宇宙論
疑問の余地のあるブラックホール。
Jean-Pierre Petit
マルセイユ天文台、フランス
Pierre Midy
CRI Orsay、フランス
連絡先：
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概要
シュヴァルツシルト幾何学の物理的解釈と見なされる、いわゆるブラックホール模型を出発点として、中性子星がその安定限界を超えたときの運命の問題を再考する。まず、新しい幾何学的道具であるハイパートーラス幾何学を、2次元および3次元の例を通して提示する（第2節）。与えられた座標系で表された線素に由来する計量に付随する病的性質が、「局所トポロジー」という用語で表現される、より適切な選択によって治癒されうることを示す。例えば、与えられた2つの例、すなわち等長群がO2およびO3である2次元曲面と3次元超曲面が、単連結でないことを示す。
この方法をシュヴァルツシルト幾何学に拡張する。単連結でない時空超曲面を考えることにより、特異な特徴が完全に除去されうることを示す。シュヴァルツシルト幾何学に異なる物理的意味を与える。すなわち、我々の宇宙と双子宇宙とを結ぶ橋である。
ブラックホール模型の要石である「時間の凍結」が、恣意的な特殊時間標識の選択の単純な帰結であることを示す。エディントンの仕事（1924年）に着想を得た別の標識を用いることで、完全に異なるシナリオを導出する。それは、動径方向の枠引きずり（Kerr計量の方位角方向の枠引きずりに類似する）を意味する。シュヴァルツシルト解が、2つの宇宙、2つの時空を結び、一方通行の橋として働く「空間の橋」として解釈されうることを示す。試験粒子の通過時間が有限かつ短いことを示す。これは直ちに古典的ブラックホール模型を疑問視させるものである。
シュヴァルツシルト計量の等長群を拡張することにより、2つの宇宙が鏡像異性（P対称）であり、反対の時間標識（t* = - t）を持つことを示す。群の道具、すなわち群の運動量空間への余随伴作用を用いて、球状の喉曲面、すなわちシュヴァルツシルト球を通したこの「時間反転」に物理的意味を与える。正の質量の粒子が空間の橋を通過するとき、重力場へのその寄与は反転する。すなわち m* = -m である（J.M.スーリオが1974年に示したように、時間標識の反転は質量とエネルギーの反転と等価である）。
不安定化した中性子星の運命の問題が依然として未解決の問題となるにつれ、代替模型の計画を提示する。すなわち、その物質の一部を空間の橋を通して超空間的に転送するものであり、この物質は相対論的速度で双子宇宙へと流れる。
ついでに、Kruskall模型のよく知られた欠陥のいくつか、特に無限遠において漸近的にローレンツ的でないという事実を想起する。
シュヴァルツシルト幾何学を10次元空間に埋め込まれた超曲面と見なすことを提案する。本研究を群論に基づく以前の研究と結びつけ、CPT対称模型を構築する。物質と反物質の双対性は両方の折り目で成り立つ。物質が双子宇宙へ転送されるとき、それはCPT対称性を受け、その質量（重力場への寄与）は反転する。しかしそれは依然として物質である。同様に、空間の橋を流れる反物質は反物質のままであり、反対の質量を持つ。なぜなら、スーリオが示したように、時間標識の反転は質量の反転を意味するからである。
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- ブラックホール模型。
中性子星は、2.5太陽質量に近い臨界質量を超えることはできない。より大きな質量では、その物質は重力による巨大な内部圧力にもはや耐えられない。すると重力崩壊が起こる。長い間、理論家たちはそのような天体の運命を記述しようと試みてきた。シュヴァルツシルト計量を、以下では
座標で表す。ここでRsはいわゆるシュヴァルツシルト半径である。
(1)
人々は、アインシュタイン方程式：
(2)
S = 0
の、第二辺がゼロのこの解が問題を解決しうると想像した。実際、tを「外部観測者の宇宙時間」として選ぶと、シュヴァルツシルト球 r = Rs から任意の遠方の点までの「動径測地線」に沿う試験粒子の自由落下時間 は無限であると求められる一方、固有時間で表されたこの自由落下時間 Ds は有限のままである。すると「物理的記述」は次のようになる：
-
その物体（安定限界を超えた中性子星）は重力崩壊を起こす。その質量は「系の幾何学的中心」として記述される「中心特異点」に向かって急速に落下する。この現象は、固有時間 s で表して有限の継続時間 Ds にわたって広がる。
-
しかし、物体からある距離に位置する「外部観測者」にとって、この過程は「時間的に凍結」して見える。さらにシュヴァルツシルト球は無限赤方偏移面である（r = Rs における計量の gtt 項がゼロになるため）。
これが球対称ブラックホールの模型である。
r は「動径距離」と同一視される。つまり「シュヴァルツシルト球の内部に何があるか」を考えることができる。大まかに言えば、「局所トポロジー」が「球状的」であると仮定することを意味する。シュヴァルツシルト球の内部には「より小さな球が位置すると想定され」、以下同様にして物体の「幾何学的中心」まで続く。
後にこの模型は軸対称幾何学（Kerr計量）へと拡張された。しかしこの拡張は根本的な概念的変化をもたらさない。それゆえ以下では球対称系に集中する（この研究は後にKerr計量へ拡張されうると考える）。
このような非常に高密度の天体が、アプリオリには物質・エネルギーが存在しない宇宙の空の部分を指す方程式(2)の解によって記述されうるのは、やや奇妙である。
もし
記述（座標の特殊な選択）を保つならば、多くの困難が生じる。例えば、r が Rs に近づくと grr 項は無限大に近づく。
この特殊な座標選択で表された計量の符号は次のとおりである：
( + - - - ) r > Rs に対して
( - + - - ) r < Rs に対して
試験粒子がシュヴァルツシルト球の内部に侵入すると、その質量は虚数になり、その速度は光速より大きくなる。すなわちタキオンになる。
符号の変化を考慮して、ある人々は言った：
- 問題ない。シュヴァルツシルト球の内部では、r は単に時間になり、t は動径距離になる。
フランスの宇宙論者ジャン・エイドマンはよくこう言った：「ブラックホールについて考えるとき、常識は捨てなければならない」。
ついでに言えば、ブラックホール候補はごくわずかであり、これが最も不可解な点である。実際、超新星、白色矮星、中性子星は観測される前に予言された。例えばフリッツ・ツヴィッキーは、1931年にカルテックで行われた有名な講演で超新星模型を発表したが、それは誰も観測される前であった。しかし年を経るごとに模型は確認され、今では数百個が知られている。回転する中性子星についても同様で、それらはパルサーと同定された。なぜ観測されるブラックホールはこんなに少ないのか。
いずれにせよ、天体物理学者たちは、観測データがごく少ないにもかかわらず、ブラックホールは存在すると信じている。彼らは、銀河や銀河団の中心に位置するとされる「巨大ブラックホール」の模型を「用いて」、その不可解な力学の特徴のいくつかを「説明」する。
以下では、安定限界を超えた中性子星に異なる運命を提案したい。まず新しい幾何学的道具を導入することから始めよう。
- ハイパートーラス幾何学。
2次元における次のリーマン計量 g を考える。その線素は、2つの座標 [ r , j ] の組で書くと次のとおりである：
(3)
ここで：
は R 上で、2
を法として定義される。
Rs は定数である。
この計量は、r が無限大に近づくとき漸近的にユークリッド的になる：
(4)
この特殊な
座標系では符号は次のとおりである：
( + , + ) r > Rs に対して
( - , + ) r < Rs に対して
行列式：
(5)
は r = Rs で無限大になる。これがこの特殊な座標選択によるものであることを示そう。次の座標変換を導入する：
(6)
線素は次のようになる：
(7)
その随伴行列式は：
(8)
もはやすべての 
値でゼロにならない（ちなみにこれは、計量において線素の行列式がゼロになるかどうかが座標系の選択に依存することを示しており、エディントンが1924年にシュヴァルツシルト計量について示したとおりである（文献[10]））。 がゼロに近づくとき（これは
に対応する）、この行列式は次に近づく：
は - 無限大から + 無限大まで変化し、これは r ³ Rs と等価である。
計量 g は、選ばれた座標系がいかなるものであれ、1つの曲面、2次元の対象を記述する。この後者はそれ自身の測地系を持ち、基本的に座標不変である。この系を
座標系においてラグランジュ方程式系を通して研究しよう。次のF関数を導入する：
(9)
対応するラグランジュ方程式は：
(10)
(11)
方程式(11)は次を与える：
(12)
h は正、負、またはゼロである。さらに(3)において両辺を で割れば、古典的に次を得る：
(13)
そこから、
座標系における平面測地線を記述する微分方程式を導くことができる：
(14)
(12)による条件 IhI £ r は、測地線の接線と動径ベクトルとのなす角の余弦の絶対値が £ 1 であることを意味する。
次に、埋め込みの追加座標 z を加えて、曲面を R3 に埋め込もう。円筒座標
を選ぶ。曲面は z 軸に関して軸対称である。
( = 定数 ) 測地線はこの曲面の子午線であり、そこでは：
(15)
これは直ちに、R3 に埋め込まれたこの曲面の子午線曲線の方程式を与える。それは放物線である：
(16)
図1は、R3 に埋め込まれたこの曲面の3次元表示に加え、1つの測地線とその
極座標を持つ平面への射影を示す。
この曲面は単連結でない。等長群O2の軌道の中に、最小周長の円、すなわち喉円（p = 2 Rs）を見出す。
図1：R3 に埋め込まれた曲面
および
座標系におけるその表示。
図2では、この
表示系において複数の測地線が示されている。
図2： によるいくつかの測地線の表示。
図3：
喉円を横切る特異な測地線。
平面
におけるこの測地線の表示は等長的でないことに注意されたい。この平面上で長さを測っても、曲面上で測った長さには対応しない。
長さ dS が実であることを課すと、それが我々が局所トポロジーと呼びうるものを決定することがわかる。このような幾何学的構造をトーラス状の橋と呼ぼう。また、この曲面は局所トーラス的トポロジーを持つとも言える。それは単一の折り目を持ち、それは2つの有界な半折り目の集合と見なすことができ、両者は周長 2 Rs の喉円に沿ったそれらの円形境界で貼り合わされている。これらの円は測地線ではない（唯一の閉じた測地線である喉円という、まさにこの特異な測地線を除いて）。各半折り目上で、「トーラス状の橋」からの距離が無限大に近づくとき、計量はユークリッド的(2)に近づく。図2では、[ r , ] 表示に対応して、喉円を横切る測地線の上部が実線で描かれ、他方の半折り目に対応する部分が点線で描かれている。一方の半折り目が ( ) に対応し、それゆえ他方が (
) に対応することに注意されたい。喉円は
= 0 に対応する。