ここでは、読みやすさを高めるために図形を少し「滑らかに」しています。この表面は2次元のオブジェクトであり、ここでは3次元のユークリッド空間、つまりR3に「埋め込まれています」。上側では「それを見る」ことができます。この表面がこのR3空間で「等長的に埋め込まれている」ことがわかります。つまり、この表面にテープを貼ると、それが実際に表面の2点AとBを結ぶ測地線に沿って貼られているということです。さらに、この測地線に沿った長さも正確です。この「等長的」という語は、語源的には「同じ長さ」を意味しています。下には、等長的でない2次元の表現空間があります。この場合、弧A'B'の長さは弧ABの長さと等しくありません。以下のオブジェクトを紙、鉛筆、ハサミを使って作ってください：
この図は等長的ではありません。第一に、示された曲線は明らかに平面の測地線ではありません。第二に、弧ABの長さは「実際の長さ」ではありません。つまり、実際に「実際の表面」上で測定される長さではなく、この表面は「穴が開いていない」ものです。この穴が開いた紙は、それ以上に何かを示すための便宜的な表現に過ぎません。同様に、この紙の表と裏にそれぞれ描くという技術も、全体として曲線が透過して見えるだけです。
次の図には、この表面の測地線がコンピュータで計算されています（これは記事に記載されています）。
曲線の太線部分は、表面の裏側にある枝を表しています（つまり、表面を「上から見ている」ようなものです）。
では、質問です。この測地線を平面的で等長的な表現にすることは可能でしょうか？答えは「はい」です。私たちは、変数rを変数rに変えることができることをすでに見ました。したがって、測地線は「極座標」（r, j）の平面上に正確に描くことができます。非放射的な測地線（ここでは）の形状は以下の通りです：
この表現は等長的です。表面に属する3つの点A、B、Cが同じ測地線上にあるとします。A'、B'、C'はこの表現[ r, j ]における対応する点です。AとBは同じ半円上にあり、それらを結ぶ測地線は喉部円を越えません。この平面上で、この測地線の画像（これは明らかにその平面の測地線ではありません）に沿って測った弧A'B'の長さは、表面で測った弧ABの長さと等しくなります。
弧BCは喉部円を越えます。同じようにです。
しかし、この等長性は表面のすべての測地線に適用されるわけではありません。表面には唯一の測地線があります：喉部円で、ここでは1つの点に縮小されています。これは、この表面で自己を閉じる唯一の測地線です。
測地線は、平面的でない、非ユークリッド的な表面や空間を理解するための唯一の方法です。これらは信頼できる基準（たとえ私たちが2次元または3次元の表現システムを通じて歪んだ視覚を持っているとしても）です。例えば、球体の測地線は大円です。時空の場合、無数の時空的測地線が存在します。これらの測地線は本質的に存在し、理解（語源的には「囲み、抱きしめる」）するために、私たちは盲目のように「触って」みようとします。しかし、時間と空間の座標線には本質的な現実性はなく、また、経線と緯線のセットも球体の一部ではありません。それらは「付属品」ではありません。シュワルツシルトの幾何学は、アインシュタインの場の式の解である4次元の超曲面です。理論家たちは、この上に「t一定」や「r一定」などの曲線の族を貼り付けています。
頭に刻みつけてください。これらの操作は完全に任意です。しかし、理論宇宙論の専門家たちはしばしばこの点を忘れがちで、数学・幾何学の専門家が時折彼らに思い出させてくれる必要があります。したがって、空間と時間の座標を変えることは完全に正当化されています。
この段階で、あなたは私に尋ねるかもしれません。「では、なぜある座標の選択が他のものよりも優れていると判断できるのでしょうか？どこに合理的と非合理的があるのでしょうか？」これは個人の好みの問題です。空間と時間の座標を選ぶことは、数学的対象に物理的な視点を貼り付けることです。地球の場合、回転しているため、極を持ちました。北極は単に「地球」表面の法線が北極星に向かっている点です。この星は星空の中で固定されています。
等長性と非等長性について、地図作成は球体を平面に表現しようとする試みがもたらす問題を示しています。メルカトル図法（地球の球体を赤道に接する円筒に投影）は、赤道近くに住む人々にとって非常に便利です。一方、極に住む人々には驚きがあります。彼らの領域は点から直線に変化してしまいます...
球体を平面に投影する方法は36,000通りあります。これを以下のように想像してください：
このモデルで地図を作成し販売すれば、両極の住民にはすぐに成功します。この地域では、これらの投影はほぼ等長的です。このような場所での距離の概要を把握するには非常に便利です。もし地球の極が住みやすく、他の場所が比較的住みにくかったとしたら、地図はおそらくこのように作られていたでしょう。この場合、平面の投影の境界円はもはや赤道ではなく、ある緯線（ここでは北半球に属するもの）に対応することになります。この地域の近くでは、地図は等長性から遠ざかります。さらに、この不思議な地図では、一部の地域は実線で、他の地域は点線で描かなければならず、なぜならその緯線の向こう側では、奇妙に「折りたたまれている」ように見えるからです。紙の片面にこの地形を描き、もう片面に続く地形を描いたディスク型の地図を提供しない限り、そうなるでしょう。
3次元で「すべてを理解してみましょう」。私たちはラントゥルが左腕を喉部円に沈めている様子を描き、2つの図を分離しました。これは、この2番目の3次元空間が「別の場所」にあるように感じさせるものです。より正確に言えば、この2つの図を透視法で重ね、手（右）が「点線で」現れるように描くべきでした。
私は試みましたが、それほど簡単ではありませんでした。また、例えば、3次元空間の第一の3次元側を赤色で、もう一方の側を緑色で表すこともできます。赤いラントゥルは、例えば、喉部円に左の赤い手を沈めた後、緑色の右の手として現れるでしょう。
レイモンド・デボーが数学に興味を持たないのは残念です。まあ、それはどうでもいいことですが...
当然、「喉部円」の中には何もありません。この内部や体積的な内容のようすは、この3次元表現空間の選択によるものです。同様に、紙の穴の中には紙もありません。これは、この2次元表現空間の選択による偶然に過ぎません。この平面表現を使い続け、紙から切り取った円を外さずに、さらに...