- 時間のマーカーの選択。
[ t , r , q , j ]座標において、線要素(25)に対応する計量テンソルの行列式は：(34)
であり、rがゼロになると消えます。しかし、1924年にエディントン[10]は、計量テンソルのゼロ性が座標に依存することを示しました。まず、初期形(35)に戻ります。
座標系の選択は純粋に任意であることを強調してください。なぜなら、テンソル方程式(36)
S = 0
の解である計量テンソルは、座標変換に対して基本的に不変です。私たちは、粒子が測地線に従うことを決めます。任意に選ばれた座標は、この幾何学的解に物理的意味を与えます。x° = ctと選ぶこともできますが、別の参照系を選ぶこともできます。これは私たちの選択にかかっています。時間マーカーx°、またはt、xに対して、唯一の条件は、計量テンソルが漸近的にユークリッド的であること、つまり(37)
または(38)
のように、直交座標系で表されるものです。リーマン計量がユークリッド的であるとは、線要素の二次形式の係数が定数となるような座標系が存在することを意味します。符号の集合がシグネチャを構成します。もしシグネチャが( + - - - )であれば、これはミンコフスキーの計量テンソルです。(39)
が基本的な距離として識別されるため、「遠くの距離」において計量テンソルが漸近的にユークリッド的であることを要求するのは理にかなっています。このような距離の定義（rまたはr、上記のように）は任意です。
「宇宙時間」または「空間マーカー」の定義は完全に自由な選択です。逆に、固有時間s、またはより正確には、多様体上の2つの与えられた点間の時間間隔Dsは、座標に依存しない基本的なものです。さらに、粒子は与えられた測地線に沿って両方向に移動できると仮定されています。
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図12：与えられた測地線に沿った粒子の経路。
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テスト粒子が測地線に沿って移動することは現象です。多様体の別の測地線は「静止している外部観測者」に対応すると仮定されています。しかし、静止状態は座標の選択（x°, x1, x2, x3）に依存しており、これは完全に任意です。
この「外部観測者」は、計量テンソルがユークリッド的または準ユークリッド的（つまり(37)の形）である多様体の領域に存在すると仮定されています。すると、静止条件は(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
を意味します。このような静止観測者にとって、任意に選ばれた「宇宙時間」の間隔と固有時間の間隔は一致します：(41)
Ds = Dx°
...宇宙時間の選択が純粋に任意であるため、テスト粒子の時間における進化はこの選択に依存します。与えられた測地線上の2点AとBを考えてみましょう。これらは時空のイベントです。図13では、点線は一定の宇宙時間x°に対応しています。
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図13：「静止している外部観測者」、「テスト粒子が測地線に沿って進化するのを観測する」。宇宙時間x°
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では、別の宇宙時間xの選択を考えてみましょう。図14を参照してください。
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図14：「静止している外部観測者」、「テスト粒子が測地線に沿って進化するのを観測する」。宇宙時間x **
点線が光子の軌跡を表していないことに注意してください。光子は特別な、ゼロ測地線に沿って移動し、これは座標変換に対して不変です。
Ds(O) = Dx° = Dxは依然として成り立ちますが、Ds'(TP)とDs"(TP)は、(A',B')と(A",B")が異なるため、非常に異なることがあります。根本的には、これらは選ばれた時間座標、または「時間マーカー」に依存します。
- エディントンの時間座標変換とその拡張。
エディントンが1924年に導入したこの座標変換は、この点を示しています：(42)
線要素は次のように変化します：(43)
gxx項がr = Rsの球面上でゼロになるため、これは無限の赤方偏移表面になります（シュワルツシルトの古典的な線要素と同様）。行列は次のようになります：(44)
その行列式は：(45)
- r 4 sin2 q
であり、rの値に関係なくゼロになりません。後で説明する理由から、この座標変換を次のように拡張します：(46)
座標系(x, r, q, j)で表すと、線要素は次のように変化します：(47)
その行列式は同じ形(44)を持ちます。エディントンの座標変換はd = -1に対応することに注意してください。私たちはラグランジュ方程式を用いて測地線を研究し、次の関数に基づいています：(48)
ここで、
さらに、線要素の式から、通常の粒子（ds ≠ 0）に対しては次のようになります：(49)
ラグランジュ方程式から次の式が得られます：(50)
q = p/2の平面測地線を考えると、次のようになります：(51)
測地線に沿って固有時間sに対してjの進化は単調です。別のラグランジュ方程式から次の式が得られます：(52)
つまり：(53)
(49)と組み合わせると、驚くことにdが消えます：(54)
dr = 0（速度ゼロ）でrが無限に近づく場合、これはl = 1に対応します。rが無限に近づくとき、(53)から：(55)
l ≥ 1のとき、rが無限に近づくと、次のようになります：(56)
ここで、
すると(57)
[r, j]座標系では、非ゼロ測地線（ds ≠ 0）に対して、古典的な微分表現が得られます：(58)
これは図7、8、9のパターンを提供します。今では、新しい宇宙時間xを次のように定義できます：(59)
x = ct
...線要素(43)は漸近的にユークリッド的です。遠くでは、静止観測者の固有時間Dsは時間間隔Dtと一致します。
- 放射状経路の時間間隔。
質量を持つ粒子が測地線に沿って移動する時間間隔Dt = Dx/cは、微分方程式から計算できます：(60)
「放射状測地線」（h = 0）では、(61)
シュワルツシルトの球面近くでは、次のようになります：(62)
l = 1は無限に近づくときに速度がゼロになるテスト粒子に対応します。
この特別なケースを考えます：(63)
(54)より、
n = -1は(dr < 0)の経路に対応します。
n = +1は(dr > 0)の経路に対応します。
...エディントンの特別な座標変換は、r ≥ Rsではd = +1に対応します。新しい宇宙時間xに沿ってテスト粒子の放射状経路Dtを計算すると、これは移動方向とdの符号、つまりdnの積に依存することがわかります。正の場合は、放射状測地線（r ≥ Rs）に沿ったテスト粒子の経路時間は有限です。負の場合は、この経路時間は無限になります。
...第一の結果として、球対称ブラックホールモデルに適用すると、エディントンの座標変換により落下時間Dtが有限になります。r = Rsのとき、粒子の速度は：(64)
テスト粒子がシュワルツシルトの球面に落下すると、その速度はcになります。
- 光の速度。
光子は次のゼロ測地線に沿って移動します：(65)
速度を次のように考えます：(66)
(65)より、次のようになります：(67)
rが無限に近づくと、vjは±cに近づきます。
dr < 0のとき、n < 1です。すると、r = Rsで(dr < 0)の経路では、(68)
テスト粒子が放射状経路に沿ってシュワルツシルトの球面に落下すると、その速度は光の速度になります。要約すると：(69)
(70)
光の速度は、(dr > 0)または(dr < 0)の経路によって異なります。
- フレームドレイン効果。
クーパーの計量テンソルを考慮します：(71)
ここで、rは上記で定義された空間座標とは異なるものです。単に参照[1]の式7.110を再現しています。円周方向の運動（q = p/2、r = 定数）における光子の速度（ds = 0）を計算します。次の2つの異なる値を得ます：(72)
これは回転方向のドレインを示し、クーパー計量テンソルの性質です。参照[1]、7.7、「クーパー解と回転」から次の記述を読みます：
クーパー解の回転性から生じる非常に興味深い物理的効果があります。等速測地線を移動する物体はパラメータaに比例する力を受け、コリオリ力に似ています。漠然と表現すると、回転する源がその周囲の空間を「引きずる」ように考えることができます。マッハ的な意味では、源は無限遠のローレンツ境界条件に「対峙」して局所的な慣性枠を確立します。
エディントン座標で再表現すると、ブラックホールは「フレームの放射状ドレイン」を誘発します。
- ブラックホールと白い泉。
第4節で、シュワルツシルトの幾何学の新しい解釈を提案しました。図9に示すシュワルツシルトの球は、二つの「半時空の折り畳み」を結ぶ「首輪の球」のように振る舞います。私たちは、次の二つのシュワルツシルトの幾何学を組み合わせた構造を想像できます：(73)
(74)
これらは(43)から導かれたもので、最初の式(73)はd = -1に対応し、2番目の式(74)はd = +1に対応します。接続には問題がありません。なぜなら、dは測地線[r, j]の表現計算には現れないからです。式(58)を参照してください。これにより、「ブラックホール-白い泉」のペアが得られ、中心の特異点はありません。物質はブラックホールに入るが、出てこられません。一方、物質は白い泉から出ていくが、中に入ることはできません。移動時間は一方では有限で、他方では無限です。新しい宇宙時間xで計算された有限な移動時間は、固有時間sで計算されたものと似ています。放射状経路では：(75)
この時間は非常に短いです。この記事が示したように、ブラックホールモデルは座標系、特に宇宙時間の選択に依存しています。第6節で述べたように、時間マーカーの選択は純粋に任意です。古典的な選択は準定常的なシステムをもたらし、ブラックホールに投入された物質の落下は、外部観測者から見ると「時間に凍結」しています。しかし、この記事はエディントンのアイデアから導かれた別の時間マーカーの選択が「解凍」するプロセスを示しています。したがって、観測者の観点から、ブラックホールやブラックホール-白い泉のペアは、永久的な物体として存在することはできません。なぜなら、1ミリ秒で数十個の太陽質量を飲み込むことができるからです。したがって、未解決の質問があります：
- 中性子星が安定限界を超えたときにはどうなるのでしょうか？
- 表現空間。
代替モデルのプロジェクトを提示しようとする前に、「表現空間」と呼ぶことができるものをいくつか述べます。記事の冒頭で、線要素によって定義された2次元の表面を研究しました。この表面をR3に埋め込むことが可能であり、この幾何的対象の等長表現を提供しました。途中で、[r, j]の表現について言及しました。
4次元の超表面の明確な表現は不可能です。なぜなら、それを描画したり、図を提示したりできないからです。しかし、超表面は、さまざまな座標系の選択に応じて多くの表現空間に表すことができます。なぜなら、この対象は座標変換に対して基本的に不変だからです。例えば、変換(6)を導入できます。すると、線要素は：(76)
r > 0の場合
および：(77)
r < 0の場合になります。
放射状測地線（例えばq = p/2、dj = 0）は、この特別な表現においてシステムの幾何的中心Oに収束します。この点は「超円錐点」と似ています。3次元空間における点の対称性はP対称性です。
[t, r, q, j]の表現では、シュワルツシルトの線要素はP対称性を持っています。また、時間に依存しない（時間の並進対称性、つまり定常状態に相当）であり、T対称性（時間反転に対して不変）を持ち、変換：
t → -t
エドディントン座標を用いて再表現すると、ブラックホールは場の源として考えられ、放射状のフレーム・ドレーリングを引き起こす。
- ブラックホールとホワイト・ファウンテン。
第4節において、シュワルツシルト幾何の新しい解釈を提案した。図9に示すシュワルツシルトの球は、二つの「半時空の折り畳み」を結ぶ「首の球」として振る舞う。我々は、以下の二つのシュワルツシルト幾何を組み合わせた類似の構造を想像できる。(73)
(74)
これらの二つは(43)から導かれる。最初の式(73)はd = -1に対応し、二つ目の式(74)はd = +1に対応する。[r, j]表現の計算においてdは現れないため、結合には問題がない。式(58)を参照。我々は「ブラックホール-ホワイト・ファウンテン」のペアを得るが、「中心特異点」は存在しない。物質はブラックホールに入るが、出ていくことはできない。一方で、物質はホワイト・ファウンテンから逃げ出すことができるが、中に進入することはできない。移動時間は一方では有限で、他方では無限である。新しい宇宙的時間xで計算した有限の移動時間は、固有時間sで計算したものと似ている。放射的な経路では、(75)
この時間は非常に短い。この論文で示したように、ブラックホールモデルは座標の特別な選択、特に宇宙的時間の選択に依存している。第6節で指摘したように、時間のマーカーの選択は完全に任意である。古典的な選択は準定常状態のシステムをもたらし、ブラックホールに注ぎ込まれた物質の落下は、外部の観測者から見ると「時間に凍りついている」。しかし、本論文はエドディントンのアイデアから導かれた別の時間マーカーの選択によって、このプロセスが「解凍される」ことを示している。この観点から見ると、ブラックホールやブラックホール-ホワイト・ファウンテンのペアは、永続的な物体として存在することはできない。なぜなら、1ミリ秒で数十の太陽質量を飲み込むことができるからである。したがって、未解決の問題が残っている：
- 中性子星が安定限界を超えたときには何が起こるのか？
- 表現空間。
モデルの代替案を提示しようとする前に、「表現空間」と呼ぶことができるものを少し説明する。論文のはじめに、その線素によって定義された2次元の表面を研究した。この表面をR3に埋め込むことが可能であり、これによりこの幾何学的対象の等長表現が得られた。その際、[r, j]表現についても言及した。
4次元の超曲面の明確な表現は不可能である。なぜなら、我々はそれを描くことも図を示すこともできないからである。しかし、この超曲面は、座標の選択に応じて多くの表現空間に表すことができる。なぜなら、対象は基本的には座標変換に対して不変であるからである。例えば、変換(6)を導入することができる。すると、線素は次のようになる。(76)
r > 0の場合
および
(77)
r < 0の場合。
「放射的」測地線（例えばq = π/2、dj = 0）は、この特別な表現において、システムの幾何学的中心Oに収束する。この点は「超円錐点」と似ている。3次元空間における点に関する対称性はP対称性である。
この[t, r, q, j]座標系において、シュワルツシルトの線素はP対称性を持つ。また、時間に依存しない（時間の並進対称性、つまり定常状態に対応）およびT対称性を持つ。つまり、以下のように不変である：
t → -t