- [r,j] 表現における測地線。
(6) を (14) に導入し、dr = thr dr とすると、次を得る：
(17)
これにより測地線の [r, j] 表現が得られる。r がゼロに近づくと dj/dr は有限値に近づくため、ピッチ角の正接：
(18)
は原点でゼロに近づく。このような表現におけるシュヴァルツシルトの喉円の像は円錐点である。
図4：図3に示された測地線を (r, j) 座標系で表したもの。
喉円の横断は点Oに対応する
これは測地線の等長表現である。
表面を [z, r, j] 表現で描くこともできるが、これはもはや等長表現ではない。対応する子午線は次で与えられる：
(19)
r がゼロに近づくと z(r) は線形である。無限大に近づくと、関数は放物線に近づく。
図5：表面の子午線を [r, j] 非等長表現で表したもの。
このような表現におけるシュヴァルツシルトの喉円の像は円錐点である。
- 球対称な3次元超表面への拡張。
これは、次の線素で記述される3次元超表面に拡張できる：
(20)
この計量は3次元超表面を参照し、ここでは [r, q, j] 座標系で表されている。変数 r は「球座標」に対応する「動径距離」ではない。この新しい線素にも同様の病的性質が見られ、同じ座標変換 (6) を導入することで除去できる。
[r, q, j] → [r, q, j]
するとこの線素は次のようになる：
(21)
その符号数は (+, +, +) となり、その行列式：
(22)
はもはや消えない。
この超表面の測地線は平面内に位置する。q = p/2 はその一つである。それらの [r, j] 表現では、それらは図2のものと同一視される。等長群は O3 であり、対応する軌道は球面である。それらの中で一つは最小面積を持つ（この3次元トロイダル橋の喉球面）。球面軌道の大円は測地線曲線ではない。ただし、周長が 2 p Rs である喉球面上に位置する特異なものを除く。この特異な球面の測地線だけが閉じたものである。この特異な幾何を超トロイダル幾何と呼ぶことができる。この3次元表面は単連結ではない。それは単一の3次元の折れを持ち、これは二つの有界な半3次元の折れがそれらの球状境界（喉球面）に沿って貼り合わされた集合と見なせる。この「超トロイダル橋」から遠距離では、計量はユークリッド的なものに近づき、以下では球座標で書かれる：
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- シュヴァルツシルト幾何。
古典的には、その等長群は SO3 × R であり、R は一次元変換を指すと考えられている。そして、R が時間並進に対応すると考え、この計量は時間独立かつ球対称であると言われる。
[x�, r, q, j] 座標系で表され、x� が時間マーカーであるとき、線素は
(24)
古典的には x� = ct と書き、「外部観測者」の宇宙時間 t を定義するとされる。r >> Rs のとき (21) はミンコフスキー計量に近づく。古典的には r は動径座標と同一視される。(21) は grr 項の不規則性と r = Rs における符号数の変化を示す。
ここでも再び、(6) の座標変換を用いてこの計量を正則化し、[t, r, q, j] 系へ移行できる。すると線素は次のようになる：
(25)
O3 等長群の軌道は球面である。この集合の中で一つ、喉球面（シュヴァルツシルト球面）は最小面積を持つ。この超表面は単連結ではない。それは単一の時空の折れを形成し、これは二つの半4次元時空の折れ（双対の折れ）の集合と見なせ、第一は r > 0 に、第二は r < 0 に対応し、それゆえ喉球面は r = 0 に対応する。q = p/2 平面内に位置する測地線を計算できる。以下、「球座標」に従う：
図6：球座標。
要素は dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
円 j = 一定 は球面の測地線であるが、明らかにそれらは表面のすべての測地線を表すものではない。二つの対蹠点（極）を通るものだけである。
円 q = 一定 は測地線ではない。ただし q = p/2（赤道）に対応するものを除く。
[r � Rs, j] 座標系では、これらの（非ゼロ長の）測地線は次に対応する：
(26)
定数の組 [l, h] の選択が測地線を決定する。それらの中には、喉球面 r = Rs と交差しない双曲線状の測地線が見られる。図7を参照。
図7：シュヴァルツシルト幾何。喉球面 r = Rs を切らない双曲線状平面測地線の [r, j] 表現
準楕円測地線も見られる。図8を参照
図8：シュヴァルツシルト幾何。準楕円測地線の [r, j] 表現。
ここで r = Rs の喉球面と交差する測地線に注目しよう。[r, j] 表現において、測地線の接線と動径ベクトルの間の角を a と呼ぶ。
(27)
最初のラグランジュ方程式は次を与える：
(28)
r � Rs の値に対して、パラメータ l は厳密に正である。別のラグランジュ方程式は：
(29)
であり、固有時間 s に関する角 j の単調な発展を与える。この (q = p/2) 平面内で、旋回は h の符号に依存する。
シュヴァルツシルト幾何のこの新しい解釈（単連結でない超表面と見なす）によれば、図9に示すように測地線を [r, j] 表現で描くことができる。
図9a： [r, j] 喉球面（シュヴァルツシルト球面）と交差する測地線の表現。h � Rs に対応
測地線の一部は点線で描かれている。それは第二の半3次元の折れに属するとされ、喉球面（シュヴァルツシルト球面）に沿って第一のものと連結されている。それは断絶を示唆する。しかしこの断絶は、我々の（貧弱な）人間の幾何学的直観に馴染み深い、この特異な [r, j] 表現系によるものである。3次元表現空間では図9bを得る。粒子はあたかもシュヴァルツシルト球面上で「跳ね返る」かのようである。
図9b：3次元ユークリッド表現空間では、粒子はあたかもシュヴァルツシルト球面上で跳ね返るかのようである。
この観点からは、「シュヴァルツシルト球面の内部には何もない」。なぜなら、この「内部」では我々は単に「超表面の外」にいるからである。喉球面、シュヴァルツシルト球面は r = 0 の値に対応することを思い出そう。第一の半折れは (r > 0) に、第二は (r < 0) に対応する。
[r, j] 表現では、測地線の様相はかなり異なる。測地線と動径ベクトルの間の角 b の正接を計算しよう（図6参照）。
(30)
r が � 0 に近づくと thr � r となるため：
(31)
[r, j] 表現では、一方の半折れから他方へ行く測地線は動径ベクトルに接する。原点における角の不連続はもはやなく、この原点は喉円 (r = 0) の像である。これらの測地線の完全な記述を得るには、ラグランジュ方程式系を用いて、[t = x�/c, r, q, j] 座標系 (24) で表された線素に戻らなければならない：
(32)
これらの方程式の中に次が見られる：
(33)
与えられた h の値に対して、j の発展は固有時間 s に関して単調である。
図10： [r, j] 一方の半折れ (r > 0) から他方 (r < 0) へ移る測地線の表現。
前と同様に、第二の3次元半折れに属する測地線の部分は点線で描かれている。
論文の冒頭で2次元表面について行ったように、4次元超表面の埋め込みを与えることはできない。ちなみに、我々は4次元測地線を扱っており、3次元のものではない。[r, q, j] および [r, q, j] 空間は表現空間にすぎず、物事を少し明確にするためのものである。実際の測地線は4次元空間に刻まれる。いずれにせよ、[r, q, j] 表現はある3次元「超トロイダル橋」を示唆し、それゆえ [r, q, j] 表現はある3次元「超円錐」を示唆する。このような2次元表面のこの第二の（3次元）表現では、(r = 0) 点を通って一方の半折れから他方へ行く測地線がある。これは2次元円錐に類似している。図11を参照
図11：円錐の測地線。右：円錐点を持つ表面。