しかし、座標の選択とは無関係に固有の特異性を持つ表面も存在する。例えば、錐状特異性である。1917年にシュヴァルツシルトが、時間t、半径方向距離r、角度q、j（方位角と仰角に相当する「球座標」）を用いて定式化した、シュヴァルツシルトの「表面」は特異性を持つ。半径方向座標rの特定の値Rs（「幾何学的中心」から測定されるものとされている）において、この計量は最も悪い状態になる。この表面では、ある項の分母がゼロになる。つまり、この表面では特異性がある。これは固有の特異性なのか、それとも悪い座標選択による人工的なものなのか。我々が問ったのはその点である。
この「シュヴァルツシルトの幾何学」は4次元の超曲面であり、そのことによりさらに複雑さを帯びている。
クルスカルはこの点に注目し、放射的な経路に沿って光の速度が一定になるような座標変換を構築した。これにより、特異性は「物体の中心」に集中し、「中心特異性」となる。心理的には、何かを得たように感じる。解は「ほぼどこでも正則」であり、これは数学的に「特異性のない正則な解」という表現である。
- あなたは単なる一点を理由に私と争う気はないでしょうね……
残念なことに、クルスカルのこの定式には重大な欠点がある。それは無限遠で特殊相対性理論の空間を再現しないことである。技術的に言えば、無限遠でローレンツ不変でない、つまり「漸近的にローレンツ不変ではない」。
これは物理学において重要な問いである。特異性は存在するのか。自然界は特異性を許容するのか。答えは、無限の存在・非存在と同様に、信仰の問題である。
我々は、この同じシュヴァルツシルトの幾何学を別の解釈で、すべての特異性を排除して考えることを試み、成功した。したがって我々の答えは：
- シュヴァルツシルト解の特異性は単に座標選択の悪さによって生じている。
技術的には、変数変換に依存している：
r = Rs + log ch r
これは「rはRsにハイパボリックコサインの対数を加えたもの」と読む。科学者、専門家、あるいは単なるタピストにとっても簡単である。この式を理解できる人にとっては、rがRsより小さくなることは不可能であり、rがマイナス無限からプラス無限まであらゆる値を取るときでも、rはRs以下にはならない。
ある放物線を直線の周りに回転させて得られる表面を考える。この図は論文から引用したものです。この表面は無限である。なぜなら、この表面を生成する放物線の子午線がz軸の周りを回転しているからである。もし(r, z, j)の座標でこの表面を表現しようとすれば、r < Rsのときの様子を尋ねる際に問題が生じるだろう。
答えは「虚数」になる。なぜなら、そのときは「表面の外」にいるからである。
数学的には、この表面は「単純接続されていない」と呼ばれる。これは、表面上の任意の閉曲線が、表面内を滑らせてその周長をゼロにまで縮めることができないという意味である。
これは球面のように「単純接続されている」場合では可能である。しかし、この表面では、中央の「井戸」を一周する任意の閉曲線は、その周長をゼロに縮めることはできない。限界は「喉部円周」である。トーラスも同様に「単純接続されていない」。
我々はこの表面をその計量から定義し、これは主張を非常に明確に示している。rの座標を保持すると、この表面は特異性を持つように見える。しかし、上記の変数変換を用いることで、特異性はなくなる。このrの座標は、図に示されているように、子午線の放物線上を走るだけである。喉部円周でrはゼロになる。表面の半分はrが正、もう半分はrが負である。[r, j]座標系では特異性は存在しない。
我々はこの種の対象を「トーラス的な橋」と呼ぶことにした。トーラスに似た名前である。
しかし、計量から考えると、このようにして3次元の超曲面、つまり「ハイパートーラス的な橋」を持つ対象に移行できることが簡単に示される。この場合、喉部円周ではなく、喉部球面が存在する。先ほどの表面では、喉部円周が2つの2次元面をつなぐように見えたが、喉部球面は2つの3次元半空間をつなぐ。もし3次元半空間の一方にいて、喉部球面に潜ると、もう一方の半空間に出てくる。
上記の2次元表面に戻ると、次の図は「同心円のように見える円」を描くと、その周長が減少し、最小値を通り、再び増加することを示している。
3次元では、喉部球面を完全に囲む球と、その中に存在する別の球（この方向に進んで喉部球面に向かう場合、これは「その先」と言うべきである）を想像する。この球の表面は小さくなるかもしれない。しかし、喉部球面に達したとき、面積は最小値を通り、再び増加し、無限にまで広がる。
我々はこの2次元および3次元の表面の「計量」を構築し、「トーラス的な通過」と「ハイパートーラス的な通過」を含んでいる。後者の場合、シュヴァルツシルトの計量に非常に似ていることに気づき、そこで座標変換を施し、その「単純接続されていない性質」、つまり「物体の内部」が「喉部球面の向こう」になることを明らかにした。
これにより、すべての特異性を排除することが可能になった。
この段階で、我々は単なる「ブラックホール」モデルを「ブラックホールとホワイトホールのペア」に拡張した。しかし、この「外部観測者」にとって、このハイパートーラス的な橋を通過する時間は依然として無限であった。我々は単にブラックホールモデルを改善し、それがどこに繋がるかを説明したに過ぎなかった。
我々は、幾何学的解において変数の選択は完全に任意であると述べた。しかし、空間に当てはまることが時間にも当てはまる。したがって、1924年にエッディングトンが考案した時間変数の変換を探し求めた。
ここでも、科学者やタピストにとっての参考として述べる。
tは古い「宇宙時間」であり、1917年のシュヴァルツシルトの初期解に含まれる古い「時系列変数」である。
t'は新しい「エッディングトン時間」である。Rsは「シュヴァルツシルト半径（正確には、シュヴァルツシルトの「円周」を2πで割ったもの）」である。
cは光の速度（ここでは定数）である。