- [r, j]表現における測地線。
(6)を(14)に代入し、dr = thr drとすると、次のようになる。(17)
これは測地線の[r, j]表現を与える。rがゼロに近づくと、dj/drは有限値に近づくため、傾き角の接線：(18)
は原点でゼロに近づく。この表現において、シュワルツシルトの首輪の円の像は、円錐点となる。** ** **
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図4：図3に示された測地線、(r, j)座標系において。首輪の円の交差は点Oに対応する。
これは測地線の等長表現である。注意すべきは、表面を[z, r, j]系で表現することも可能であるが、これはもはや等長表現ではない。この場合、関連する子午線が得られる。(19)
rがゼロに近づくと、z(r)は線形となる。rが無限大に近づくと、関数は放物線に近づく。
図5：表面の子午線、表面の非等長表現[r, j]において。 ****
この表現において、シュワルツシルトの首輪の円の像は、円錐点となる。** **
- 球対称な3次元超曲面への拡張。
これは3次元超曲面に拡張可能であり、線素によって記述される。(20)
この計量は3次元超曲面を示し、ここでは[r, q, j]座標系で表される。変数rは「半径方向距離」とは異なり、「球座標」に対応する。この新しい線素においても、類似の病理現象が再現されるが、同じ座標変換(6)を導入することでこれを解消できる。
[r, q, j] ® [r, q, j]
この線素は次のように変化する。(21)
その符号は(+, +, +)となり、その行列式は(22)
でゼロにならなくなる。
この超曲面の測地線は平面に存在する。q = p/2はその一つである。その[r, j]表現では図2のものと一致する。等長群はO3であり、対応する軌道は球面である。その中には最小面積を持つもの（このような3次元「トロイドブリッジ」の首輪球面）が含まれる。球面軌道の大きな円は測地線ではないが、首輪球面に位置する特別な場合（周長が2pRs）を除いてはそうである。この特別な球面の測地線は唯一閉じたものである。このような特別な幾何を「超トロイド幾何」と呼ぶことができる。この3次元表面は単純接続ではない。単一の3次元折り畳みを持ち、これは2つの境界付き3次元半折り畳みの集合として考えられ、その球面境界（首輪球面）に沿って接合されている。この「超トロイドブリッジ」から遠く離れた場所では、計量はユークリッド計量に近づき、ここでは球座標で記述される。(23)
ds² = dr² + r² ( dq² + sin²q dj² )
- シュワルツシルト幾何。
古典的には、その等長群はSO3 × Rであり、Rは1次元の並進を示す。この場合、この計量は時間に依存せず、球対称であると考えられ、Rは時間並進に対応するとされる。
[x°, r, q, j]座標系で表され、x°は時間のマーカーであるとすると、線素は(24)
となる。
古典的にはx° = ctと置き、これは「外部観測者」の宇宙時間tを定義するとされる。r >> Rsのとき、(21)はミンコフスキー計量に近づく。古典的にはrは半径座標とみなされる。(21)はgrrの特異性と、r = Rsで符号の変化を示す。
再度、座標変換(6)を用いてこの計量を正則化し、[t, r, q, j]系に移行する。すると線素は次のように変化する。(25)
等長群O3の軌道は球面である。その中には、首輪球面（シュワルツシルト球面）が最小面積を持つ。この超曲面は単純接続ではない。これは1つの時空折り畳みを形成し、これは2つの4次元時空半折り畳み（双子折り畳み）の集合として考えられ、1つはr > 0、もう1つはr < 0に対応し、首輪球面はr = 0に対応する。このq = p/2平面上の測地線を計算することができる。「球座標」に従って：
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図6：球座標。
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要素はdr² = r² ( dq² + sin²q dj² )となる。
j = 定数の円は球面の測地線であるが、明らかに表面のすべての測地線を表すわけではない。2つの反対点（極）を通るもののみである。
q = 定数の円は測地線ではないが、q = p/2（赤道）の円を除いてはそうである。
[r ≥ Rs, j]座標系において、これらの（非ゼロ長さの）測地線は：(26)
で対応する。定数の集合[l, h]の選択により測地線が決まる。その中には首輪球面r = Rsを交差しない双曲線型の測地線が含まれる。図7を参照。
図7：シュワルツシルト幾何。
[r, j]表現の双曲線型平面測地線、首輪球面r = Rsを交差しない。
また準楕円型の測地線も見られる。図8を参照。
図8：シュワルツシルト幾何。
[r, j]表現の準楕円型測地線。
では、首輪球面r = Rsを交差する測地線について考える。[r, j]表現において、測地線の接線と半径ベクトルの間の角度をaとする。(27)
最初のラグランジュ方程式は：(28)
r ≥ Rsの値ではパラメータlは厳密に正である。別のラグランジュ方程式は：(29)
であり、時間固有sに対して角度jの単調な変化を示す。この(q = p/2)平面では、回転はhの符号に依存する。
この新しいシュワルツシルト幾何の解釈（非単純接続超曲面として考えられる）によれば、図9に示すように[r, j]表現で測地線を表現できる。
図9a：[r, j]表現の首輪球面（シュワルツシルト球面）を交差する測地線、h ≥ Rsに対応。
測地線の一部は点線で示されている。これは2つ目の3次元半折り畳みに属すると考えられ、首輪球面（シュワルツシルト球面）に沿って最初の半折り畳みと接合されている。これは破綻を示唆するが、これは[r, j]表現システムの特徴であり、人間の幾何的直感（限られたもの）に馴染みやすい。3次元表現空間では図9bを得る。粒子はシュワルツシルト球面に「跳ね返る」ように見える。
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図9b：3次元ユークリッド表現空間において、粒子はシュワルツシルト球面に跳ね返るように見える。
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この観点から、「シュワルツシルト球面の内部には何もない」と考えられる。なぜなら、この「内部」では単に「超曲面の外側」にいるからである。首輪球面、シュワルツシルト球面はr = 0に対応する。1つ目の半折り畳みはr > 0、2つ目の半折り畳みはr < 0に対応する。
[r, j]表現において、測地線の見た目はかなり異なる。測地線と半径ベクトルの間の角度bの接線を計算する。(30)
rが±0に近づくと、thr ≈ rとなるため、(31)
となる。[r, j]表現において、1つの半折り畳みからもう1つの半折り畳みへと移動する測地線は半径ベクトルに接する。原点では角度の不連続性はもうない。これは首輪の円（r = 0）の像である。これらの測地線の完全な説明を得るためには、[t = x°/c, r, q, j]座標系で表された線素（24）に戻り、ラグランジュ方程式系を用いる必要がある。(32)
これらの式の中で、(33)
を得る。hの値が与えられると、時間固有sに対してjの進化は単調である。
図10：[r, j]表現の測地線、1つの半折り畳み（r > 0）からもう1つの半折り畳み（r < 0）へと移動する。 **
以前と同様に、2つ目の3次元半折り畳みに属する測地線の一部は点線で示されている。
4次元超曲面の埋め込みは、論文の冒頭で2次元表面に対して行ったように、提供できない。また、ここでは4次元測地線を扱っている。[r, q, j]と[r, q, j]空間は、物事を少し明確にするために仮定された表現空間に過ぎない。実際の測地線は4次元空間に記述されている。いずれにしても、[r, q, j]表現は3次元「超トロイドブリッジ」を示し、[r, q, j]表現は3次元「超コーン」を示す。この2番目の（3次元）表現において、2次元表面の測地線は（r = 0）点を通って1つの半折り畳みからもう1つの半折り畳みへと移動する。これは2次元コーンに似ている。図11を参照。
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図11：コーンの測地線。右：円錐点を持つ表面。
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