- 等長変換群。
a を3次元回転行列とする。以下のように書く：
(78)
SO3 × R 群の元は、以下の行列で表される：
(79)
これは2つの行列の積である。最初の行列：
(80)
は SO3 に属する。
2番目の行列：
(81)
は R 時間並進群に属する。P対称性とT対称性を導入する。これにより、その元が以下で与えられる4成分群が得られる：
(82)
これは2つの行列の積である：
(83)
および：
(84)
この第2の部分群を E1（1次元ユークリッド群）と呼ぶ。
[t, r, q, j] 表現において、等長変換群は O3 × E1 である。
[t, r, q, j] 座標系における線素の式に戻ろう：
(85)
...古典的には、対応する等長変換群は SO3 × R と考えられており、これは最大の群ではない。線素が空間反転と時間反転の下でも不変であるため、実際には O3 × E1 である。
次に、「拡張エディントン」形式で表された線素を考える：
(86)
これを以下のように書く：
(87)
デカルト空間座標 [x1, x2, x3] を導入する：
(88)
(89)
(90)
すると、線素は [x, x1, x2, x3] 座標を用いて表すことができる。
(91)
ここで、この特異な座標系で表された計量の等長変換群を求める。
まず、P対称性がある。線素は以下の変換の下で不変である：
(92)
x1 → -x1
x2 → -x2
x3 → -x3
また、以下の変換によっても不変である：
(93)
x → -x
d → -d
さらに、時間並進 x = x + e によっても不変である。これは以下の4成分群に対応する：
その元は2つの行列の積である。最初の集合
(94)
は O3 に対応し、第2の集合は以下の元を持つ第2の部分群を形成する：
(95)
この第2の部分群を「TF」と呼ぶ。
すると、(86) の等長変換群は以下となる：
O3 × TF
次に、[t = x/c, r, q, j] 座標系で表されたシュワルツシルト計量を考える。式 (76) と (77) を以下のようにまとめることができる：
(96)
d = -1 は r > 0 の半時空を担当し、d = +1 は r < 0 の第2の半時空を担当することを思い出す。「ブラックホール」が我々のフォールド（折り畳み領域）にあり、「ホワイトファウンテン」が「双子フォールド」にあると仮定する場合である。
状況が逆転し、すなわち「ブラックホール」が双子フォールドにあり、「ホワイトファウンテン」が我々のフォールドにある場合、以下となる：
d = +1 は r > 0 の半時空を担当する
d = -1 は r < 0 の半時空を担当する
第1のケース（「ブラックホール」は我々の宇宙にあり、「ホワイトファウンテン」は双子フォールドにある）を考える。この場合、計量は以下のようになる：
(97)
以下の変換を行う：
r → -r
t → -t
d → -d
すると、第2の計量が得られる：
(98)
r = 0 のときの行列式のゼロ値は、点 (r = 0) における空間（鏡像異性体性）および時間座標の局所反転に対応することに注意されたい。実際、ガウス座標を定義するには非ゼロの行列式が必要である。参考文献 [1] の 2.4 節を参照。
行列式が非ゼロであれば、選択された時間マーカーの一定値に対応する超曲面の系列（x⁰ または x、あるいは t = 定数）を定義することが可能であり、これらは測地線 x⁰ または x または t の座標線（「定常点」に対する「世界線」）に直交する。
図15：参考文献 [1] の図2.1 に準拠
前述のように、(97) と (98) をデカルト座標で表すことができ、(92) と (93) を再び導出できる。(96) の等長変換群は以下となる：
(99)
2つの半時空フォールドは PT 対称である。
アンドレイ・サハロフが1967年に、宇宙は我々の宇宙と「逆方向の時間」を持つ双子の宇宙という2つの双子宇宙から構成されている可能性を最初に提案したことを思い出そう（参考文献 [26] ～ [30]）。その後、彼は双子フォールドが鏡像異性体性（enantiomorphic）である可能性を提案した。
- 宇宙時間 t の反転の物理的意味。
この時間反転は謎めいている。これは、あるフォールドから双子フォールドへ測地線に沿って移動する際に、時間マーカー t が反転することを意味する。これは、この超環状橋を通過する「乗客」の時計が逆回転することを意味するのか？
上記では、「ブラックホール - ホワイトファウンテン」のペアが存在し得ることを述べた。この場合、「ブラックホール」は双子フォールドにあり、「ホワイトファウンテン」はもう一方のフォールドにある。これは、この「試験的な乗客」が第1の超環状橋に飛び込み、第2の超環状橋から出てくる可能性があることを意味する。彼は元の空間出発点に戻り、「自分の父親を殺す」ことができるのか？
図16：（概略的な）逆説的な旅
答えはノーである。なぜなら、彼が追跡する測地線に沿って、固有時間の微小増分 ds の符号は変化しないからである。では、t の物理的意味は何なのか？ 何もない。それは単なる座標である。
固有時間のみが物理的意味を持つ。
では、この時間座標の反転の結果は何なのか？
群の運動量空間に対する余随伴作用を研究する必要がある（参考文献 [11] および [12]）。群の元は以下である：
(100)
これは2成分群（m = ±1）であり、その次元は4である。
逆行列は以下である：
(101)
リー代数の元を計算する。以下のように書く：
(102)
da = w
d e = e
以下を計算する：dg' = g⁻¹ × dg × g
(103)
(104)
余随伴作用を計算するために（参考文献 [11] 参照）、以下のスカラーを導入する：
(105)
その不変性は以下が成り立つ場合に保証される：
(106)
すなわち：
(107)
同一視により、群の4成分運動量に対する余随伴作用が得られる：
(108)
(l, m)
運動量の成分数は群の次元に等しいことを思い出そう。
(109)
(110)
m' = m m
m を質量（またはエネルギー E = mc² と区別なく）と同一視できる。(110) は、粒子が「スロート球面」を通過する際に、その質量が反転する（m' = -m）ことを意味する。これは驚くべきことではなく、この「時間座標の反転」の非常に物理的な意味を与える。
... J.M. スリアウ [12] に従い、群の (m = +1) 成分を「直時成分（orthochron ones）」、(m = -1) を「反時成分（antichron component）」と呼ぶことができる。反時成分の元は質量を反転させる。時間対称性は m 対称性と等価であり、これは J.M. スリアウによって示されている（[12] p.197、時間と空間の反転の章）。
- 後続する結合場方程式。
右辺がゼロの単一の場方程式から出発した：
(111)
S = 0
これは完全な（アインシュタインの）方程式から来たと考えられていた：
(112)
S = c T
これは真空（T=0）に適用される。完全な幾何学は2つの「共役計量」 g と g* で記述でき、そこから2つのアインシュタイン幾何テンソル S と S* を構成できると仮定できる。参考文献 [13] ～ [15] を参照。
2つの半時空が空である場合、組 ( g , g* ) は以下の系の解である：
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
（系 (113) と (114) の定常な厳密解は参考文献 [16] に与えられている）。次に、第1の時空フォールドをテンソル場 T に対応する正の質量（正のエネルギーと圧力）で満たし、第2のフォールドを負の質量（負のエネルギー）で満たすことができ、場が以下の形式論理を通じて両方のテンソル場に依存すると仮定する：
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T* - T )
これは共役な幾何学に対応する：
(117)
S* = - S
これは決定的に g* = - g を意味しないことに注意されたい！
テンソル T と T* は、質量密度 r と r*、および圧力 p と p* で表すことができる。
ここでは、「同じ種類の物質」であることを示すために、r, r*, p, p* がすべて正であると考える。マイナス符号は、「双子物質」が負の質量（および負のエネルギーと圧力）を持つ物質のように振る舞うことを示している。この場の方程式系は、以前の論文で提示され研究されている（参考文献 [13] ～ [15]）。
- プロジェクト：超空間転送モデル。
参考文献では、定常状態の結合解 [16] と非定常な一様な解 ([14], [15], [17]) が提示されている。我々は系 (115) + (116) の非定常かつ非一様な解を構築する意図がある。例えば、物質が我々の時空フォールド F に存在し、第2のフォールド F* が空である初期条件を考える。対応する系は以下となる：
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...このような系の定常状態解は、以前の論文 [16] で提示された。そのような条件下では、物質はフォールド F にのみ存在する。これは、このフォールド（我々のフォールド）に中性子星が存在することに対応する共役幾何学を記述する可能性があり、第2（双子）フォールド F* の隣接部分は空である。初期状態では、2つのフォールドは接続されていない。中性子星の外側の解は以下に従う：
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...その後、臨界状態まで中性子星に物質が注ぎ込まれる。専門家は、トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ（TOV）モデル（参考文献 [1]、式144.22）によれば、臨界状態の最初の症状は（球対称と仮定される）中性子星の中心での圧力の突然の無限大への上昇であることを知っている。我々は、この上昇が物理定数（光速、重力定数、質量）の局所値に作用すると考えている。「変数定数」モデルは当初、著者らによって導入された（[18], [19], [20], および [14]）。その後、他の著者によってこの新しい概念がやや異なる方法で発展させられた [17]。
...我々は、これが2つのフォールドを結ぶ超環状橋の誕生を引き起こすと考える。その後、物質はこの通路を通じてフォールド F からフォールド F* へ（相対論的速度で急速に）流れるだろう。上記で示したように、この現象は質量を反転させる（第14節、式 (110) を参照）。したがって、非定常解は以下の系に依存する：
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T* - T )
「プロセスの中間」では T = T* である。すると、解は以下に従う：
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...我々は、これがシュワルツシルト幾何学の真の意味であると考える。これは非定常プロセスに属する枠組みに対応するだろう。
...この非定常解は単なる解のプロジェクトであり、まだ構築されていない。それが何から生じるのか、完全なプロセスがどのようなものになるかは分かっていない。