疑わしいブラックホールと双子の宇宙

宇宙論 問題のあるブラックホール。

ジャン＝ピエール・ペティ マルセイユ天文台、フランス ピエール・ミディ クリ・オルセー、フランス 連絡先：

概要

シュワルツシルト幾何学を物理的な解釈として捉える「ブラックホールモデル」から出発し、中性子星が安定限界を超えた際の運命に関する問題を再検討する。まず、2次元および3次元の例を通じて、新しい幾何学的ツールである「超トーラス幾何学」を提示する（第2節）。我々は、特定の座標系で表現された計量の線素に起因する病理が、「局所トポロジー」という観点からより適切な座標選択によって修正可能であることを示す。例えば、与えられた2つの例（2次元平面と3次元超曲面）において、等長群がO2およびO3であるものについて、それらが単純連結ではないことを示す。

この手法をシュワルツシルト幾何学に拡張する。非単純連結な時空超曲面を考慮することで、特異点を完全に除去可能であることを示す。シュワルツシルト幾何学に新たな物理的意味を与える：我々の宇宙と双子の宇宙を結ぶ「橋」である。

「時間の凍結」というブラックホールモデルの柱となる概念が、特定の時間マーカーの任意選択による単なる結果であることを示す。エディントン（1924年）の研究に着想を得た別の時間マーカーを用いることで、まったく異なるシナリオが導かれる。これは、ラジアルなフレーム・ドラギング（カー計量の方位角的フレーム・ドラギングと類似）を含むものである。シュワルツシルト解が「空間橋」として解釈できることを示す。この橋は2つの宇宙、2つの時空を結び、単方向の橋として機能する。テスト粒子の通過時間は有限かつ短いことを示し、これにより古典的ブラックホールモデルの問題性が直ちに明らかになる。

シュワルツシルト計量の等長群を拡張することで、2つの宇宙がエナントイモルフィック（P対称）であり、時間マーカーが逆である（t* = -t）ことを示す。群論の道具である「群の余随伴作用」を用いて、この「時間の反転」に物理的意味を与える。球状の喉部表面、すなわちシュワルツシルト球を通して：正の質量の粒子が空間橋を通過するとき、その重力場への寄与は逆転する（m* = -m）。1974年にソリアウが示したように、時間マーカーの反転は質量およびエネルギーの反転と等価である。

不安定化した中性子星の運命という問題は未解決のまま残っているため、代替モデルとして提案する：中性子星の一部物質が空間橋を介してハイパースペース的に転送され、双子宇宙へ相対論的速さで流れ込む。

なお、クラスクアルモデルにはいくつかよく知られた欠陥があることを想起する。特に、無限遠で漸近的にローレンツ的ではない点である。

我々はシュワルツシルト幾何学を10次元空間に埋め込まれた超曲面と捉えるべきだと提案する。これまでも群論に基づいた先行研究と結びつけることで、CPT対称なモデルを構築する。物質と反物質の二重性は両方の折り目で保存される。物質が双子宇宙へ転送されると、CPT対称性を経て質量（重力場への寄与）が逆転するが、依然として物質である。同様に、空間橋を通る反物質も反物質のままであり、質量は逆になる。なぜなら、ソリアウが示したように、時間マーカーの反転は質量の反転を意味するからである。

1. ブラックホールモデル

中性子星は臨界質量（太陽質量の約2.5倍）を超えることはできない。より大きな質量では、重力による巨大な内部圧力を物質が支えられなくなる。その結果、重力崩壊が生じる。長年にわたり理論家たちは、このような物体の運命を記述しようとしてきた。シュワルツシルト計量（以下、座標で表現される）を検討し、Rsは「シュワルツシルト半径」と呼ばれる（1）。

人々は、アインシュタイン方程式の解：

(2) S = 0

（右辺がゼロ）がこの問題を解決できると考えた。実際、外部観測者の「宇宙時間」としてtを選び、シュワルツシルト球r = Rsから遠く離れた点から「径方向測地線」に沿って自由落下するテスト粒子の落下時間を計算すると、無限大となる一方、固有時間で表した落下時間Dsは有限である。したがって、「物理的記述」として以下のようになる：

• オブジェクト（安定限界を超えた中性子星）は重力崩壊を経る。その質量は「系の幾何学的中心」、すなわち「中心特異点」として描かれる場所へ急速に落ち込む。この現象は固有時間sで有限時間Dsにわたって続く。

• しかし、オブジェクトからある距離にある「外部観測者」にとっては、このプロセスは「時間的に凍結しているように見える」。さらに、シュワルツシルト球は無限赤方偏移面である（r = Rsにおける計量のg_{tt}項がゼロであるため）。

これが球対称ブラックホールのモデルである。

rは「径方向距離」として識別される。これは、「シュワルツシルト球内部に何があるか」を想像可能にする。要するに、局所トポロジーが「球状」であると仮定していると言える。すなわち、シュワルツシルト球内部には「小さな球が存在する」と仮定し、その繰り返しで「物体の幾何学的中心」まで到達すると考える。

後にこのモデルは軸対称幾何（カー計量）に拡張されたが、概念的な根本的な変更はない。したがって、以降は球対称系に焦点を当てる（今後、カー計量へ拡張可能と考える）。

非常に密度の高いこのような物体が、物質・エネルギーのない宇宙の領域を指す方程式（2）の解で記述できるのは、少し奇妙である。

もし特定の座標選択（記述）を保持すると、多くの困難が生じる。例えば、r → Rsに近づくとg_{rr}項は無限大に発散する。

この特定の座標系での計量の符号は：r > Rsでは（+ - - -）、r < Rsでは（- + - -）となる。

テスト粒子がシュワルツシルト球内部に入ると、その質量は虚数となり、速度は光速を超える。すなわち、タキオンになる。

符号の変化に注目して、一部の人々は次のように述べた：

「問題ない：シュワルツシルト球内部では、rが時間となり、tが径方向距離となる。」

フランスの宇宙論者ジャン・エイドマンは、「ブラックホールを考えるときは、常識を捨てなければならない」とよく言う。

ちなみに、ブラックホール候補は非常に少ない。これが最も不思議な点である。実際、超新星、白色矮星、中性子星は観測される前に予言されていた。例えば、フリッツ・ツヴィッキーは1931年にカリフォルニア工科大学で有名な講演を行い、誰も観測していない状態で超新星モデルを提示した。数年後、そのモデルは確認され、現在では何百ものこのような天体が知られている。回転中性子星（パルサー）についても同様である。なぜブラックホールはこれほど観測されていないのか？

いずれにせよ、天体物理学者たちは、ブラックホールが存在すると信じており、観測データが極めて少ないにもかかわらず、銀河や銀河団の中心に「巨大ブラックホール」が存在すると仮定して、その動的特徴のいくつかを「説明」している。

以降では、安定限界を超えた中性子星の運命について、異なる見方を提案したい。まず新しい幾何学的ツールを紹介する。

2. 超トーラス幾何学

2次元のリーマン計量gを考える。座標[r, θ]で表された線素は：

(3)

ここで：

θはR上で2π周期（mod 2π）に定義される。

Rsは定数。

この計量はr → ∞のとき、漸近的にユークリッドになる：

(4)

この特別な座標系では、符号は：r > Rsで（+ , +）、r < Rsで（- , +）となる。

行列式：

(5)

はr = Rsで無限大になる。これは特定の座標選択によるものであることを示す。次の座標変換を導入する：

(6)

線素は次のように変化する：

(7)

対応する行列式は：

(8)

すべての値でゼロにならない（これにより、計量において線素の行列式がゼロになるかどうかは座標系の選択に依存することを示す。エディントンは1924年、シュワルツシルト計量についてこの点を指摘している[10]）。θ → 0のとき（これはr ≥ Rsに対応する）行列式は：

-∞から+∞まで変化する。

計量gは、座標系の選択にかかわらず、2次元の曲面、すなわち2次元の物体を記述する。この曲面には固有の測地線系があり、これは座標系に対して本質的に不変である。ラグランジュ方程式を用いてこの系を調べる。次の関数Fを導入する：

(9)

対応するラグランジュ方程式は：

(10)

(11)

式(11)より：

(12)

hは正、負、またはゼロ。さらに、(3)の両辺をr^2で割ると、標準的に得られる：

(13)

から、座標系における平面測地線を記述する微分方程式が導かれる：

(14)

式(12)の| h | ≤ rという条件は、測地線の接線ベクトルと径方向ベクトルの間の角度の余弦の絶対値が1以下であることを意味する。

次に、追加の埋め込み座標zをR3に導入して曲面を描画する。円筒座標系を採用する。

曲面はz軸に対して軸対称である。

測地線（θ = 定数）はこの曲面の子午線であり、以下を満たす：

(15)

これにより、R3に埋め込まれた曲面の子午線曲線の方程式が即座に得られる。これは放物線：

(16)

となる。

図1は、R3に埋め込まれたこの曲面の3次元視覚化であり、測地線と極座標系でのその投影を示す。

この曲面は単純連結ではない。等長群O2の軌道の中には、最小周長の円（喉部円：p = 2 Rs）が存在する。

図1：R3に埋め込まれた曲面とその座標系での表現

図2では、この表現系における複数の測地線を示す。

図2：いくつかの測地線の表現 図3：喉部円を通過する特別な測地線

注目すべきは、この平面における測地線の表現が等長的でない点である。この平面で長さを測定しても、曲面上での長さとは一致しない。

dSが実数であることを要求すると、これは「局所トポロジー」と呼ぶべきものを決定することがわかる。このような幾何学的構造を「トーラス橋」と呼ぶ。また、この曲面は「局所トーラストポロジー」を持つとも言える。1つの折り目を持ち、これは2つの有界な半折り目が喉部円（周長2Rs）に沿って境界を共有することで形成される。これらの円は測地線ではない（喉部円という特殊な測地線以外）。各半折り目において、「トーラス橋」からの距離が無限大に近づくと、計量はユークリッド計量（2）に近づく。図2（[r, θ]表現）では、喉部円を通過する測地線の上半分が実線で、もう一方の半折り目に対応する部分が点線で描かれている。半折り目はθ ∈ [0, π]に相当し、他方はθ ∈ [π, 2π]に相当する。喉部円はθ = 0に対応する。要約 次のページ

gというメトリックは、選ばれた座標系に関係なく、2次元の表面、つまり2次元の物体を記述する。この表面には、座標系に対して本質的に不変な測地線系がある。ラグランジュ方程式を用いて、この測地線系を座標系で研究する。以下の関数Fを導入する：

(9)

対応するラグランジュ方程式は：

(10)

(11)

式(11)により：

(12)

hは正、負、またはゼロである。さらに、式(3)で両辺をで割ると、通常の形で得られる：

(13)

これにより、この座標系における平面測地線を記述する微分方程式が導かれる：

(14)

式(12)に従うと、|h| ≤ rという条件は、測地線の接線と半径ベクトルとの間の角度のコサインの絶対値が1以下であることを意味する。

ここで、この表面をR3に埋め込み、追加の埋め込み座標zを導入する。私たちは円筒座標を選ぶ：

この表面はz軸に関して軸対称である。

( = 定数)の測地線は、この表面の経線であり、次のように与えられる：

(15)

これにより、この表面がR3に埋め込まれたときの経線曲線の式が即座に得られる。これは放物線である：

(16)

図1は、この表面がR3に埋め込まれた3次元のビューを示し、その測地線および極座標を持つ平面への投影を伴う。

この表面は単純連結ではない。等長群O2の軌道の中には、最小の周長を持つ円、つまり喉部円（p = 2 Rs）が含まれる。

図1：R3に埋め込まれた表面

およびその座標系での表現。

図2には、この表現システムにおけるいくつかの測地線が示されている。

図2：いくつかの測地線の表現。 図3：喉部円を通過する特別な測地線。

この平面における測地線の表現は等長的ではないことに注意。この平面上で長さを測定しても、表面で測定された長さとは一致しない。

dSの長さを実数と仮定すると、これは私たちが「局所トポロジー」と呼ぶものを決定する。このような幾何構造を「トロイドブリッジ」と呼ぶ。また、この表面は「局所トロイドトポロジー」を持つとも言える。この表面には1つの折り目があり、これは2つの有界な半折り目の集合と見なすことができ、これらは喉部円の円周に沿って接合されている。この円周の長さは2 Rsである。これらの円は測地線ではない（ただし、唯一の閉じた測地線である喉部円を除く）。各半折りにおいて、「トロイドブリッジ」からの距離が無限に大きくなると、メトリックはユークリッドメトリック（2）に近づく。図2は[r, ]の表現に対応しており、喉部円を通過する測地線の上部は連続線で、もう一方の半折りに対応する部分は点線で示されている。1つの半折りは（ ）に対応し、もう1つは（ ）に対応する。喉部円は = 0 に対応する。要約 次のページ