ここでは、少し読みやすくするためにこの図形を「掃除」しました。表面は2次元のオブジェクトであり、ここでは通常のユークリッド3次元空間R³に「沈められています」。私たちは上から「見ることができます」。この表面はR³に「等長的に」沈めることができるということがわかります。つまり、もし紙テープを貼ると、それは表面の2点AとBを結ぶ測地線に実際に沿って貼られることになります。測地線の弧に沿った長さも正しいものです。これは語源的に「同じ長さ」を意味します。下には等長ではない2次元の表現があります…弧A'B'の長さは弧ABの長さと等しくありません。紙、鉛筆、ハサミを使って次のオブジェクトを構成してください：
この図は等長的ではありません。まず、描かれた曲線は平面の測地線ではありません。次に、弧ABの幅は「実際の長さ」ではありません。それは「実際の表面」で測定できるものではなく、「穴がない」表面です。穴のある紙はただの有用な表現に過ぎません。同様に、紙の片面と反対側に描く技術も、曲線全体は透過してのみ現れます。
次の図では、コンピュータで計算された表面の測地線を示しています（記事に記載されています）。
曲線の点線は「もう一方の側」にある枝に対応しています（まるで表面を「上から見ている」ようなものです）。
では質問です。これらの測地線を平面的で等長的な表現にすることはできますか？答えは「はい」です。私たちは変数rを変数rに変えることができることを見ました。したがって、測地線は「極座標」（r、j）の平面に描くことができます。測地線（ここでは非放射的な測地線）は次のようになります：
これは等長的な表現です。表面に属する3つの点A、B、Cが同じ測地線上にあります。A'、B'、C'はこの表現[r、j]における対応する点です。点AとBは同じ半球にあり、それらを結ぶ測地線の弧は「くびれの円」を通過しません。この平面で測地線の画像（これは明らかにこの平面の測地線ではない）に沿って測った弧A'B'の長さは、表面で測った弧ABの長さと等しくなります。
弧BCは「くびれの球」を通過します。同じようにです。
しかし、この等長性は表面のすべての測地線に適用されるわけではありません。一つだけ、特異な測地線があります：くびれの円で、ここでは一点に縮小されています。これは唯一自分自身に戻る表面です。
測地線は、表面あるいはより一般的に非平面的、非ユークリッド的な空間を理解するための唯一のものです。これらは有用な目盛り（私たちの2次元および3次元の表現システム（透視図法）では歪んで見えるかもしれませんが）です。これらの測地線が存在し、それらが固有であることを知っています。例えば、球の測地線は大円です。時空の場合、無限に多くの時空的測地線が満たされています。測地線は固有に存在し、それらを理解する（語源的には「抱きしめる」こと）ために、私たちは「盲人のようにそれらを感じよう」としています。しかし、時空座標線には固有の現実性はなく、経線と緯線の2つの集合は球体の一部ではありません。それらは「内部に与えられていません」。シュヴァルツシルトの幾何学は、アインシュタインの場の式の解である4次元の超表面です。理論家たちはそこに、t一定、r一定など、数々の曲線を貼り付けています。
決して忘れてはいけません。これらの行動は完全に任意であり、理論宇宙論の専門家ですらしばしばこの点を忘れがちで、時折幾何学者によって注意を促される必要があります。したがって、時空座標を変えることは完全に正当化されています。
ここであなたは言うでしょう：では、なぜ座標の選択が他の選択よりも優れているのでしょうか？なぜそれが合理的で、不合理なのか？これは好みの問題です。時空座標を選ぶことは、数学的対象に物理的な視点を強制することです。地球の場合、回転するときに極を与えました。北極は、地球の表面に垂直で、北の星（空に固定された星）を指しています。
等長性と非等長性に関して、地図は球を平面に表現する困難さを示しています。メルカトル図法（地球の球を赤道に接する円筒に投影）は、赤道近くに住む人々にとって非常に便利です。しかし、極に住んでいる人は予想外の驚きに直面します。その点領域は直線になります…
球を平面に投影する方法は数百通りあります。以下のように想像してください：
このモデルから地図を作り、販売するとしましょう。極に住む人々にとっては即座に成功します。これらの地域では、投影はほぼ等長的です。これらの地域での距離の概要を把握するには役立ちます。もし地球が極で住め、他の場所は比較的住みにくいとしたら、地図はおそらくこのような形で作られていたでしょう。しかし、平面に投影した境界円は、もはや赤道ではなく、平行線（ここでは北半球）に対応することになります。この地域の近くでは、地図は等長性から大きく外れます。さらに、この不思議な地図では、地球の一部は通常の実線で、他の一部は点線で示される必要があります。なぜなら、それらは平行線の向こう側に位置し、不思議なことに「自分自身に折り返されている」ように見えるからです。紙の円盤で作られた地図を提供すれば、地球の他の部分は紙の反対側に現れるかもしれません。
では、このことを3次元で「想像してみましょう」。私たちはLanturluが2つの別々の図でくびれの球に左腕を入れている様子を示しました。これは、2番目の3次元空間が「他所にある」ことを示唆するかもしれません。正しい表現にするには、2つの透視図を重ね合わせ、出てきた（右）手を点線で示すべきです。
私はそれを試みましたが、簡単ではありませんでした。私は、私たちの非単純接続された3次元空間の最初の3次元側を赤、もう一方を緑で示すことができました。赤いLanturluは、くびれの球に突き入れた左の手が、緑の右の手として現れるのを見ることになります。
明らかに、くびれの球の「中」には何もありません。内部や体積のある内容物の外見は、私たちが選んだこの3次元表現空間によるものです。紙に穴を開けた場合と同様に、紙そのものもありません。これは、この平面表現空間の選択に起因する偶然です。もし誰かが紙の穴を切り抜かずに平面表現を使い続け、繰り返し「中には何があるのか？」と尋ね続けたら、彼は完全に「場外」（あるいは、より正確には…「中」）にいることになります。場は存在しません。
3次元に戻りましょう。Lanturluが腕をくびれの球に突き入れても、それには内部はありません。内部の外見は、私たちが選んだ表現空間によるものです。Lanturluとその出てきた手は、3次元の紙に描かれており、そこから…球（紙の円盤の3次元版）を除いたものです。数学的に、円盤は「b²ボール」と呼ばれ、球体の体積は「b³ボール」と呼ばれます。「ボール」とは、点に対して自己を通して収縮できる「収縮可能な細胞」（「CD-Lanturlu」のTopologiconを参照）を意味します。2次元と3次元の例は、記事の戦略を示すために使われています：シュヴァルツシルトの球には「内部」も「中心」もありません。それを通過（超トーラス的な通過）すると、私たちは「時空のもう片側」に到達します。
この「シュヴァルツシルト幾何学」の新しい解釈の正当性は何でしょうか？
答えは「特異点の除去」です。クルスカルは「解析接続」を通じて、この「呪われた球」に突き進もうとしました。彼は、特異点（初期にはシュヴァルツシルトの球が果たしていた役割）を「この物体の中心」に閉じ込めることに成功しました。人々はそのトリックに満足しました。しかし、私たちは特異点のないものをより良いと考えます。
物事を間違った方向から見ると、自然は特異点を生み出します。それが私たちが見るものです。これは「現実」に対する先入観です。私たちはこれらの特異点が自然に存在しないと考えています。また、無限も存在しないと考えています。しかし、キプリングが言ったように、それは別の話です。昨年、ソリアウとこの点について熱く議論しました。
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無限が存在することを何が証明するのか？…
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しかし、無限がなければ数学は存在しない！
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あなたは無限に出会ったことがありますか？見たり、手に持ったことがありますか？
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それは…便宜的なものです。
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私たちは無限に大きな数を生成するために、数に1を無限に加えることができると仮定しています。私たちは順次的な無限を使って数的無限を生成しています。それは自分自身を食うものです、あなたの考え。
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わかりました、それは便宜的なものです。人間は歴史の中で2つの重要なものを発明しました：無限とトイレ…
私は無限小も物理的、数学的に存在しないと考えています。しかし、それは他の記事のテーマになります。今はこれらの質問を置いておきましょう。単なる余談です。
サイト](/fr/article/f300-f301html))。
アーキメデスが言うように、科学の神殿の入り口で、「幾何学者でなければ入ってはいけない」と言いました。これらのテンソルや他のもの、ミディが好きな分野は、イギリスの菓子ほど消化に悪いものです。
したがって、この議論を通して、私たちはこれらの現象に対する物理的な見方は、私たちがそれらを表現する方法に依存していることがわかります。空間座標を変更することで、「局所的トポロジー」という用語を変更しました。これはソリアウによると数学的な明確化が必要です。実際、この表現は穏やかな比喩です：私がそれを発言したとき、彼は激しく怒り始め、彼の猫ピウムと私はそれを落ち着かせるのに最大限の努力をしました。ソリアウは数学の教授トゥルネソルです。彼は高次の数学的不満を意図的に実践しています。しかし、この不満は単なる怒りとは区別しなければなりません。ここでは、私はモリエールの『モヌジーディン』の役割を果たしています。物理学者はしばしば数学を使っていることを知らずに使います（実際には逆もそうです）。
暫定的に「指定されていない」語の使用を認めると、すべてはシュヴァルツシルト幾何学の「局所的トポロジー」が「超球的」（シュヴァルツシルトの球が「b³ボール」を含んでいる）と考えられていたように見えるのです。私たちはそれを「超トーラス的」にしました。だから私は「超トーラス的幾何学」という用語を提案しました。
先ほど述べた空間の反転は、群によって交渉されます。別の理解の仕方はありますか？私たちはLanturluが左の手をくびれの球に突き入れ、右の手が出てきたのを見ました。実際、彼の手の各原子は「放射的」測地線に沿って、表面に垂直に進みました。
この表現システムが等長的ではないことを忘れてはいけません。紙に穴を開けた場合と同じです。もしLanturluの手（英語版ではアーキボルド・ヒギン）に属するテスト原子が2つの半空間で移動した距離を測定すると、それは実際に糸で測った距離と一致しないでしょう。
前に示した図に戻りましょう。
ここでは、くびれの円を通過する測地線の弧ABと、下の平面表現空間におけるその画像を示しています。この表現の非等長性がさらに明確になります。弧ABとA'B'の長さは非常に異なります。
明らかに、超トーラス的な通過のくびれの球に糸を通すことを想像するのはかなり難しいです。糸を引き締めると、測地線（最短経路）になります。結局、もし3次元表現空間（Lanturluが腕を突き入れた場所）で糸の長さを測り、その空間で糸の長さを測定すると、A'B'の長さが短くなるでしょう。実際の長さは、3次元の超表面で測定され、2次元の図に示されているように、より長くなります。したがって、Lanturluを含む3次元表現は等長的ではなく、上の平面表現と同じく非等長的です。
いくつかの図を用いることで、群論から得られたこれらの微妙な概念は、空間を「見る」ことでより理解しやすくなります。私はあなたに、曲がった3次元空間を「見る」方法を教えることを目指しています。
くびれ構造（2次元または3次元）を通過する際に物体が反転する「対掌性」の問題に戻りましょう。2次元の放射的測地線を想像してください。この語はすでに不正確になりました。なぜなら、原則的には半径は点から出る直線を意味するからです。実際には、定数jの測地線です。この方位角座標を示した以前の図を参照してください。しかし、簡潔にするために、「放射的」という語を引用符で囲んで使い続けます。ご注意ください、「放射的」という語はすでに表現空間の選択の結果です。ある文字R（これはその鏡像、対掌的な画像とは一致しない）が、私たちのトーラス的な通過経路に沿って、不完全に固定された転写のように滑る様子を想像してください。各点が測地線に沿って移動します。その文字は「反対側」に現れます。表現空間における平面投影での操作の結果を観察するのは興味深いです。
私たちは、2つの測地線で構成されたリボンのようなものを示しました。何がわかりますか？表現空間では、文字Rはロシア語の「ia」、逆さまのR、対掌的なものに逆転します。Lanturluの手が3次元表現空間から出てきたときに逆転しているように見える理由が、少しずつわかり始めます。対掌的になります。