- 埋め込みと測地線に関する追加情報。
すべての曲面がR³に埋め込むことができるわけではない。例えば、次の計量（134）
を考える。ここでRs > 0かつr > 0。
はRを2 
で割ったものに定義される。
この特徴的な座標系[r, ]で表すと、この線素はほとんど至る所で正則である（r = 0の点を除く）。それ以外では問題は生じない。その等長群はO₂である。群の軌道はr = 定数の円である。この曲面がR³に埋め込まれる可能性があると想像できる。その場合、z軸周りの軸対称として現れるだろう。
( = 定数 ) の測地線は存在する。これらは曲面の「経線」と考えられるかもしれない。そして、このような経線のz( )の式は、論文の冒頭で行ったように構成できる。 ( = 定数 ) の測地線上では：（135）
この曲面がR³に埋め込めるならば、これらの測地線上で：（136）
これにより：（137）
結論：この曲面はR³に埋め込むことはできない。
この計量（135）は反発的な作用を想起させる。
すべての曲面が、その計量によって定義されるわけではない。いずれにせよ、これらの曲面は「存在する」のであり、手で触れることはできなくてもよい。次のような3次元超曲面を考える：（138）
ここでRs > 0かつr > 0。
はRを2 で割ったものに定義される。
このような超曲面を埋め込むことはできない。しかし、存在し、「平面測地線」( 
= /2 ) を持つ。
これらの2次元および3次元超曲面の測地線系を計算することができる。平面(r, )に描くことができる。それらは実数である。（139）
その形状は、線素（134）で定義された前記2つの曲面と同一である。これらの2つの幾何学的対象は単連結である。
図25：線素（134）および（138）に対応する測地線
（反発的な作用に似ていることに注目）
何か不思議な点がある。線素が与えられれば、測地線系を計算できる。たとえば、シュワルツシルト幾何学の古典的表現に対応するものは：（140）
この微分方程式に対応するr( )の曲線を計算できる。r < Rsの値に対しても実数である！
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図26：シュワルツシルト線素に対応する完全な測地線。
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物理学者がこの奇妙な結果を見て混乱した理由がわかる。しかし、数学的な事実がある：線素は実測地線系を生み出すことができるが、その一部は虚数長さdsに対応する。
物理学ではどうなるか？ dsを固有時間の増分と同一視する。以前に、虚数dsは物理的経路に対応しないと考え、超曲面の「局所トポロジー」を再検討せざるを得なかった。その結果、「局所球状トポロジー」から「局所超トーラス状トポロジー」に変更した。
以前の研究では、「局所球状トポロジー」の仮定を維持していたため、シュワルツシルト球内部の物理的解釈が問題となった。参考文献[1]の6.8節で次のように読める：
（シュワルツシルト球内部では）rを時間の目盛り、tを径方向の目盛りとして再解釈することが自然に思える (...) ... これは、その世界線に沿ってds² < 0となることを意味する。
- クルスカルの解析的拡張。
古典的な座標系[x°, r, , ]では、光の径方向速度は：（141）
r → Rsに近づくにつれて0に近づく。クルスカルの議論は次の通り（参考文献[1]、6.8節）。
シュワルツシルト座標の不都合な特徴を以下のように排除できる。rとtについて新しい変数uとvへの変換を求め、線素が次の形になるようにする：（6.187）
...シュワルツシルト半径内部に適した変換に到達する：（6.204）
一方、この球の外部では：（6.201）
基本的な条件は、fがシュワルツシルト球r = Rs上で正則であることである。参考文献[1]より：
したがって、uはグローバルな径方向目盛りとして、vはグローバルな時間目盛りとして機能する。
また、（6.187）から、光的測地線（ds = 0）は「光の速度一定」を与える：（142）
（6.201）から、rが無限大に近づくときfは0に近づくことがわかる。したがってアドラー、シュフィアー、バジンは[1]で述べている：
しかし、これはシュワルツシルト座標が漸近距離での平坦空間の球座標に対応するのとは異なる。
クルスカル計量は、これらの領域においても特異点のないアインシュタイン方程式の解であり、シュワルツシルト解と同等であるが、境界（シュワルツシルト球）には特異点がない。これは多様体の解析的拡張である。
クルスカルはこの境界での問題に注目し、境界が特異点を持たなくなるようにした。特異点はfが無限大に近づく「幾何学的中心」に集中する。参考文献[1]を用いて、内向き光子の径方向経路についての記述を再掲する：
u, vの言語では軌道は単純である。しかしrとtの言語では、ある有限なr > Rsおよび有限なx°から始まり、x°が無限大に近づくにつれてr = Rsへ内向きに進み、x° = 無限大の線を越えてシュワルツシルト球内部に入る。その後、rは軌道に沿って減少し続けるが、x°は減少する。... 今回の取り扱いは、x°がシュワルツシルト球内部では合理的な時間目盛りではないことを明確にする。
「完璧なものはない」ということがわかる。彼の特異な座標選択により、クルスカルはシュワルツシルト球を通過することができ、幾何学的解の特異な特徴を「中心特異点」に閉じ込めることができた。しかし、無限遠では計量はローレンツ型ではなくなってしまう。
これは座標の選択が解の解釈をどのように変えるかを示している。我々の方法は「局所トポロジー」（超トーラス状ブリッジ）の変更を導入するが、すべての特異点を排除する。
- 埋め込みに戻る。
ウィーナー＝グラウスタインの定理によれば、次元n > 2の任意のn次元曲面は、最小次元が（143）
の空間に埋め込むことができる。
4次元超曲面の場合、これは10次元空間に対応する。シュワルツシルト幾何学の測地線は平面に存在することを知っている。 = p/2はその一つである。したがって、( = p/2)の測地線の部分集合に注目できる。これらの測地線は2つのパラメータlとhに依存する。l = 1の測地線は、無限遠で速度が0の粒子に対応することがわかっている。さらに、( = 定数)の測地線の部分集合を選ぶ。すると：（144）
追加の座標zを導入し、次のように書く：（145）
ds² = dr² + dz²
（146）
その解が次の微分方程式である：（147）
これらの測地線を3次元空間[z, r, ]に描くことができる。それらは軸対称曲面の経線である。
図27：シュワルツシルト測地線（ = 定数）の等長埋め込みが行われる曲面の経線。
3次元空間では、この曲面は図28（半分カット）のように見える。
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図28：埋め込み曲面。
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もし「径方向」測地線を描くと、図29が得られる。
図29：「径方向」測地線の表現。下段：[r, ]平面上への投影。
これは非常に「部分的な」埋め込みであり、径方向測地線の集合に限られている。図29は折り目を想起させ、対称性の反転（エンアントイモルフィー）を示唆している。実際に、3つの点が径方向測地線に沿って動く場合を考える。得られるのは
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図30-a：「径方向」経路に沿って喉部へ落下する3つの質点。
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そして：
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図30-b：喉部を越えた後。
三角形が反転している。
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平面投影[r, ]では、三角形の向きが反転している。今、4つのテスト粒子が径方向経路に沿ってシュワルツシルト球へ落下し、四面体を形成する場合を想像してみよう。図31を参照。
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図31：4つの粒子が、3次元ユークリッド空間内の「径方向」測地線に沿ってシュワルツシルト球へ落下する様子。
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図32：シュワルツシルト球で「跳ね返った後」、粒子は双子空間を移動する。四面体が反転する（エンアントイモルフィー）。
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以前の表現に戻ろう。法線ベクトルも反転している：
図33：特定の = 定数測地線が、(l = 1)測地線の集合における(r, , z)空間での表現。