ここでは図を「整理」して、少し読みやすくした。曲面は2次元の対象物であり、ここではユークリッド的な3次元空間R3に「浸されている」。我々はそれを上から「見る」ことができる。たまたまこの曲面は、空間R3に「等長的に」浸すことができる。つまり、その上にテープを貼れば、それは実際に曲面上の2点AとBを結ぶ測地線の上に写る。測地線弧に沿って測った長さも正しい。これは等長、語源的には「同じ長さ」である。下には等長でない2次元表現がある…弧A'B'の長さは弧ABの長さと等しくない。紙一枚と鉛筆と鋏を使って、次の対象物を作ってみよ：
この図は等長ではない。まず第一に、示されている曲線は平面の測地線ではない。第二に、弧ABの幅は、「穴のない」「実曲面」上で測ることのできる「実長」ではない。穴のあいた紙は、ただの便利な表現にすぎない。片面に描いてから裏面に描く技法も同じであり、曲線全体は透かして見たときにだけ現れる。
次の図には、コンピュータで計算した曲面の測地線を示した（記事に載っている）。
曲線の点線部分は「反対側」の枝に対応する（あたかも曲面を「上から」見ているかのようである）。
ここで質問：これらの測地線の平坦で等長的な表現を構成できるだろうか？答えはイエスである。変数rを変数rに変えられることはすでに見た。したがって測地線は「極座標」の平面（r, j）に描くことができる。測地線（ここでは非動径的な測地線）は次のようになる：
これは等長的な表現である。つまり、曲面上にあり同じ測地線上にある3点A、B、Cがある。A'、B'、C'はこの表現［r, j］における対応点である。点AとBは同じ半球層上にあり、それらを結ぶ測地線弧は峡谷円を横切らない。この平面内で、測地線の像（明らかにこの平面の測地線ではない）に沿って測ると、弧A'B'の長さは曲面上で測った弧ABの長さに等しい。
弧BCは峡谷球を横切る。同じことである。
しかしこの等長性は曲面のすべての測地線に当てはまるわけではない。ただ一つ、その意味で唯一のものが存在する：峡谷円であり、ここでは一点に還元される。それはそれ自身の上で閉じる唯一の曲面である。
測地線は、曲面、より一般には非平面的・非ユークリッド的な空間を理解するために我々が持つ唯一のものである。それらは有用な目印である（たとえ我々の2次元・3次元の表現系（透視図法）では歪んだ見方しかできないとしても）。これらの測地線が存在し、それらが内在的であることを我々は知っている。たとえば球の測地線は大円である。時空の場合、それらは無限の時空測地線で満たされている。測地線は内在的に存在し、それらを理解する（語源的には：保つ、腕に抱く）ために、我々は盲人のようにそれらを「感じる」ように努める。しかし空間と時間の座標線には内在的実在性はなく、子午線と緯線の二つの集合が球の不可欠な一部であるわけでもない。それらは「内部に備わって」はいない。アインシュタインの場の方程式の解であるシュヴァルツシルト幾何学は4次元超曲面である。理論家たちはその上に「一定のt」「一定のr」など、曲線の族を丸ごと貼りつけてきた。
これらの操作がまったく恣意的であることを決して忘れてはならない。もっとも理論的宇宙論の専門家でさえしばしばこの点を見失い、時折、幾何学の数学者たちによって秩序へと呼び戻されねばならないのだが。したがって時空座標を変えることは完全に正当であった。
ここで君は言うだろう：では、ある座標の選択が別のものより良いと何が教えてくれるのか？何が合理的で何が不合理なのか？それは趣味の問題である。時空座標を選ぶことは、数学的対象に物理的視覚を置くことである。地球の場合、我々はそれが回転するときに極を与えた。北極とは、天で固定したままの星、北極星の方を指す曲面「地球」の法線にすぎない。
等長性と非等長性の問題では、地図作成は球を平面に表現しようとする困難を例示している。メルカトル図法（赤道に接する円筒への地球球面の投影）は赤道付近に住む者にはとても良い。しかし極に住む者には厄介な驚きが待っている：彼の点状の領域は一本の直線に変わってしまう…
球を平面に投影する方法は何百もある。これを想像してみよう：
このモデルから地図を作って売ると想像しよう。両極に住む者の間でたちまち大ヒット：これらの地域では投影は準等長的である。それらの地域の距離の目安を得るのに役立つ。もし地球が極で居住可能で、他所では比較的住みにくかったなら、地図は疑いなくこのように作られただろう。しかし平面上への投影の境界円がもはや赤道ではなく、ある緯線（ここでは北半球の）に対応することがわかるだろう。この地域の近くでは地図は等長性から大きく外れる。それに加えて、この奇妙な地図では、陸塊の一部は普通の実線で、一部は破線の点線で示さねばならない。なぜならそれは、対象物が奇妙にも「それ自身の上に折り返る」ように見える緯線の向こう側にあるからである。おそらく紙の円盤に地図を供給し、陸塊の残りは紙の裏側に現れるようにできるだろう。
「すべてを3次元で想像」してみよう。我々はランチュルルが左腕を峡谷球に浸すのを二つの別々の図で示したが、これは第二の3次元空間が「どこか別の所」にあると示唆するように見えかねない。正確には、二つの透視図は重ね合わされ、出てくる（右の）手は点線で表されるべきである。
簡単ではなかったが、やってみた。我々の非単連結な3次元空間の最初の3次元側の部分には赤、もう一方には緑の二色を使うこともできた。赤いランチュルルは、球に突っ込んだ赤い「左」の手が緑の「右」の手として出てくるのを見るだろう。
明らかに峡谷球の「内部」には何もない。内部、容積的な内容の外観は、この3次元表現空間の選択にすぎない。ちょうど紙に切り取った穴の中にも紙はないのと同じである。それはこの平面的表現空間の選択に結びついた偶然にすぎなかった。もし誰かが紙に切り取った円盤を取り除かずに平面的表現を使うことに固執し、「中に何があるのか」と繰り返し尋ねるなら、その人は完全に「場の外」（というより…その中）にいることになる。場は存在しない。
3次元に戻ろう。ランチュルルが腕を峡谷球に突っ込むとき、これにも内部はない。内部の外観は単に我々の表現空間の選択によるものである。ランチュルルと出てくる手は、3次元を持つ紙に描かれ、そこから…球（紙の円盤の3次元版）を取り除いたと考えることもできた。数学的には、円盤は「b2球」であり、「球体積」は「b3球」である。「球」とは収縮可能なセル（「CD-Lanturlu」の『トポロジコン』を参照）を意味し、つまりそれ自身の上を通りながら一点に対して収縮できる対象物である。2次元と3次元の例は記事の戦略を示すためにある：シュヴァルツシルト球には「内部」も「中心」もない。それを横切ると（超トーラス的通過）、我々は「時空の反対側」にいることになる。
この「シュヴァルツシルト幾何学」の新しい解釈の正当化は何か？
答え：特異点の除去である。クルスカルはその「解析的延長」によって、この「呪われた球」に可能な限り入り込もうとした。彼は特異点（当初はシュヴァルツシルト球が担っていた役割）を「この対象物の中心」にある一点に押し込むことに成功しただけだった。人々はこの手品に満足した。しかし我々は特異点なしの方が良いと考える。
自然は、間違った側から見ると、特異点を分泌して抗議する。我々はそう物事を見る。それは「現実」についての先入観である。我々はこれらの特異点が自然に存在しないと信じる。無限もまた存在しないと考える。しかしキプリングが言ったように、それは別の話である。一年前、この問題でスーリオーと私は活発な議論をした。
— 無限が存在する証拠は何か？…
— しかし、無限なしには数学はない！…
— 君はこれまでに無限に出会ったことがあるか？見たか、手に取ったか？
— それは…便宜上のものだ。
— 我々は、ある数に1を無期限に加えられると仮定して、無限に大きな数を生成する。我々は数値的無限を生成するために逐次的な無限を使っている。自分の尻尾を食べているんだ、君のそれは。
— わかった、それを便宜上のものと言おう。人間はその歴史の中で二つの重要なものを発明した：無限とトイレだ…
私は無限小も、物理的にも数学的にも存在しないと信じる。しかしそれは他の論文の主題になるだろう。今はこれらの問いを脇に置こう。単なる余談である。
ついでに、P. MidyとJ.P. Petitによる「スケール不変宇宙論」（International Journal of Modern Physics D、1999年6月、271-280頁）を見よ。そこでは我々は「宇宙の初期特異点」を消し去った。それは私が88-89年にModern Physics Letters Aで発表したアイデア（サイト上の論文）を、より数学的に構築して定式化し直したものである。
アルキメデスが、科学の聖域の入口で言ったと信じる：「幾何学者でない者はここに入るべからず」。これらのテンソルだの何だの、Midyが愛する分野は、イギリスのプディングのように消化しにくい。
したがってこの議論を通じて、これらの現象についての我々の物理的視覚が、それをどう表現しようと決めるかに由来することがわかる。空間座標を変えることで我々は「局所位相」を変えた。この用語はスーリオーによれば数学的明確化を要する。実際この言い回しは穏やかな婉曲表現である：私がそう言うと彼はただ戯言を言い始め、彼の猫ピウムと私は彼を落ち着かせるのにこの上なく苦労した。スーリオーは数学界のトルネソール教授である。彼は進んで高度な数学的憤慨を実践する。しかしこの憤慨は言葉の通俗的な意味での怒りと混同されるべきではない。むしろ、この分野でモリエールの「ジュルダン氏」を演じるのは私の方である。物理学者はしばしばそれを知らずに数学を使う（そして実際その逆も）。
暫定的に「特定されていない」言葉の使用を認めると、すべてはあたかも我々がシュヴァルツシルト幾何学の「局所位相」を「超球面的」（シュヴァルツシルト球が「B3球」を「含む」）とだけ考えたかのように起こる。我々はそれを「超トーラス的」にした。だからこそ私は「超トーラス幾何学」という用語を提案した。
先に空間の反転について述べた。それは群と交渉される。それを別様に理解できるだろうか？ランチュルルが左の手を峡谷球に突っ込み、右の手が出てくるのを見たことはすでに見た。実際、彼の手の各原子は表面に垂直な「動径的」測地線に従った。
ついでに、この表現系が等長でないことを述べるのを忘れないように。穴のあいた紙と同じである。ランチュルルの手（英語版ではアーチボルド・ヒギンズの）に属する試験原子が二つの半空間で進んだ距離を測れば、紐で測った実距離とは一致しないだろう。
先に示した図に戻ろう。
ここには峡谷円を横切る測地線弧ABと、下の平面的表現空間におけるその像を示した。表現の非等長的性格はさらに明らかになる。弧ABとA'B'の長さは大きく異なる。
明らかに、超トーラス的通過の峡谷球に紐を通せるなどと想像するのはかなり難しい。紐を締めれば測地線（最短経路の線）が得られるだろう。結局、3次元表現空間で紐の長さを測り（ランチュルルが腕を突っ込む）、この空間で紐の長さを測ると決めれば、より短い長さA'B'が見つかるだろう。3次元超曲面で測った実長は、2次元の図に示されるように、より長いだろう。したがってランチュルルによる3次元表現は、上の平面的表現と同様、非等長的である。
いくつかの図の助けを借りれば、群論から発展したこれらの微妙な概念は、「空間を見通す」ことができれば、さほど難解ではなくなる。それが私が君たちに教えようとしていること、3次元の曲がった空間を見通すことである。
鏡像性、対象物が2次元または3次元の峡谷構造を横切るときの反転の問題に戻ろう。2次元で動径的測地線を想像しよう。この言葉は不正確になった。なぜなら原則として半径は一点から出る直線だからである。実際には一定のjの測地線の問題である。この方位座標を示した先の図を見よ。しかし簡潔さのため、引用符付きで「動径的」という言葉を使い続ける。注意してほしい、「動径的」という言葉自体すでに表現空間の選択の結果である。文字R（その鏡像、その鏡像的像とは同一でない）が、我々のトーラス的通過に沿って、その各点が測地線に従って動きながら、しっかり留められていない転写のように滑り込むと想像しよう。文字は「反対側」にいることになる。表現空間における平面的投影での操作の結果を見るのは興味深い。
ここには二本の測地線で縁を作った一種のリボンを示した。何に気づくか？表現空間では文字Rは反転してロシア語の「Я」、逆さのR、鏡像的になる。ランチュルルの手が「3次元表現空間」に現れるとき反転しているように見える理由、それが鏡像的になる理由を我々は理解し始めている。
