
より一般的には、この技術を用いてあらゆる表面を地図化することが可能です。例えば、自動車のボディ。このアトラスの各平面的な要素は、局所的なメトリックの説明を表します。数学者や幾何学者は、この概念を非ユークリッド的な要素を持つアトラスに拡張しました。例えば、紙が存在しない世界で、人々が乾燥した葉っぱのような形をしたサポートを使い、球の一部に切ったものを積み重ね、奇妙な曲がったアトラスを作成する世界を想像してください。すべてはこのように段階的に地図化できます（そして、平面も含めます）。
この技術は、地図化するオブジェクトのトポロジーに制約を課しません。
シュヴァルツシルトメトリックで記述されたオブジェクトを「極座標」で表現することは、そのトポロジーについて強い仮定を含んでいます。
以降の考え方は、メトリックの解がその自身のトポロジーを含んでおり、私たちは選択の余地がないということです。私たちは古典的な地図のアトラスのアプローチを完全に放棄し、オブジェクトがメトリックによってのみ記述され、適切な座標系で表現されていると考えます。この座標系は、メトリックの解に内在するトポロジーと一致しています。その導き手は：
– 単位長さ
s
はどこでも実数である。
– そしてその結果：メトリックの符号は不変である。
これらのコメントと提案から、古典的なブラックホールモデル、その多数の病理を疑問視することができます。これはヒルベルトがこの幾何学を解釈した結果ではありませんか？「ブラックホールの内部」というこの幻影を、マルドセナが会議で「Kruskalの解析接続によって、解をすべての時空に拡張できる」と述べたことから、この問題を再考する必要があります。この事実が、ブラックホール研究者たちが研究対象のオブジェクトのトポロジーに「事前」の仮定を持っていることを示しています。どうしてですか？
トポロジカルに、2次元の表面を考えます。閉じた曲線を描き、その周長をゼロに縮小してみましょう。2つのシナリオがあります：
– その周長はゼロに縮小できます。
– または、最小限の限界に達します。
これは次の図に示されています：
もし、この表面の2次元住民が私たちに尋ねたら：
— 円の中心には何がありますか？
私たちはその質問に答えられません。なぜなら、これらの円には中心がないからです。
もし3次元の世界に移ると、この
収縮性
は、球を表面をゼロに縮小することで表現されます：
この操作が成功すれば、その球には「中」があり、「中心」があります。
しかし、3次元の空間が必ずしも収縮可能であるとは限りません。もし収縮可能でなければ、特定の領域（2次元球体のトポロジーを持つ表面）では、同心円状の球体（例えばじゃがいもをむくように）で空間を層状にすることを試みても、最小の表面に到達します。その後、層状に続けると、表面は再び上昇します。なぜなら、私たちが通過した最小の表面は実際には「ガード球」だったからです。
これは3次元で描くことはできませんが、前の図を参照すると、右側では最小値は赤いガード球です。これは3次元の超表面や任意の次元数の超表面に拡張できます。
マルドセナが「Kruskalの解析接続によって、解をすべての時空に拡張することを可能にした」ジョゼフ・クルスカルを称賛したとき、彼は（彼より何千人もそうだったように）無意識に、彼が話している4次元超表面「時空」のトポロジーについて仮定しています。
しかし、この試みはメトリックの符号を変化させ、単位長さを純粋に虚数に変えることになります。これは単に「フォーマリズム」が提供する「答え」です：
— ご注意ください！あなたは超表面の外にいます！
実際、彼は
存在しない時空の一部を探求しようとしている
のです。まるで、トーラスの接平面の性質を調べるために、幾何学者が解析接続を構築するようなものです。それは、アリスの不思議の国の世界で、車輪の軸の近くのタイヤの内側にピースを貼り付けるような狂った整備士のように、無理なことを試みているのです。
私が正しいなら、何十年もの間、紙、インク、そして脳（量子的な脳を含む）が使われて、存在しないオブジェクトを記述し、それに関連するすべてのことを説明してきたのです。そして、その「中心特異点」の性質も含みます！なぜそれが1世紀にわたって完全に見過ごされていたのか、疑問に思えるかもしれません。科学史家が私たちに答えを提供してくれるでしょう。ここでは、ヒルベルトの虚時間のファンタジーによって、空間的な符号（– + + +）が伝えられ、これにより、彼以降の誰もが単位長さの二乗の符号が変化することに気づかなかったかもしれません。しかし、これは単なる「慣例」であるとは言えません。
しかし、シュヴァルツシルト（およびアインシュタイン）は時間的な符号（+ – – –）を選択しました。これはシュヴァルツシルトの論文で見ることができます：
逆に、ヒルベルトは角度に関連する項の符号を固定することで、符号を（– + + +）に固定しています：
この問題を探究したい物理学者、学生、エンジニアは、以下のリンクからこのページに言及されたさまざまな論文の英語訳をダウンロードできます。これは、1000年前にドイツ語で最初に掲載された歴史的な論文も含まれます。彼らが読んだことはおそらくありません。現代の「ブラックホールの人々」は、観測を伴わない天文学を構築し、厳密さのない数学から生まれています。
• 歴史的論文：
シュバルツシルト、K.（1916年1月13日）。
「アインシュタイン理論における質量点の重力について」
。
ベルリン・プレュッセン科学アカデミー紀要（物理・数学部門）1916年
。189–196
英語訳：
アントチ、S.；ロインジャー、A.（1999年5月12日）。「アインシュタイン理論における質量点の重力場について」。
arXiv:physics/9905030
シュバルツシルト、K.（1916年2月24日）。
「アインシュタイン理論に基づく非圧縮性流体からなる球体の重力場について」
。
ベルリン・プレュッセン科学アカデミー紀要（物理・数学部門）1916年
。424–434
英語訳：
アントチ、S.（1999年5月12日）。「アインシュタイン理論における非圧縮性流体の球体の重力場について」。
arXiv:physics/9912033
フランク、P.（1916年）『数学の進歩年報』
。46
：1296。
英語訳：
アントチ、S.（2003年）。「付録A：シュバルツシルトの『質量点』論文に対するフランクのレビュー」『デービッド・ヒルベルトとシュバルツシルト解の起源』。
気象学および地球物理流体力学
。ブレーメン：ウィルフリード・シュローダー、サイエンス・エディション。
arXiv:physics/0310104
ドロステ、J.（1917年）。
「アインシュタインの重力理論における単一中心の場とその場内での粒子の運動」
。
オランダ王立科学アカデミー紀要、A系列
。
19
(I)：197–215。（1916年5月27日、KNAW会議でH.A.ローレンツ教授が報告）。
再録（2002年）『一般相対性理論と重力』
。
34
(9)：1545–1563。doi:10.1023/A:102074732.
ヴァイエル、H.（1917年）。
「重力理論について」
。
アーレン・ダー・フィジク
。
54
(18)：117–145。doi:10.1002/andp.19173591804。
英語訳：
ノイゲバウアー、G.；ペトロフ、D.（2012年3月）。「重力理論について」。
一般相対性理論と重力
。
44
(3)：779–810。doi:10.1007/s10714-011-1310-7。
ヒルベルト、D.（1916年12月23日）。
「物理学の基礎（第二通信）」
。
ゲーテン大学科学協会ニュース（数学・物理部門）
。53–76。
英語訳：
レン、J.（2007年）。「物理学の基礎（第二通信）」。
一般相対性理論の誕生、第4巻：古典物理学の終焉における重力：数学の約束
。スプリンガー。1017–1038。
• さらに詳しく知りたい方へ：
アブラムス、L.S.（1979年11月）。「点質量に対する代替時空」。
物理学レビューD
。
20
(10)：2474–2479。doi:10.1103/PhysRevD.20.2474。
＋訂正：
アブラムス、L.S.（1980年4月）。「誤植：点質量に対する代替時空」。
物理学レビューD
。
21
(8)：2438。doi:10.1103/PhysRevD.21.2438。
arXiv:gr-qc/0201044
アブラムス、L.S.（2001年）。「ブラックホール：ヒルベルトの誤りの遺産」。
カナダ物理学雑誌 67
(9)：919–926。doi:10.1139/p89-158。
arXiv:gr-qc/0102055
アントチ、S.；ライブシャー、D.-E.（2001年）。「シュバルツシルトの元々の解の再検討」。
天文学的ニュース
。
322
(2)：137–142。
arXiv:gr-qc/0102084
アントチ、S.（2003年）。「デービッド・ヒルベルトとシュバルツシルト解の起源」。
気象学および地球物理流体力学
。ブレーメン：ウィルフリード・シュローダー、サイエンス・エディション。
arXiv:physics/0310104
ペティ、J.-P.；ダグオスティーニ、G.（2015年3月21日）。
「自然な質量逆転プロセスによるシュバルツシルト解の中心特異点のキャンセル」
。
現代物理学快报A
。
30
(9)：1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
ペティ、J.-P.（2017年）。
）。そののうちは、
ρ
= 0 に該当します。θ座標に沿った回転は、値 2πα を返します。
より驚くべきことに、シュワルツシルトの表現において、のうちは
r
= 0 に該当する場合でも、この長さ 2πα を得るのです！これは非常に混乱を招くことになります。「
r
= 0 の点を回る」ということは、非ゼロの長さを与えるからです！これは、
r
… が点ではないからです。これは微分幾何学と、物体のメトリックによる表現の不思議な側面です。
この思考実験を通して、あなたは
r
を「次元的な」長さとして考えることをやめるべきだと理解するでしょう。皆が
r
を「半径距離」として想像するからこそ、混乱が生じるのです。
実際には、「次元」という言葉そのものが混乱をもたらしています。我々が「この幾何学的対象の点を次元の集合で位置付ける」と言う代わりに、「この幾何学的対象の点を空間マーカーで位置付ける」と言うべきです：
( x 0
,
x 1
,
x 2
,
x 3 )
しかし、文字
x
さえも誤解を招く可能性があります。もし
r
が中心に向かうある変数的な半径距離であるという誤った考えを完全に打ち消したいのであれば、空間マーカーは、β または ζ のような中立的なギリシャ文字で定義されるべきです：
(ζ
0
, ζ
1
, ζ
2
, ζ
3 )
この一般的なメトリックの概念に戻りましょう。数学、幾何学において、メトリックとは何でしょうか？
地球は平らではありません。それは球体です。これは地図作成者にとって問題です。もし地球儀上で大陸を見れば、何の問題もありません。しかし、曲がった世界を平らな紙や平面の媒体にどのようにマッピングするのか、どうすればよいのでしょうか？いくつかの地図が作られ、アトラスとしてまとめられます。隣接する地図は、経線と緯線の対応を調整することで相互に関連付けられます。
より一般的には、このような手法を用いてあらゆる表面をマッピングすることが可能です。例えば自動車のボディ。このアトラスの各平面要素は、局所的なメトリック記述に対応します。数学者や幾何学者は、この概念を非ユークリッド的な要素で構成されたアトラスに拡張しました。紙が存在しない世界で、人々が球体の一部として形作られた乾燥した葉っぱのような媒体を使用し、それらを積み重ねて奇妙な曲がったアトラスを作成するような世界を想像してください。あらゆるものがこのような方法で段階的にマッピングできます（包括的に、計画も含めます）。
このような手法は、マッピング対象のトポロジーに関していかなる制約も伴いません。
シュワルツシルトメトリックによって記述される対象を「極座標」で形状づけることは、そのトポロジーに関する強い仮説を含意しています。
以下では、メトリックの解がその自身のトポロジーを含んでいるという考えであり、我々はそれを自由に選ぶことはできません。したがって、アトラスを構成する従来の地図のアプローチを完全に放棄し、対象がメトリックによってのみ記述され、そのメトリック解に暗黙的に関連するトポロジーと整合性のある「うまくいく」座標セットで表現されていると想像します。共通のテーマは以下の通りです：
– 単位長さ
s
はどこでも実数でなければならない。
– そしてその結果として、メトリックの符号は不変でなければならない。
これらのコメントと提案に基づいて、古典的なブラックホールモデルを疑問視することができます。これはヒルベルトがこの幾何学をどのように解釈したかの結果ではないでしょうか？「ブラックホールの内部」というこの幻想的な存在、それは「クルスカルの解析接続」を通じてアクセスされるもので、マルダセーナ氏が彼の講義で「この解を全体の時空に拡張することができる」と述べたものです。現実には、ブラックホール研究者たちは、研究対象のトポロジーについて先入観を持っています。どうしてでしょうか？
トポロジー的に、2次元の表面を考えてみましょう。閉曲線を描き、その周長をゼロに縮小しようと試みます。2つのシナリオがあります：
– その周長はゼロにまで縮小できる。
– または、最小限の制限に達する。
これは次の図で示されます：
この表面の2次元住民が私たちに尋ねたとします：
— 円の中心はどこですか？
私たちは、その質問は意味がないと答えざるを得ません。なぜなら、これらの円には中心がないからです。
3次元世界に移ると、このような「収縮可能性」は、球体の面積をゼロにまで縮小できる可能性として現れます：
この操作が成功すれば、その球体には「内部」と「中心」があります。
しかし、3次元空間は必ずしも収縮可能ではありません。もし収縮可能でなければ、ある領域（2次元球体のトポロジーを持つ表面）では、同心円状の隣接する球体（玉ねぎをむくように）による空間の層状構造（foliation）は、最小の表面に達します。その後、層状構造を続けると、表面は再び大きくなることになります。なぜなら、さっき通過した最小面積は実際には「のう」球体だったからです。
この現象は3次元では描くことができませんが、前の2次元の図を参照すると、右側には「のう」円（赤色）が最小値として示されています。このすべては3次元の超面や任意の次元を持つ超面に拡張できます。
マルダセーナ氏が「クルスカルの解析接続」を通じて、解を全体の時空に拡張することを可能にした「ジョゼフ・クルスカル」を称賛していますが、彼は（彼より前の何千人もの人々と同じように）無意識に、彼が話している4次元超面「時空」のトポロジーに関する仮説を立てています。
しかし、この試みはメトリックの符号の変化と、単位長さが純粋な虚数量に変化することと同時に起こります。これは単に形式主義が提供する「答え」を表しています：
— 注意してください！あなたは超面の外側にいます！
実際には、彼は存在しない時空の一部を探索しようとしているのです。まるで、トーラスの接平面の性質をその軸の近くで研究するために解析接続を構築するような幾何学者のように、輪胎の軸の近くの内側チューブにパッチを貼ろうとする狂った整備士のようにです…
もし私が正しいなら、何十年もの間、存在しない対象を記述するために使われた膨大な紙、インク、灰色の脳細胞（量子的な灰色の脳細胞を含む）と、それに関連するすべてのこと、例えば「中心の特異点」の性質などについて、どれほど多くのものが使われてきたことでしょう！なぜこのことが1世紀にわたって完全に見過ごされてきたのか、誰もが疑問に思うでしょう。科学史家が私たちに答えを提供してくれることを願います。たとえば、ヒルベルトが虚数時間の想像力によって、時空的な符号（– + + +）を提示したことで、その後誰もが単位長さの二乗の符号が変化することに気にしなくなったかもしれません。しかし、「慣例」だけの話であるとは言えません。
しかし、シュワルツシルト（およびアインシュタイン）は、シュワルツシルトの論文から見て取れるように、時間的な符号（+ – – –）を採用しました：
逆に、角度に関連する項の符号を固定することで、ヒルベルトは符号を（– + + +）に暗黙的に固定しています：
これらの問題を探究したい物理学者、学生、エンジニアは、このページに引用されたさまざまな論文の英語訳を以下の場所からダウンロードできます。これは、千年前にドイツ語で最初に出版された歴史的な論文を含みます。現代のブラックホール研究者たちはおそらくそれらを読んだことがなく、観測のないアストロフィジクスを数学の厳密性のない結果として構築しているように思われます。
• 歴史的論文：
シュワルツシルト、K.（1916年1月13日）。
「アインシュタイン理論における質量点の重力」
。
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
。189–196
英語訳：
Antoci、S.；Loinger、A.（1999年5月12日）。「アインシュタイン理論における質量点の重力場について」。
arXiv:physics/9905030
。
シュワルツシルト、K.（1916年2月24日）。
「アインシュタイン理論における不圧縮性流体の球体の重力場」
。
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Phys.-Math.) 1916
。424–434
英語訳：
Antoci、S.（1999年5月12日）。「アインシュタイン理論における不圧縮性流体の球体の重力場について」。
arXiv:physics/9912033
。
Frank、Ph.（1916） in
Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
。
46
：1296。
英語訳：
Antoci、S.（2003）。「第A章：シュワルツシルトの『Massenpunkt』論文のフランクのレビュー」 in 「David Hilbertとシュワルツシルト解の起源」。
気象学的および地球物理的流体動力学
。ブレーメン：Wilfried Schröder、Science Edition。
arXiv:physics/0310104
。
Droste、J.（1917）。
「アインシュタインの重力理論における単一の中心の場と、その場における粒子の運動」
。
Koninklijke Nederlandse Akademie Van Wetenschappen、シリーズA
。
19
（I）：197-215。（1916年5月27日にKNAW会議でH. A. ローレンツ教授によって紹介）
2002年に再録：
一般相対性理論と重力
。
34
（9）：1545–1563。doi:10.1023/A:102074732。
Weyl、H.（1917）。
「重力理論について」
。
Annalen der Physik
。
54
（18）：117–145。doi:10.1002/andp.19173591804。
英語訳：
Neugebauer、G.；Petroff、D.（2012年3月）。
「重力理論について」
。
一般相対性理論と重力
。
44
（3）：779–810。doi:10.1007/s10714-011-1310-7。
Hilbert、D.（1916年12月23日）。
「物理の基礎（第二通信）」
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Göttingenの科学協会の通知、（Math.-Phys.）
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英語訳：
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「物理の基礎（第二通信）」
。
一般相対性理論の発生、第4巻：古典物理学の黄昏における重力：数学の約束
。Springer。1017–1038。
• より詳しく：
Abrams、L. S.（1979年11月）。「点質量のための代替時空」。
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。
20
（10）：2474–2479。doi:10.1103/PhysRevD.20.2474。
- 補正：
Abrams、L. S.（1980年4月）。「誤植：点質量のための代替時空」。
Physical Review D
。
21
（8）：2438。doi:10.1103/PhysRevD.21.2438。
arXiv:gr-qc/0201044
。
Abrams、L. S.（2001）。「ブラックホール：ヒルベルトの誤りの残響」。
カナダ物理学会誌 67
（9）：919–926。doi:10.1139/p89-158。
arXiv:gr-qc/0102055
。
Antoci、S.；Liebscher、D.-E.（2001）。「シュワルツシルトのオリジナル解の再考」。
天文 Nachrichten
。
322
（2）：137–142。
arXiv:gr-qc/0102084
。
Antoci、S.（2003）。「David Hilbertとシュワルツシルト解の起源」。
気象学的および地球物理的流体動力学
。ブレーメン：Wilfried Schröder、Science Edition。
arXiv:physics/0310104
。
Petit、J.-P.；d'Agostini、G.（2015年3月21日）。
「シュワルツシルト解の中心特異点の自然な質量逆転プロセスによるキャンセル」
。
現代物理学の LETTERS A
。
30
（9）：1550051。doi:10.1142/S0217732315500510。
Petit、J.-P.（2017）。
"
ジャンヌ・コスモロジカル・モデル
"
（YouTubeプレイリスト、英語字幕付き）。
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