- 時間マーカーの選択。
線素(25)に対応する[t, r, q, j]座標において、計量の行列式は次のとおりである：
(34)
これはrがゼロになると消滅する。いずれにせよ、1924年にエディントン[10]は、計量の零性が座標に依存することを示した。まず最初の形に戻ろう
(35)
座標系の選択が純粋に任意であるという事実を強調しておく。なぜなら、テンソル形式の方程式
(36)
S = 0
の解である計量は、基本的に座標不変だからである。我々は粒子が測地線に従うと決める。任意に選ばれた座標は、この幾何学的解の物理的意義をもたらす。x� = ct と選ぶこともできる。cは定数である。しかし別の基準系を選ぶこともできる。それは我々次第である。選ばれた時間的マーカーx�、すなわちt、xに対する唯一の要件は、計量が漸近的にユークリッド的であることである：
(37)
または：
(38)
デカルト座標系で表されるように。リーマン計量は、線素の二次形式が定数係数を持つような座標系を見出せるならばユークリッド的であることを思い出そう。符号の集合が符号数である。
これが( + - - - )であれば、それはミンコフスキー計量である。
(39)
が基本距離と同一視されるならば、そのような距離の定義（上記のrまたはr）がいかなるものであれ、計量が「大きな距離において」漸近的にユークリッド的であることを課すのは合理的な要件と思われる。
「宇宙時」または「空間マーカー」の定義は、完全に自由な選択のままである。逆に、固有時s、より正確には多様体の二つの与えられた点の間の時間間隔Dsは、基本的に座標に依存しないので、変更することはできない。さらに、粒子は与えられた測地線に沿って両方向に移動できると仮定される。
図12：与えられた測地線上での粒子の移動。
試験粒子の測地線に沿った移動は一つの現象である。多様体の別の測地線は、何らかの「静止した外部観測者」を参照すると想定される。しかし静止状態は座標の選択(x�, x1, x2, x3)に依存し、それは完全に任意である。
この「外部観測者」は、計量がユークリッド的または準ユークリッド的、すなわち(37)の形を持つ多様体の一部に位置すると想定される。そのとき静止条件は次を意味する：
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
そのような静止状態の観測者にとって、任意の固有時間間隔は、関連する任意に選ばれた「宇宙時間間隔」と同一視される：
(41)
Ds = Dx�
...宇宙時の選択は純粋に任意であるため、試験粒子の時間的発展はこの選択に依存する。与えられた測地線上の二点AとBを考える。これは外部観測者を参照すると想定される。これらの点は時空事象である。図13では、点線は一定の宇宙時x�を参照すると想定される。
図13：「静止した外部観測者」が測地線上での試験粒子の発展を「考察」する。宇宙時x�
次に、宇宙時の別の選択xを考えよう。図14を見よ。
図14：「静止した外部観測者」が測地線上での試験粒子の発展を「考察」する。宇宙時x
点線は光子の経路ではないことを明確にしておく。光子は特有の零測地線を進み、それは座標不変である。
我々は依然としてDs(O) = Dx� = Dx を持つが、間隔Ds'(TP)とDs"(TP)は、同じ測地線を参照するにもかかわらず、かなり異なりうる。なぜなら組(A',B')と(A",B")が異なりうるからである。基本的に、それらは選ばれた時間座標、すなわち「時間マーカー」に依存する。
- エディントンの時間座標変換とその拡張形。
1924年にエディントンによって導入された次の座標変換は、この点の実例である：
(42)
すると線素は次のようになる
(43)
gxx項が球面r = Rs上でゼロになるので、この球面は無限赤方偏移面である（古典的シュヴァルツシルト計量の線素におけるように）。行列は次のようになる：
(44)
その行列式は：
(45)
- r 4 sin2 q
であり、もはやrの値にかかわらず消滅しない。後で説明する理由により、この座標変換を次のように拡張しよう：
(46)
(x, r, q, j)座標系で表すと、線素は次のようになる：
(47)
その行列式は同じ形(44)を持つ。エディントンの座標変換がd = - 1の値に対応することに注意せよ。
我々は関数：
(48)
に基づくラグランジュ方程式を用いて測地線を研究する。
ただし：
さらに、線素の表式から、古典的に、物質粒子(ds � 0)に対して次を持つ：
(49)
一つのラグランジュ方程式は次を与える：
(50)
平面測地線q = p/2を考えると、次が得られる：
(51)
測地線に沿って、固有時sに関して、jの発展は単調である。別のラグランジュ方程式は次を与える：
(52)
すなわち：
(53)
(49)と組み合わせると、驚くべきことにdが消える：
(54)
rが無限に近づくときdr = 0（零速度）ならば、それはl = 1に対応することに注意せよ。rが無限に近づくとき、(53)により：
(55)
l � 1ならば、rが無限に近づくとき、次を得る：
(56)
ただし
次を得る
(57)
[r, j]において、非零測地線(ds � 0)に対して、古典的な形の微分表式を再び見出す：
(58)
これは図7、8、9のパターンを与える。今や我々は次を通じて新しい宇宙時を定義できる：
(59)
x = ct
...線素(43)は依然として漸近的にユークリッド的である。「大きな距離」において、静止観測者の固有時Dsは間隔Dtと同一視される。
- 動径経路に対する時間間隔。
我々は、微分方程式：
(60)
を通じて、測地線に従う非零質量粒子の時間間隔Dt = Dx/cを計算できる。
「動径測地線」( h = 0 )に対して：
(61)
シュヴァルツシルト球面の近くで、次を得る：
(62)
l = 1は、無限遠で速度がゼロに近づく試験粒子に対応する。
その特有のケースを考えよう：
(63)
(54)より
n = - 1は(dr < 0)の経路に対応する。
n = +1は(dr > 0)の経路に対応する。
...特有のエディントンの座標変換は（r � Rsに対して）d = + 1に対応することに注意せよ。この新しい宇宙時に関して試験粒子の動径移動時間Dtを計算すると、この時間がこの運動の方向とdの符号、すなわち積dnに依存することがわかる。それが正のとき、動径測地線(r � Rs)に沿った試験粒子の移動時間は有限である。それが負のとき、この移動時間は無限になる。
第一の帰結として、球対称ブラックホール模型に適用すれば、エディントンの座標変換は有限の自由落下時間Dtを与える。r = Rsのとき粒子の速度は次のようになる：
(64)
シュヴァルツシルト球面に向かって落下する試験粒子は、速度cでそれに到達する。
- 光速度。
光子は零測地線を進み、それは次に対応する：
(65)
速度を考えよう：
(66)
(65)より次を得る：
(67)
rが無限に近づくとき、vjは� cに近づく。
dr < 0のときn < 1である。すると、(d r< 0)の経路に対してr = Rsのとき：
(68)
試験粒子が動径経路に沿ってシュヴァルツシルト球面に向かって落下するとき、それは光の速度でそれに到達する。
要約すると：
(69)
(70)
光の速度は、(dr > 0)の経路か(d r< 0)の経路かによって異なる。
- 慣性系引きずり効果。
カー計量を考えよう：
(71)
ここでrは上で定義したものとは異なる空間座標である。我々は単に参考文献[1]の式7.110を再現する。
円に接する運動(q = p/2, r = 一定)に対する光子の速度(ds = 0)を計算しよう。次を得る：
(72)
すなわち二つの異なる値である。これは方位角方向の慣性系引きずりに対応し、カー計量の性質である。参考文献[1]、7.7「カー解と回転」より次を読む：
カー解の回転的性質から非常に興味深い物理効果が生じる。測地線運動をする物体はパラメータaに比例する力を経験し、それはコリオリの力を想起させる。大まかに言えば、回転する源が空間を引きずって回るものと考えてよい。マッハ的な意味で、源は局所慣性系の確立において無限遠のローレンツ境界条件と「競合」する。
エディントン座標の言葉で言い換えれば、場の源と見なされるブラックホールは動径方向の慣性系引きずりを誘起する。
- ブラックホールと白い噴水。
セクション4で我々はシュヴァルツシルト幾何学の新しい解釈を提案した。そこではシュヴァルツシルト球面は、図9に見るように、二つの「半時空の襞」を結ぶ喉球面のように振る舞う。我々は次の二つのシュヴァルツシルト幾何学を組み合わせた同様の構造を想像できる：
(73)
(74)
これら二つは(43)から導かれ、第一の線素(73)はd = -1に、第二の(74)はd = +1に対応する。dは測地線の[r, j]表現の計算に現れないので、結合は困難を生じない。式(58)を見よ。我々は「中心特異点」のない「ブラックホール-白い噴水」の対を得る。物質はブラックホールに入ることはできるが、出ることはできない。反対側では、物質は白い噴水から流出できるが、入ることはできない。通過時間は一方向では有限であり、他方に沿っては無限である。新しい宇宙時xで計算すると、有限の通過時間は固有時sで計算したものと同様である。動径経路に対して：
(75)
この時間は非常に短い。本論文で示されたように、ブラックホール模型は座標、特に宇宙時の特有の選択に基づいている。セクション6で指摘したように、時間マーカーの選択は純粋に任意である。古典的なものは準定常状態系を与え、そこではブラックホールに注ぎ込まれた物質の落下は、外部観測者に対して「時間的に凍結」される。しかし本論文は、エディントンの考えから導かれた時間マーカーの別の選択が、この過程を「解凍」することを示す。この観点から、ブラックホール、またはブラックホール-白い噴水の対は、永続的な物体として存在しえない。なぜならそれらはミリ秒あたり数十太陽質量を飲み込むことができるからである。したがって依然として未解決の問題がある：
- 中性子星がその安定限界を超えたとき、何が起こるのか？
- 表現空間。
代替の模型計画を提示しようとする前に、「表現空間」と呼びうるものについて一言。論文の冒頭で、我々はその線素によって定義される2次元曲面を研究した。この曲面をR3に埋め込むことが可能であるように思われ、それがこの幾何学的対象の等長表現を与えた。ちなみに我々は[r,j]表現に言及した。
4次元超曲面の明白な表現を与えることは不可能である。なぜならそれを描いて図を示すことができないからである。しかし超曲面は、対象が基本的に座標不変であるため、様々な座標選択に対応する多くの表現空間において描くことができる。例えば変換(6)を導入できる。すると線素は次のようになる：
(76)
r > 0に対して
そして：
(77)
r < 0に対して。
「動径」測地線（例えばq = p/2, dj = 0）は（この特有の表現において）系の幾何学的中心Oに集束する。この点は「超円錐点」に匹敵する。
3次元空間における点に関する対称性はP対称性である。
この[t, r, q, j]においてシュヴァルツシルトの線素はP対称である。それはまた時間独立（時間並進を通じて不変、すなわち定常状態に対応）でありT対称、次を通じて不変である：
t � - t