しかし、座標の選択に起因しない、本質的に特異な特異点を持つ曲面が存在する。以下の例：円錐特異点。
鋳造のまま、1917年にシュヴァルツシルトが座標 t, r, q, j（時間、動径距離、および方位角と高度に相当する二つの角度、つまり「球面」座標）で定式化したままでは、シュヴァルツシルト球は特異である。ある「動径座標」r の特定の値 Rs（「幾何学的中心」から測られるとされる）において、この計量は最悪の悪戯を仕掛けてくる。この球面上で、ある項の分母がゼロになる。要するに、この球面上で特異なのである。それは本質的な特異点なのか、それとも座標の悪い選択によって引き起こされた人為的なものなのか？それが我々の抱いた問いである。
ついでに言えば、「シュヴァルツシルト幾何学」は四次元の超曲面であり、それが事態をさらに厄介にしている。
クラスカルはこの点に焦点を当てた。彼は座標変換を構築し、とりわけ動径軌道に沿って光速を一定値に保つようにした。そうすることで彼は特異な側面を「物体の中心」に、つまり「中心特異点」に集中させた。心理的には得をしたように感じられる。解は「ほとんど至る所で正則」になる。数学者が使うこの表現は、解が唯一の点を除いて正則で、病的な点がないことを意味する。
- たかが一点くらいで、揚げ足を取ったり難癖をつけたりするつもりはないだろう……
あいにく、このクラスカルの定式化には重大な欠陥がある。無限遠で特殊相対性理論の空間を再現しないのだ。技術的に言えば、無限遠でローレンツ的でなく、「漸近的にローレンツ的」でない。
これは物理学の本質的な問いである。特異点は存在するのか？自然は特異点を許容するのか？答えは（ちなみに無限の存在・非存在と同様に）信念の言葉で定式化される。
我々はこの同じシュヴァルツシルト幾何学の新たな解釈を、あらゆる特異点を排除しようと試みて探し求め、そして成功した。したがって我々の答えはこうである：
- シュヴァルツシルト解の特異な性格は、単に座標の悪い選択によって引き起こされたものである。
技術的には、すべては変数変換に帰着する：
r = Rs + Log ch r
これは「r は Rs に変数 r の双曲線余弦の対数を加えたものに等しい」と読む。科学者、専門家、あるいは単なる予備校生向けのちょっとした余談。この式を扱える者にとって、r がマイナス無限大からプラス無限大までのあらゆる値を取っても、量 r はもはや Rs より小さくなり得ない。
放物線を直線の周りに回転させて得られる曲面を考えてみよ、このように：
この図は論文からの抜粋である。曲面は実際、z 軸の周りを回転してそれを生成する子午線放物線のように、無限である。どうしても座標 (r,z,j) でそれを思い描くことに固執するなら、「r < Rs のときこの曲面はどうなっているのか？」と問うたときに厄介なことになると予想できる。
答えは……虚数で、負の量の平方根を伴うものになるだろう。ただ単に、そのとき「曲面の外」にいるからである。
この曲面は数学では「単連結でない」と言われる。この野蛮な用語は、閉曲線を曲面内で滑らせて周長を減少させ、ゼロに至らせることができない曲面を指すにすぎない。
球面では可能であり、球面は「単連結」である。しかしこの曲面では、「この種の中心的な井戸の周りを一周する」閉曲線はどれも、その周長をゼロに近づけることができないことがよくわかる。限界は「喉の円」の周長である。トーラスも同様で、これも「単連結でない」。
我々はそのような曲面をその計量から出発して定義し、それがこの論点を非常によく例証している。座標 r を保つと、この曲面は特異に見える。上に示した変数変換を使えば、もはやそうではない。この座標 r は何に対応するのか？それは図に示すように子午線放物線に沿って「走り」、喉の円上でゼロの値を取る。曲面の半分は正の r に、もう半分は負の r に対応する。点の基準系 [r, j] ではもはや特異点はない。
我々はこの種の対象を、トーラスとの類似から「トーラス橋」と呼ぶことにした。
しかし、やはり計量から出発して、「超トーラス橋」を備えた対象、三次元超曲面へ移行できることは容易に示される。その場合もはや喉の円ではなく、喉の球面がある。上の曲面と同様に、喉の円が二つの二次元の層を連通させているように見えたのに対し、喉の球面は二つの「三次元半空間」を連通させる。これらの三次元半空間の一つにいて喉の球面に飛び込むと、もう一方の半空間に現れる。
上に示した二次元曲面に戻ろう。次の図は、「同心円だと思って」円を描くと、その周長が減少し、最小値を経て、再び増大するのがわかることを示している。
三次元では、喉の球面を完全に取り囲む球面を想像しなければならない。次にその内側の（与えられた方向に従って、この喉の球面に向かって「向こう側」と言うべきだろう）別の球面を。この球面の表面はより小さくなり得ると想像する。しかし喉の球面に達すると、面積は最小値を経て、操作を延長すると無限大まで再び増大し始める……
我々は「トーラス通路」と「超トーラス通路」を備えたこれらの二次元および三次元曲面の「計量」を構築し、第二の場合においてシュヴァルツシルト計量との類似に打たれ、そこでこの座標変換を行って、その「単連結でない」性格を明らかにし、物体の「内部」は単に「その喉の球面の向こう側」となった。
こうしてあらゆる特異点を排除することが可能となった。
この段階で我々は単にブラックホールのモデルを「ブラックホール-ホワイトファウンテン」のタンデムに拡張したにすぎない。しかし、やはりこの「外部観測者」にとって、この超トーラス橋の通過時間は常に無限であった。我々は単にブラックホールのモデルを、それが何に通じるかを説明することで改良したように見えた。
幾何学的解において変数の選択が全く恣意的であることは述べた。しかし空間に当てはまることは時間にも当てはまる。そこで我々は1924年にエディントンが発明した時間変数変換を探し求めた：
ここでもまた、科学者や単なる予備校生のために言及しておく。
t は以前の「宇宙時間」、1917年のシュヴァルツシルトの初期解に存在した以前の「年代学的変数」である。
t' はこの新しい「エディントン時間」である。Rs は「シュヴァルツシルト半径」（その場合シュヴァルツシルト周長を 2p で割ったものと言うべきだろう）である。
c は光速（ここでは定数）である。
奇妙に思えるかもしれないこと：時間と空間を混ぜ合わせるが、事柄においてはすべての権利がある。時間座標、年代学的基準座標（タイムマーカー）の選択は全く恣意的である。単にこう要求するだけである：
-
計量が漸近的にローレンツ的であること、つまり無限遠で時空がミンコフスキー時空、特殊相対性理論のそれになること。我々の場合、うまくいく（クラスカルの場合はそうでない）。
-
この新しい時間 t' が、やはり無限遠で「静止していると仮定された観測者の固有時」と同一視されること。これも当てはまる（クラスカルの場合はそうでない）。
そうすることで、無限遠で静止しシュヴァルツシルト球に向かって落下するテスト粒子の自由落下時間は、遠くにいて静止している「外部観測者」が経験する時間に対して無限になる。
一方、粒子は無限の時間でこの「洞」から現れるだろう。ブラックホールと同様に、この種の三次元の洞に入ることはできるが、無限の時間でなければ出ることはできない。
反対側は「再湧出」である。しかしこのような時間（t'）の選択では、粒子は無限の時間でこの再湧出から現れるが、有限の時間でそこに侵入できる。どこかで齟齬が生じていた。解決策は、完全に行う権利のあること、一種の二重変数変換を行うことであった。我々のものであると想定される時空の部分については：
「双子宇宙」では：
そうすれば宇宙的機構は完全に機能する。
-
特異点はない。
-
「洞」に入ることはできるが出ることはできない（ブラックホール）。
-
再湧出から出ることはできるが侵入することはできない（ホワイトファウンテン）。
よし、進歩している、と言うだろう……
そうでもあり、そうでもない。この超トーラス通路における物質の通過時間は数十ミリ秒であり、このモロクは何でも飲み込める、例えば太陽質量十個を、弾丸がトランプを貫通するより短い時間で。
結論は、このより合理的な幾何学的解の再解釈を通じて、ブラックホールは存在し得ないということである。それらは……数学的虚構である。それらはこの「時間の凍結」によってのみ存在し得た。しかし物理学のあらゆる要求を満たすこの「エディントン時間」では、通過時間は有限になる。
結論：このシュヴァルツシルト幾何学は、我々によれば、超空間的転送という非定常過程の単なる瞬間的な画像にすぎないだろう。誰かが空中に放り投げた金床の写真を見せられて、金床は空中に浮かべるのだと結論するようなものである。シュヴァルツシルト解はまた、宇宙が完全に空であること、物質のエネルギー密度がすべての点でゼロであることを含意する方程式の解でもある。それはちょうど、ハーフタイムの休憩で選手たちが休みに行ったときに撮ったサッカー場の写真を見せられて、サッカーは……空のグラウンドで行われると結論するようなものである。
しかしならば、何が起こるのか？
我々は喉の球面の通過中に時間座標が反転することを示した。我々の「時空の斜面」に対応する時間（エディントンの）を t' と呼び、双子宇宙の「タイムマーカー」を t'* と呼ぶなら：
t'* = - t'
アンドレイ・サハロフが1967年に、ビッグバンの瞬間に反対の時間を持つ二つの双子宇宙が創生されたと最初に示唆したことを指摘しておく。
残っていたのは、この「時間の反転」の意味が何を意味するかであった。双子宇宙に飛び込むと若返るということか？我々はそうでないことを示した。人は「自分の固有時を持ち込む」のであり、対称的な構造を通ってもう少し先に出たとしても、この双子宇宙に入ったときより若く現れることはない。バルジャヴェルの『軽率な旅行者』のテーマのように「自分の父を殺す」ことは不可能である。
群はさらに、この時間座標の反転の「存在論的」意味を解明することを我々に可能にした。粒子が双子宇宙に飛び込むと、その重力作用は常に感じられるが、重力場への寄与は負になる。その「重力質量」が反転する。
ついでに言えば、これはサイトおよび著書『宇宙の半分を失った』（アルバン・ミシェル）で展開されたモデルを完全に正当化する。双子宇宙を徘徊する質量は、我々の宇宙に存在する質量に対して反発質量として振る舞う。完全な力学はこうである：
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我々の宇宙では質量はニュートンに従って引き合う
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双子では質量はニュートンに従って引き合う
-
時空の二つの「隣接する」部分に位置する質量が相互作用するとき、それらは反発し合う。
これはこの時間変数（ただし固有時ではない）の反転の単純な帰結である。
群はまた、アンドレイ・サハロフが推測したように、物質-反物質の双対性が両方の宇宙に存在することを示している。
物質粒子が双子宇宙へ通過することに成功すると（その方法は後で見る）、それは物質のままだが「CPT対称」である。これが物理学の有名な「CPT定理」（決して証明されていない。スーリオーが「物理学者の定理」と呼ぶもの）の意味である。古典的には物理学者は「物質のCPT対称体は物質と同一である」と言う。CPT対称性とは次のように理解せよ：
-
粒子は、この新しい基準系で「時間を遡って」進む：T対称性。
-
それはエナンチオモルフで、左右反転し、「鏡像」である：P対称性。
-
そのすべての「電荷」が反転し、電荷を持っていればその電気電荷も含む。これがC対称性である。
我々にとって、粒子のCPT対称体は双子の（あるいは双子へ移った）粒子である。それは双子粒子である。T対称性があるので、その質量は自動的に反転する（1974年にJ.M.スーリオーが最初に得た結果）。
粒子のC対称体はその反粒子である。
ファインマンは粒子のPT対称体が反粒子のように振る舞うことを見出した。正確だが、それは……双子の反物質であり、負の質量を持つ（T対称性もあるからである）。すべては群の話から生じる。この研究はこれまでに公表されたすべてと結びつく（サイトでは、Geometrical Physics B の「反物質の幾何学化」の項を参照）。この空間反転の件を雄弁に例証できる。論文では、表象空間の概念をかなり強調している。それは我々が幾何学的対象を心的に表象する空間である。上では、ランチュルリュがこの喉の球面に手を突っ込み、それが別の三次元宇宙に現れるように見える画像を使った。作図の都合で二つの図を分けた。しかしおそらく最初は気づかなかっただろうこと：ランチュルリュはこの球面に左手を突っ込み、現れるのは右手である。これは偶然ではなかった。
この第二の宇宙はどこにあるのか？
それは我々の宇宙に入り込んでいるが、理解するのは難しい。しかし二次元曲面、「フラットランド」に戻ればより簡単になる。