13）等距群。
a を3次元回転行列と呼ぶ。次のように書く：（78）
SO3 × Rの群の要素は行列によって表される：（79）
これは2つの行列の積である。最初の行列：（80）
はSO3に属する。
そして2番目の行列：（81）
は時間並進の群Rに属する。PとTの対称性を導入する。これにより、4つの成分を持つ群が得られ、その要素は：（82）
これは2つの行列の積である：（83）
および：
（84）
この2番目の部分群をE1（1次元ユークリッド群）と呼ぶ。表現[t, r, q, j]において、等距群はO3 × E1である。座標系[t, r, q, j]における線素の式に戻る：（85）
…古典的には、関連する等距群はSO3 × Rと考えられているが、これは最大ではない。実際にはO3 × E1であり、線素は空間的および時間的反転に対して不変である。
次に、「エディントン拡張形」（86）で表された線素を考慮する：
これを次のように書く：（87）
空間直交座標[x1, x2, x3]を導入する：（88）
（89）
（90）
この場合、線素は座標[x, x1, x2, x3]で表すことができる。（91）
次に、この特別な座標系で表された計量の等距群を求めたい。まずP対称性がある。線素は次のように不変である：（92）
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
また、次のように変化しても不変である：（93）
x → -x
d → -d
時間並進：x = x + εも不変である。これは次の4つの成分を持つ群に対応する：
その要素は2つの行列の積である。最初の行列：（94）
はO3に対応し、2番目の行列は次の要素を持つ第二の部分群である：（95）
この第二の部分群を「TF」と呼ぶ。
したがって、（86）の等距群は：
O3 × TF
次に、座標系[t = x/c, r, q, j]で表されたシュワルツシルト計量を考慮する。式（76）と（77）を次のように統合できる：（96）
d = -1が空間時間r > 0の半分を扱い、d = +1が空間時間r < 0の半分を扱うことを思い出そう。これは「ブラックホール」が私たちの折り畳みにあり、「ホワイトホール」が「双子の折り畳み」にあると仮定した場合である。
もし状況が逆転した場合、つまり「ブラックホール」が双子の折り畳みにあり、「ホワイトホール」が私たちの折り畳みにある場合、次のように得られる：
d = +1が空間時間r > 0の半分を扱い、
d = -1が空間時間r < 0の半分を扱う。
最初のケース（「ブラックホール」が私たちの宇宙にあり、「ホワイトホール」が双子の折り畳みにある）を考慮する。この場合、計量は次のようになる：（97）
次のように変換する：
r → -r
t → -t
d → -d
すると、第二の計量が得られる：（98）
r = 0で行列式がゼロになることは、空間（エナンチオモルフィー）と時間座標の局所的な反転を示す。実際、ガウス座標を定義するために行列式がゼロでないことが必要である。参照[1] 2.4
行列式がゼロでない場合、選ばれた時系列マーカーの定数値に対応する一連の超曲面（x°またはx、またはt = 定数）を定義することが可能になる。これは、x°またはxまたはtの測地線に直交する「世界線（安定点）」を表す。
図15：参考文献[1]の図2.1の後
（97）と（98）を以前のように直交座標で表すことができ、（92）と（93）を再確認できる。したがって、（96）の等距群は次のようになる：（99）
2つの半空間時間の折り畳みはPT対称である。
アンドレイ・サハロフが1967年に（参考文献[26]から[30]）最初に提案したように、宇宙は私たちの宇宙と双子の宇宙から構成され、時間は逆である可能性がある。後に彼は、双子の折り畳みがエナンチオモルフィックである可能性を提案した。
14）宇宙時間tの逆転の物理的意味。
この時間の逆転は不思議である。これは、測地線に沿って折り畳みから双子の折り畳みへと進むときに、時間マーカーtが逆転することを意味する。この「乗客」がこの超トーラス的な橋を通過するとき、彼の時計は逆転するのだろうか？
前記のように、「ブラックホール-ホワイトホール」のペアが存在し、「ブラックホール」が双子の折り畳みにあり、「ホワイトホール」が他の折り畳みにある可能性がある。これは、この「テスト乗客」が最初の超トーラス的な橋に潜り込み、2番目の橋から出てくることを意味する。彼は元の空間的出発点に戻り、「父を殺す」ことができるだろうか？
**
図16：（図式的な）パラドキシャルな旅。
**
答えは「いいえ」である。なぜなら、彼の固有時間の基本的増分dsの符号は、彼がたどる測地線において変化しないからである。では、tの物理的意味とは何か？ない。単なる座標である。*
固有時間だけが物理的な意味を持つ。*
では、この時間座標の逆転の結果は何か？
群の空間運動量上での共随伴作用を研究する必要がある（参考文献[11]と[12]）。群の要素は（100）
これは2つの成分（m = ±1）を持つ群で、次元は4である。
逆行列は：（101）
リー代数の要素を計算する。次のように書く：（102）
da = w d e = e
次に、dg' = g⁻¹ × dg × g（103）
（104）
共随伴作用を計算する（参考文献[11]を参照）ために、スカラーを導入する：（105）
その不変性は、次のように保証される：（106）
つまり：（107）
識別により、群の4成分運動量に対する共随伴作用が得られる：（108）
（l, m）
運動量の成分数が群の次元に等しいことを思い出そう。（109）
（110）
m' = m m
mを質量（またはエネルギーE = mc²）と識別できる。（110）は、粒子が「喉の球面」を通過するときに質量が逆転すること（m' = -m）を意味する。これは驚くべきことではなく、この「時間座標の逆転」に非常に物理的な意味を与える。…J.M.ソリアー[12]に従って、群の(m = +1)成分を「正時性」と呼び、(m = -1)成分を「反時性」と呼ぶことができる。反時性成分の要素は質量を逆転させる。時間対称性はm対称性と等価であり、J.M.ソリアー（[12] p.197、時間と空間の反転の章）が示した通りである。
15）以降の結合された場の式。
私たちは、右辺がゼロの単一の場の式から出発した：（111）
S = 0
これは、完全な（アインシュタインの）式：（112）
S = c T
が真空中（T = 0）に適用されたものと考えられていた。完全な幾何学は、2つの「共役計量」gとgによって記述可能であり、それらから2つのアインシュタインの幾何的テンソルSとS**を構成できると仮定する。参考文献[13]から[15]を参照。
もし2つの半空間時間が空であるなら、（g, g*)は次の系の解となる：（113）
S = 0
（114）
S* = 0
（系（113）と（114）の定常的な正確な解は参考文献[16]に記載されている）。現在、最初の空間時間の折り畳みを正の質量（正のエネルギーと圧力）で満たし、2番目の折り畳みを負の質量（負のエネルギー）で満たし、場が両方のテンソル場に依存すると仮定する。次の形式で：
（115）
S = c（T - T*）
（116）
S* = c（T* - T）
これは共役幾何を表す：（117）
S* = - S
これはg* = - gを意味するわけではないことに注意。
TとTは質量密度ρとρ、圧力pとp*によって表すことができる。
ここでは、すべてのρ、ρ*、p、p*が正であると仮定し、「同じ種類の物質」であることを示す。マイナス記号は「双子物質」が負の質量（および負のエネルギーと圧力）として振る舞うことを示している。この場の式のシステムは以前の論文（参考文献[13]から[15]）で提示され、研究されている。
16）プロジェクト：超空間転送モデル。
参照された論文では、定常的な結合解[16]と非定常的な均一解([14]、[15]、[17])が提示されている。私たちは、システム（115）と（116）の非定常的で非均一な解を構築したい。例えば、物質が私たちの空間時間の折り畳みFに存在し、2番目の折り畳みF*が空である初期条件を考慮する。対応するシステムは次のようになる：（118）
S = c T（119）
S* = - c T
…このようなシステムの定常的な解は以前の論文[16]で提示されている。このような条件では、物質は折り畳みFにのみ存在する。これは、私たちの折り畳みに中性子星が存在し、隣接する2番目の（双子）折り畳みF*の部分が空である場合の共役幾何を記述できるかもしれない。初期には、2つの折り畳みは接続されていない。中性子星の外側では、解は次のようになる：（120）
S = 0
（121）
S* = 0
…その後、中性子星に物質が注ぎ込まれ、臨界点に達する。専門家は、臨界点の最初の兆候として、中性子星（仮定的に球対称）の中心で圧力が無限大に急上昇することを知っている（トゥルマン・オッペンハイマー・ボルコフ（TOV）モデル（参照[1]、式144.22））。私たちは、この上昇が物理定数（光速度、重力定数、質量）の局所的な値に影響を与えると考えている。定数が変化するモデルは、著者によって最初に導入された（[18]、[19]、[20]、および[14]）。その後、他の著者によってこの新しい概念が若干異なる方法で発展した[17]。
…私たちは、これが超トーラス的なブリッジの生成を引き起こすと考えている。その後、物質はこの通過経路を通って、折り畳みFからF*へと（高速、相対論的速さで）流れる。上記のように、この現象は質量を逆転させる（14節、式（110）を参照）、したがって非定常的な解は次のシステムに依存する：（122）
S = c（T - T*）
（123）
S* = c（T* - T）
「プロセスの中間」では、T = T*である。この場合、解は次のようになる：（124）
S = 0
（125）
S* = 0
…私たちは、これがシュワルツシルト幾何の真の意味であると考えている。これは非定常的なプロセスに属するフレームを表すだろう。
…この非定常的な解は、プロジェクトの解に過ぎない。まだ構築されていない。その結果がどうなるか、または完全なプロセスがどのように見えるかは分からない。