A: HTMプレゼンテーション\PQ4.htm では、今度は（これらの図はその記事から抽出されたものです）3次元の表現空間内で、四つの小さな玉が正四面体を形成するように設計してみましょう（これは非常に方向性を持つオブジェクトです）。これらの玉は、"放射状の測地線"に従って、球形の喉部の球体の中に落ちていきます。
それらはこの喉部の球体に"跳ね返る"ことになります（これは私たちの表現空間の選択から得られるイメージです。実際には、3次元の超曲面では測地線は連続しています）。
若い頃、階段の手すりの先に銀色のボールがよくありました。もしもご自宅にこのような物があるなら、四つの手を使って、鉄の小さな玉を投げて実験することができます。
跳ね返った後、四つの玉は逆の正四面体を形成します：
それらの正四面体を大きくして、この逆転をよりよく見ましょう。初期の配置は次の通りです：
それらの面を"方向付け"ます。例えば、A→D→Bのような進行方向を与え、この"動き"をドリルのような動きに見立て、ドリルの先端が外に向かうようにします（矢印）。このようにして四つの面が方向付けられます。では、この正四面体を、喉部の球体に跳ね返った玉によって形成された正四面体と比較してみましょう：
面の方向付けが逆転しています。もし私の描き方がより正確であれば、この二つのオブジェクトは鏡の両側に配置され、一方がもう一方のエナンチオモル（対掌性）になるでしょう。
シュヴァルツシルトの場合も同じです：オブジェクトは「反対側」に再出現し、もし「透過して」見ることができれば、エナンチオモルに見えるでしょう。しかし、「透過して」見ることはできません。「見る」ためには、光子がこの二つの「時空の斜面」の隣接する領域を結ぶことが必要であり、それらはP対称性を持っています。
一方で、非放射的な経路についてはどうでしょうか？測地線の計算では、平面的な経路が得られ、それらはシュヴァルツシルトの球体に跳ね返ります。以下の図を参照してください。
残るは、先ほど簡潔に述べた時間変数の話です。私が言ったように、変数の選択に関しては誰もが自由にできます。この選択は完全に任意であり、時空の超曲面は「座標不変性」を持ち、座標の選択とは無関係に存在します。これは、その上にある「イベントポイント」、つまり時空のオブジェクト、4次元の超曲面の点を特定するための座標です。
しかし、もしすべてがこれほど任意であるなら、時間とは何で、空間とは何でしょうか？
それには、触れることのできない時間があります。それは超曲面の唯一のスカラー的固有量です。それは固有時間です。固有時間とは、この時空の超曲面における「長さ」です。オブジェクトは4次元の測地線をたどるしかないものと仮定します。測地線上で二つの点（A,B）を取ります。これらのイベント間を分ける長さDsをc（光速）で割ったもの、つまり固有時間Dtは、選ばれた時空座標系にかかわらず、これらの二つの「イベント」の間の時間間隔です。この量Dtは唯一の物理的固有量です。
地球の上を測地線（大円）に沿って、点Aから点Bへ移動していると想像してください。あなたが次のように言うと：
- 私は、経度jA、緯度qAの点から、経度jB、緯度qBの点へ移動しました。
では、(jB - jA)と(qB - qA)という量は何を意味するでしょうか？それらは、あなたがどこに極を置いたか、あるいは座標系をどのように選んだかに依存します。一方で、次のように言うと：
- 私はこの測地線を2347キロメートル移動しました。
この測定は、どの座標系を選んでも意味を持ちます。
球体の例で見るように、ある特異点を現れるような座標系を設けることができます。極は経度jが定義されない場所です。また、単なる座標変換によって、表面の「望ましくない領域」（r < Rs）を消すこともでき、そこではDsの要素が純虚数になります。実際、シュヴァルツシルト計量の初期の形式では、固有時間（純虚数）の要素が現れ、それによって「超曲面の外側」にいると考えられました。絶対的な座標系は存在しません。しかし、特異点を消すような空間座標の選択をすることもできます。これは私たちが行ったことでした。また、「絶対的な宇宙的時間」も存在しません。ミディーとともに、我々の最後の論文で示したように、「初期特異点」、つまり「私たちの宇宙の創造の瞬間」として考えられていたものは、時間の座標変数の特定の選択に起因しており、他の選択は、赤方偏移をはじめとするすべての観測量を保持し、この初期特異点を「同じ名前の罪」として消し去ります。したがって、「ビッグバンの前には何があったのか？」という問いは意味を失います。これは驚きかもしれませんが、この問いは空間時間のパラダイムに起因しています。これは、「ブラックホールの中心には何があるのか？」という問いと同等です。したがって、「エディントン時間」（変数変換は上記で示されています）を使用して時間座標を変えることは、この局所的な幾何構造をミンコフスキー時空（特殊相対性理論の意味での平坦で曲率のない、空の時空）と接続できるため、完全に正当化されます。しかし、目的は、一つの計量ですべての時空を記述することです。この導き手は再び群論とシュヴァルツシルト計量の「等長群」の検討にあります。
等長群は、計量を不変に保つ幾何変換の集合（したがって、超曲面も不変）です。球体の等長群は、空間内の回転と対称性（中心を通る平面や軸、または中心の点に関する対称性）からなります。この群はO3と呼ばれ（「3次元直交群」の略）、『Geometrical Physics B』の導入で見られるように、これすべてを含みます。しかし、軸、平面、点に関する対称性を除けば、これはSO3（「3次元特殊直交群」）になります。
シュヴァルツシルトの幾何学には対称性があります。これまで、この対称性は空間内の回転（SO3）とされていましたが、実際には等長群はO3であり、したがってP対称性（点対称性）を含んでいます。先ほどの正四面体を再び考えてください。その点対称な図形は、最初の正四面体のエナンチオモル（対掌性）です。
サイトの「群」のセクションでは、群が「空間を分泌する」、あるいはより正確には「幾何的オブジェクトを分泌する」方法を示しました。ソリアウはこれを「群の種」と呼びます。したがって、SO3の群が球体を生み出すのではなく、逆です。球体はこの群の「種」です。「種」という語は分類学的な意味で使われています（ラロースの辞書：分類学は種の分類の科学）。私たちは以前に、物理学者が数学を知らないまま数学をすることや、逆に数学家が物理を知らないまま物理をすることもあると述べました。相対性の物理...