ここでは、図を見やすくするために少し「簡略化」しています。曲面は2次元の物体であり、ここではユークリッド空間、すなわちR3空間に「埋め込まれています」。上では、この曲面を「見ることができます」。この曲面は、R3空間へ「等長に」埋め込むことが可能です。つまり、その上にテープを貼り付けると、そのテープは曲面内の2点AとBを結ぶ測地線に沿って正確に配置されます。さらに、この測地線弧に沿って測定した長さも正確です。これは等長（isométrique）であり、語源的には「同じ長さ」を意味します。下には2次元の表現空間があり、これは等長ではない表現を与えています。弧A'B'の長さは弧ABの長さと等しくありません。以下の物体を、紙、鉛筆、ハサミを使って作成してみてください。
この図は等長ではありません。第一に、示されている曲線は明らかに平面の測地線ではありません。第二に、弧ABの長さは「真の長さ」、すなわち「穴の開いていない」「真の曲面」上で測定される長さではありません。この穴の開いた紙は単に便利な表現に過ぎません。同様に、紙の表に一度、裏に一度描き、透明重ね合わせで曲線全体を表示させるという技法も同じです。
以下の図には、コンピュータで計算されたこの曲面の測地線が描かれています（記事内参照）。
曲線の破線部分は、「向こう側」（曲面を「上から」見ている場合）にある枝に対応しています。
さて、質問です。これらの測地線の平面かつ等長な表現を構築できるでしょうか？答えは「はい」です。変数rを別のrに変換できることを見ました。すると、測地線は「極座標」(r, φ)の平面で完全に表現できます。測地線（ここでは非放射状の測地線）は以下のような形状になります。
この表現は等長です。曲面内で同一の測地線上にある3点A、B、Cを考えます。A'、B'、C'は、この[r, φ]表現における対応点です。点AとBは同一の半面上にあり、それらを結ぶ測地線弧は首輪円（スロート円）を横切ません。この平面内で、この測地線の像（この平面の測地線ではないことは明らかです）に沿って測定した弧A'B'の長さは、曲面内で測定した弧ABの長さと等しくなります。
弧BCは首輪球面を横切ります。同じことが言えます。
しかし、この等長性は曲面のすべての測地線に適用されるわけではありません。唯一無二の例外が存在します。それは首輪円であり、ここでは1点に縮退しています。これは自己閉じる唯一の測地線です。
測地線は、曲面や、より一般的には非平面・非ユークリッド空間を理解するための唯一の方法です。それらは信頼できる基準です（2次元や3次元の表現系、特に遠近法を通じて歪んだ像として見えていても）。これらの測地線は「存在」し、本質的なものであることが分かっています。例えば、球面上の測地線は大円です。時空に関して言えば、それらは無限の数の時空測地線で満たされています。これらの測地線は本質的に存在し、理解するため（語源的には「取り囲む、抱きしめる」）に、私たちはまるで盲目のようにこれらの測地線を「触知」しようと試みます。しかし、時間と空間の座標線には本質的な実在性はありません。経線と緯線の2つの集合が球体の本質的な一部ではないのと同じです。それらは「付属品」ではありません。アインシュタイン場方程式の解であるシュワルツシルト幾何学は4次元超曲面です。理論物理学者たちは、そこに「t一定」、「r一定」などの曲線族を貼り付けました。
これらの操作が完全に恣意的であることを心に留めてください。しかし、理論宇宙論の専門家ですら、この点をしばしば忘れがちであり、数学幾何学者が時折思い起こさせる必要があります。したがって、空間座標と時間座標を変更することは完全に正当でした。
この段階で、あなたはこう尋ねるでしょう。「では、ある座標の選択が他の選択より優れていると判断する基準は何なのか？合理的なものと不合理なものの境界はどこにあるのか？」これは趣味の問題です。空間と時間の座標を選ぶことは、数学的対象に物理的な視点を貼り付けることです。地球の場合、自転しているため極を定めました。北極とは、単に「地球」表面のうち、法線が天球上で固定された星である北極星を指す点に過ぎません。
等長性と非等長性について、地図作成法は、球面を平面に表現しようとする試みから生じる問題をよく示しています。メルカトル投影（赤道で接する円柱への地球球面の投影）は、赤道付近に住む人々には非常に快適です。一方、極地の住人は予期せぬ驚きを経験します。自分の領域は点であるにもかかわらず、直線に変換されてしまうのです。
球面を平面に投影する方法は3万6千通りもあります。次のようなものを想像してみてください。
このモデルに基づいて地図を作成し、販売するとしましょう。両極の住人からは即座に人気が出るでしょう。これらの地域では、これらの投影はほぼ等長だからです。その地域での距離感を把握するのに非常に便利です。もし地球が極地では居住可能で、他の地域は比較的過酷であれば、地図はおそらくこのように作成されていたでしょう。注目すべきは、この場合、平面投影の境界円はもはや赤道に対応せず、緯線（ここでは北半球に属するもの）に対応するようになる点です。この地域の近傍では、地図は等長性から程遠くなります。さらに、この奇妙な地図では、領土の一部を実線で、他を点線で描く必要があります。なぜなら、後者は、対象が奇妙にも「折り返される」ように見えるその緯線の向こう側に位置するからです。あるいは、地形の続きが紙の裏面、すなわちディスク状の地図の裏側に描かれているような地図を提供しない限りは。
「これらを3次元で考える」ことを試みましょう。私たちは、ラントゥルルが左腕を首輪球面に突っ込んでいる様子を描き、2つの図を分離しました。これは、この第2の3次元空間が「別の場所」にあることを示唆しているようです。より正確を期すなら、2つの図を遠近法で重ね合わせ、「点線」で現れる（右手の）手を描くべきでした。
非常に難しい作業でしたが、試みました。また、異なる2色を使うこともできました。例えば、非単連結な3次元空間の第1の斜面にあるものは赤、第2の斜面にあるものは緑といった具合です。そうすれば、赤いラントゥルルは、首輪球面に突っ込んだ赤い左手が、緑の「右手」として現れるのを観察することになります。
レイモン・デヴォスが数学に興味を示さなかったのは残念です。とはいえ……
もちろん、首輪球面の「内部」には何もありません。この内部や体積的な内容があるように見える外見は、単にこの3次元表現空間の選択に起因するものです。同様に、紙に開けた穴の内部にも紙はありませんでした。それは単に、この平面表現空間の選択に伴う偶然の産物でした。切り抜かれた円盤を取り除かずにこの平面表現を使い続け、「中に何があるのか？」と問い続ける人は、「的外れ」（あるいはむしろ「中」）です。この「板」は「存在しません」。
3次元に戻りましょう。ラントゥルルが腕を首輪球面に突っ込むとき、そこにも内部はありません。この内部があるように見える外見は、単にこの表現空間の選択に起因するものです。ラントゥルルと現れる手は、3次元を持つ紙のシートに描かれ、そこから球体（紙のシートにおける円盤の3次元相当物）が取り除かれたと見なすこともできます。数学的には、円盤は「b2ボール」、体積を持つ球は「b3ボール」と呼ばれます。「ボール」とは、縮約可能なセル（「CD-Lanturlu」内の『トポロギコン』参照）、すなわち自己を辿りながら一点に収縮できる物体を指します。これらの2次元および3次元の例は、記事で採用したアプローチを説明するものです。すなわち、シュワルツシルト球には「内部」も「中心」もありません。そこを通過する（超トラス通過）と、「時空の別の斜面」に現れます。
この「シュワルツシルト幾何学」の新解釈の根拠は何でしょうか？
答え：特異点の排除。クルスカルは、「解析的延長」を用いて、この厄介な球の「内部」に何としても入り込もうと必死でした。彼が成功したのは、特異点（当初シュワルツシルト球が担っていた役割）を「この物体の中心」にある一点に押し込めることだけでした。私たちはこの手品で満足してきました。しかし、私たちは、特異点がない方がやはり良いと考えています。
自然は、間違った角度から見ると、特異点を分泌して抗議します。私たちが物事を見るのはそういうものです。これは「現実」に対する先験的な視点です。私たちは、自然に特異点は存在しないと考えています。また、無限も存在しないと考えています。しかし、キプリングが言うように、これは別の話です。1年前、スリアウとこの問題について激しい議論を交わしました。
- 無限が存在することを証明できるのか？
- しかし、無限がなければ数学は成り立たない！
- 無限に会ったことがあるのか？見たのか？手に取ったことがあるのか？
- それは……便利なものだ。
- 数に1を足す操作を無限に繰り返すことで、無限に大きな数を生成する。つまり、逐次的無限を用いて数的無限を生成している。これは自己言及的な循環だ。
- まあ、便利だとしよう。人間は歴史の中で2つの重要なものを発明した。無限とトイレだ……
私は、無限小も物理的にも数学的にも存在するとは考えていません。しかし、それは別の論文で扱うことになります。今はこれらの問題を脇に置いておきましょう。単なる余談です。
なお、P.ミディとJ.P.プティによる「スケール不変宇宙論」（International Journal of Modern Physics D, 1999年6月, pp. 271-280）を参照してください。そこでは「宇宙の初期特異点」を消去しました。これは、私が1988-89年にModern Physics Letters Aで発表したアイデア（サイト上の論文参照）を、より数学的に厳密に再定式化したものです。
これらの文章を読まれる頃には、レコ氏やボラン氏の助けを借りて、この新しい記事をサイトに掲載する時間が取れていることを願っています。しかし、いずれにせよ、たとえこの仕事がサイトに掲載されていても、安易に手を出さないでください。アルキメデスが科学の聖域の入口に刻んだと記憶していますが、「幾何学を知らざれる者は、ここに入るなかれ」。テンソルなどが登場し、ミディ氏はそこで楽しんでいるようですが、それはイギリスのプディングのように消化しにくいものです。
したがって、この議論を通じて、現象に対する私たちの物理的視点は、それらをどのように表現するかという決定に由来することが分かります。空間座標を変更することで、「局所トポロジー」を変えました。この言葉は数学的に厳密化する必要があるとスリアウは言います。実際、この文は穏やかな婉曲表現です。私がこの言葉を口にしたとき、彼はただ叫び声を上げました。彼の猫ピウムと私は、彼を落ち着かせるのに苦労しました。スリアウは数学界のターンソルです。彼は数学的な怒りを極限まで高めることを好みます。しかし、これらの怒りの発作は、俗世間の怒りと混同してはなりません。この分野では、私はむしろ「ジュルダン氏」です。物理学者はしばしば、自覚せずに数学を行なっています（逆もまた然りです）。
「厳密化されていない」言葉の使用を一時的に認めるなら、これまでシュワルツシルト幾何学の「局所トポロジー」は「超球面」（シュワルツシルト球が「b3ボール」を「含む」）であると見なされていたことになります。私たちはそれを「超トーラス」にしました。これが、私が「超トーラス幾何学」という（統制されていない）名称を提案した理由です。
前述した空間の反転について。これは群によって処理されます。これを別の方法で理解できるでしょうか？ラントゥルルが左腕を首輪球面に突っ込むと、右手が現れることを見ました。実際、手の各原子は、表面に垂直な方向を向いた「放射状」の測地線に沿って移動しました。
なお、先ほど言い忘れていましたが、この表現方法は等長ではありません。先ほどの穴の開いた紙の例と同じです。ラントゥルルの手に属する標識原子が2つの半空間で移動した距離を測定しても、糸で計算できる真の長さと一致することはありません。
先ほど提示した図をもう一度見てみましょう。
ここでは、首輪円を横切る測地線弧ABと、その下にある平面表現空間における像を描きました。非等長表現であることが、ここでさらに明確になります。弧ABと弧A'B'の長さは大きく異なります。
超トラス通過の首輪球面に糸を通すことを想像するのは、確かにかなり難しいことです。糸を張れば、測地線（最短経路）が得られます。ところで、3次元表現空間（腕を突っ込むラントゥルル）でこの糸の長さを測定し、さらにその糸の長さをこの空間で測定しようとすると、より短い長さA'B'が見つかります。3次元超曲面内で測定された真の長さは、上記の2次元図で示されているように、より長くなります。したがって、ラントゥルルが描かれている3次元表現は、上記の図の平面表現と同様に、非等長です。
結局、群論に由来するこれらの非常に微妙な概念も、いくつかの図を用いて「空間を見る」ことができれば、それほど難解ではなくなります。私が今あなた方に教えようとしているのは、曲がった3次元空間を見ることです。
エナンチオモルフィズム、すなわち2次元または3次元で首輪構造を通過する際の物体の反転の問題に戻りましょう。2次元で「放射状」の測地線を考えます。半径は本来、点から出る直線を指すため、この言葉は不正確になりました。実際には、φ一定の測地線です。前述の図で、この方位角座標が示されていました。しかし、簡潔さのために、「放射状」という言葉を引用符付きで使い続けます。この「放射状」という言葉も、表現空間の選択の帰結であることに注意してください。鏡像（エナンチオモルフィックな像）とは異なる文字Rが、私たちのトーラス通過の沿って、デカールのように滑り、各点が測地線に沿って移動すると想像してください。この文字は「向こう側」に現れます。興味深いのは、平面投影、すなわち表現空間における操作の結果を見ることです。
2つの測地線によって縁取られた、一種のリボンが描かれています。何が観察されるでしょうか？表現空間では、文字Rは反転し、ロシア語の「Я」や、逆さまのR、すなわちエナンチオモルフィックな像になっています。ラントゥルルの手が「3次元表現空間」から現れるとき、反転し、エナンチオモルフィックになったように見える理由が、今頃になって理解し始めています。