しかし、座標の選択に起因しない固有の奇点を持つ、本質的に特異な曲面も存在する。その一例が円錐特異点である。
鋳造されたままの粗い状態、すなわち1917年にシュワルツシルトが定式化した座標系（t, r, q, j：時間、動径距離、および方位角と天頂角に相当する2つの角度からなる「球面」座標）において、シュワルツシルト球面は特異である。「動径座標」r（「幾何学的中心」から測定されると仮定される）がある特定の値Rsを取ると、この計量は我々を翻弄する。球面上のある項の分母がゼロ以外になる。要するに、この球面は特異である。これは固有の奇点なのか、それとも不適切な座標選択によって生じた人工的なものなのか？これが我々が自問した問いである。
なお、「シュワルツシルト幾何学」は4次元超曲面であり、この事実が物事をさらに不確かなものにしていることに付言しておく。
クルスカルはこの点に注目した。彼は、動径軌道上で光速を一定値とするなど、座標変換を構築した。これにより、彼は「物体の中心」にある特異性を「中心特異点」に集中させた。心理的には、何かを得たように感じる。解は「ほぼ至る所正則」となり、これは数学者が、特異点を除いて解が正則であり、病理がないことを示すために用いる表現である。
- たった一つの小さな点のために、そこまで頑なにならなくてもいいだろう……
残念ながら、クルスカルの定式化には重大な弱点がある。それは無限の特殊相対性理論の空間を再現しないことである。技術的には、それは無限にローレンツ的ではなく、「漸近的にローレンツ的」でもない。
これは物理学における本質的な問いである。すなわち、奇点は存在するのか。自然は奇点を許容するのか。その答えは、信念の用語で表現される（無限の実在性や非実在性に関する場合と同様に）。
我々は、この同じシュワルツシルト幾何学の新しい解釈を、あらゆる奇点を排除することで試み、それを達成した。したがって、我々の答えは以下の通りである。
- シュワルツシルト解の特異性は、単に不適切な座標選択によって誘導されたものである。
技術的には、すべては次の変数変換にかかっている。
r = Rs + Log ch r
これは、「rはRsに、変数rの双曲線余弦の対数を加えたものに等しい」と読める。科学者、専門家、あるいは高等数学の学生以外にとっては単純ではない。この式を扱える人々にとって、rが負の無限大から正の無限大までのあらゆる値を取っても、rの値はRs以下になることはない。
放物線を直線周りに回転させて得られる曲面を考えよう。次の図のようになる：
この図は論文から取ったものである。この曲面は、実際には無限であり、示されたz軸周りに回転してそれを作り出した放物線子午線と同様である。もしどうしてもその座標(r,z,j)で表現しなければならないなら、「r < Rsのとき、この曲面はどうなっているのか？」と尋ねたときに問題が生じると予想される。
答えは……虚数であり、負の量の平方根を含むことになる。単に、我々がそのとき「曲面の外」にいるからである。
この曲面は、数学では「単連結でない」と言われる。これは野蛮な用語だが、閉曲線がその周長を、曲面内を滑らせてゼロの値になるまで減少させることができない曲面を単に指している。
これは「単連結」な球面上では可能である。しかし、問題の曲面では、「中央の井戸の周りを回る」閉曲線が、その周長がゼロに向かうのを見ることはできない。その限界は「ノドの円」の周長である。同様に、これもまた「単連結でない」トーラスについても言える。
我々は、そのような曲面をその計量から定義した。これは我々の主題の良い例証である。座標rを保持する場合、曲面は特異に見える。上記の変数変換を用いると、もはや特異ではなくなる。座標rは何に対応するのか？それは図に示されているように、放物線の子午線に沿って単に「走る」ものであり、ノドの円上でゼロの値を取る。曲面の半分はrが正に、もう半分はrが負に対応する。点[r, j]のマーキングシステムでは、もはや特異性はない。
我々は、トーラスとの類似性から、この種の対象を「トーリックブリッジ（環状橋）」と呼ぶことにした。
しかし、計量から出発して、3次元超曲面に「ハイパートーリックブリッジ（超環状橋）」を持たせることができることは、容易に示される。その場合、もはやノドの円はなく、ノドの球面がある。上記の曲面についても同様で、ノドの円は2つの2次元層を結んでいるように見えるが、ノドの球面は2つの「3次元半空間」を結んでいる。これらの3次元半空間の一方にいて、ノドの球面に飛び込めば、もう一方の半空間から現れる。
上記の2次元曲面に戻ろう。次の図は、「同心円だと信じて描いた」円を描くと、その周長が減少し、最小値に達し、その後再び増加することが示されている。
3次元では、ノドの球面を完全に包み込む球面を想像しなければならない。そしてその中に別の球面を入れる（特定の方向に沿って、ノドの球面に向かって「向こう側」と言うべきかもしれない）。この球面の表面積は小さいと仮定する。しかし、ノドの球面に達すると、表面積は最小値を通り過ぎ、その後増加し始める……操作を続ければ無限大まで増加する。
我々は、「トーリックパッセージ（環状通路）」と「ハイパートーリックパッセージ（超環状通路）」を含む2次元および3次元曲面の「計量」を構築した。後者の場合、シュワルツシルト計量との類似性に衝撃を受けた。そこで我々は座標変換を行い、その「単連結でない」性質を引き出した。物体の「内部」は、単に「ノドの球面の向こう側」になった。
それゆえ、あらゆる奇点を排除することが可能であった。
その段階で、我々は単にブラックホールモデルを「ブラックホール-ホワイトファウンテン（白泉）」の連動に拡張しただけであった。しかし、「外部観測者」にとって、ハイパートーリックブリッジを通過する時間は依然として無限大である。ブラックホールモデルを改善し、それが何から生じたのかを説明しただけのように思える。
幾何学的解における変数の選択は完全に恣意的であると、前述した。空間についても同様のことが時間についても言える。したがって、我々は1924年にエディントンが発明したような時間変数の変換を探した。
繰り返すが、これは単純な科学者や高等数学の学生のためだけに言及している。
tは古い「宇宙時間」、すなわち1917年のシュワルツシルトの初期解で提示された古風な「年代学的変数」である。
t'は新しい「エディントン時間」である。Rsは「シュワルツシルト半径」（この場合、シュワルツシルト周長を2πで割ったものと言うべきである）。
cは光速（ここでは定数）である。
奇妙に見えるかもしれないが、時間と空間を混在させる。しかし、物質があるなら、何でもありである。時間マーカーの選択は完全に恣意的である。我々が求めるのは以下の点のみである。
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計量が漸近的にローレンツ的であること。つまり、無限遠で時空がミンコフスキー時空、すなわち特殊相対性理論の時空になること。我々の場合はこれが機能する（クルスカルでは機能しない）。
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新しい時間t'が、依然として無限遠で、「静止していると仮定された観測者の時間」と同一視されること。これもまた該当する（クルスカルでは該当しない）。
これにより、無限に静止した試験粒子がシュワルツシルト球面に向かって落下する自由落下時間は、「遠く離れた静止している外部観測者の時間」に対して無限大になる。
しかし、粒子は無限の時間をかけてスワローホール（飲み込み穴）から現れる。ブラックホールと同様に、この種の3次元スワローホールには入ることができるが、無限の時間をかけない限り出てくることができない。
向こう側はリサージェンス（湧出）である。しかし、このような時間（t'）の選択では、粒子は有限の時間で侵入できるにもかかわらず、無限の時間をかけてリサージェンスから現れる。これは障害であった。解決策は、我々が完全に権利を持つ、我々のものであると仮定される時空の部分に対して、一種の二重変数変換を行うことにある。
「双子宇宙」では：
宇宙のメカニズムはこれで完全に機能する。
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奇点はない。
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「スワローホール」に入ることができるが、出てくることができない（ブラックホール）。
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リサージェンスから出てくることができるが、入ることができない（ホワイトファウンテン）。
よし、進歩している、とあなたは言うだろう。
イエスであり、ノーでもある。問題は、ハイパートーリックパッセージでの通過時間がわずか数百分の一秒であることだ。そして、このモロク（巨大な神）は、弾丸がトランプのカードを貫くよりも短い時間で、例えば太陽質量10個分など、何でも飲み込む能力を持っている。
結論は、幾何学的解のこのより合理的な表現を通じて、ブラックホールは存在し得ないということである。それらは……数学的なフィクションである。それらはこの「時間の凍結」によってのみ存在し得る。しかし、物理学のすべての要求を満たす「エディントン時間」では、通過時間は有限になる。
結論：我々の意見では、このシュワルツシルト幾何学は、超空間転送の非定常過程のスナップショット、瞬間画像に過ぎない。まるで、空中に投げ上げられた金床の写真を見せられて、すべての金床が空中に浮いていると結論付けるようなものである。シュワルツシルト解はまた、宇宙が完全に空であり、エネルギー物質の密度があらゆる点でゼロであることを意味する方程式の解でもある。まるで、ハーフタイムで選手がフィールドを去った後に撮影されたフットボールスタジアムの写真を見せられて、フットボールは空のフィールドで行われていると結論付けるようなものである。
では、何が起きるのか？
我々は、ノドの球面を通過する際に時間座標が反転することを示した。我々の「時空の側」に対応する（エディントンの）時間をt'、双子宇宙の「時間マーカー」をt'*と呼ぶと、以下のようになる。
t'* = - t'
1967年にアンドレイ・サハロフが、「ビッグバン」の瞬間に、反転した時間を持つ2つの宇宙が生成されたと最初に提案したことに注意されたい。
「時間の反転」が何を意味するのかを理解する必要がある。それは、双子宇宙に飛び込むと若返ることを意味するのか？我々はそうではないことを示した。我々は「自分の時間」を持ち、対称的な構造を通じてもう少し先から現れたとしても、双子宇宙に入ったときよりも若くはならない。したがって、バルジャヴェルの『無謀な旅人』("Le Voyageur Imprudent") のように「自分の父を殺す」ことは不可能である。
再び、群論は時間座標の反転の「存在論的」意味を解明することを可能にした。粒子が双子宇宙に突入するとき、その重力作用は感じられるが、重力場への寄与は負になる。その「重力質量」は反転する。
ちなみに、これはサイトおよび著書『我々は宇宙の半分を失った』("On a perdu la moitié de l'univers")（アルバン・ミシェル社）で開発されたモデルを完全に正当化する。双子宇宙を漂う質量は、我々の宇宙に存在する質量に対して反発する質量として振る舞う。
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ニュートンによれば、質量は我々の宇宙で互いに引き合う。
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ニュートンによれば、質量は双子宇宙で互いに引き合う。
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2つの「隣接する」時空の部分に位置する質量が相互作用するとき、それらは互いに反発する。
これは時間変数（ただし時間そのものではない）の反転の単純な帰結である。
群論はまた、アンドレイ・サハロフが想像したように、物質-反物質の二重性が両方の宇宙に存在することを示す。
物質の粒子が双子宇宙に通過することができた場合（その方法は後で見る）、それは物質のまま残るが、「CPT対称」である。これは物理学における有名な「CPT定理」の意味である（証明されたことはない。スーリアウが「物理学者の定理」と呼ぶもの）。古典的に物理学者は「物質のCPT対称は物質と同一である」と言う。CPT対称性は以下を意味する。
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粒子は、その新しい巣で「逆方向の時間」に動く：T対称性。
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粒子はエナンチオモルフィック（鏡像異性体）であり、左右が反転し、「鏡像」状態にある：P対称性。
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持っていれば電荷を含むすべての「電荷」が反転する。これはC対称性である。
我々にとって、粒子のCPT対称は双子（または双子に入った）粒子である。それは双子粒子である。T対称性を持つため、その質量は自動的に反転する（1974年にJ. M. スーリアウによって最初に得られた結果）。
粒子のC対称は、その反粒子である。
ファインマンは、粒子のPT対称が反粒子のように振る舞うことを発見した。正確だが、それは……負の質量を持つ双子の反物質の問題である（T対称性も持つため）。これらはすべて群の歴史から現れる。この仕事は、これまで公開されたすべてのもの（サイトでは「反物質の幾何学化」セクションの幾何学的物理Bを参照）とリンクする。この空間反転の問題の良い例証が得られる。論文では、表現空間というアイデアを頻繁に強調する。それは我々が幾何学的対象を精神的に表現する空間である。以前、ラントゥルルが手をノドの球面に突っ込み、別の3次元宇宙から現れるように見えるというイメージを使った。イラストレーションの都合上、図は2つに分かれている。しかし、最初気づかなかったかもしれないことが一つある：ラントゥルルは左手を球面に入れているが、現れるのは右手である。これは偶然ではない。
第二の宇宙はどこにあるのか？
それは我々の宇宙に組み込まれており、理解するのは少し難しい。2次元曲面、「フラットランド」に戻れば、より単純になる。
