- 埋め込みと測地線について（続き）
すべての曲面を R3 に埋め込むことはできない。例えば、以下の計量を考えよう。
(134)
ここで Rs > 0 かつ r > 0 であり、
は R modulo 2 
上で定義される。
これらの [ r , ] という特異な座標で表すと、この線素はほぼ至る所で正則である（r = 0 の点を除く）。それ以外の場所では問題はない。その等長変換群は O2 である。群の軌道は r = 定数の円である。この曲面が R3 に埋め込まれ、ある z 軸に対して軸対称に見えるように想像することもできるかもしれない。
( = 定数 ) の測地線が存在する。これらは曲面の「子午線」であり、そのような子午線の方程式 z ( ) は、論文の冒頭で行ったのと同様に構築できると考えられるかもしれない。( = 定数 ) の測地線に沿って：
(135)
もしこの曲面が R3 に埋め込み可能であれば、これらの測地線に沿って：
(136)
したがって：
(137)
結論：この曲面は R3 に埋め込むことはできない。
この計量 (135) は、ある種の反発的な作用を想起させる。
計量によって定義されるすべての曲面が、埋め込み可能であるとは限らない。いずれにせよ、これらの曲面は「存在」しており、たとえ我々がそれを手で掴むことができなくてもそうである。
以下の 3 次元超曲面を、次のように定義されたものとして考えよう：
(138)
ここで Rs > 0 かつ r > 0 であり、
は R modulo 2 上で定義される。
このような超曲面は埋め込むことができない。しかしそれは存在し、「平面測地線」 ( 
= /2 ) を持つ。
これらの 2 次元および 3 次元超曲面の測地線系を計算することができる。それらは平面 (r, ) 上に図示できる。それらは実在する。
(139)
その形状は、線素 (134) によって定義される先行の 2 つの曲面のそれと同一である。これら 2 つの幾何学的対象は単連結である。
図 25：線素 (134) および (138) に対応する測地線
（これは反発作用に似ていることに注意されたい）。
何か奇妙な点がある。線素が与えられれば、測地線系を計算できる。例えば、シュワルツシルト幾何学の古典的な表現に対応するものは：
(140)
この微分方程式に対応する曲線 r ( ) を計算できる。
それらは実在し、r < Rs の値を含む！
図 26：シュワルツシルト線素に対応する完全な測地線
物理学者たちがこの奇妙な結果を見て戸惑った理由が理解できる。しかし数学的事実として、線素は実在する測地線系を生み出しうるが、その一部は虚数の長さ要素 ds に対応している。
物理的にはどうなのか？ ds を固有時間の増分として識別する。上記では、虚数の ds は物理的な経路に対応しないと決定したため、超曲面の「局所トポロジー」を再考せざるを得なくなり、「局所的な球状トポロジー」を「局所的な超環状トポロジー」に変えた。
先行研究ではこの「局所的な球状トポロジー」の仮説が維持されていたため、シュワルツシルト球の「内部」の物理的解釈は問題を抱えることになった。参考文献 [1] のセクション 6.8 には次のようにある：
（シュワルツシルト球の内部では）したがって、r を時間の指標として、t を半径方向の指標として再解釈するのが自然であろう (...)
... これは、この世界線に沿って ds2 < 0 であることを意味する。
- クルスカル解析的拡張
古典的な [x� , r , , ] 座標系において、光の半径方向速度は：
(141)
したがって、r が Rs に近づくにつれてゼロに近づく。クルスカルの変数は以下の通りである（参考文献 [1]、セクション 6.8）。
これはシュワルツシルト座標の望ましくない特徴であり、以下のようにして排除できる。r と t を新しい変数 u と v に変換し、線素が次の形を持つようにする：
(6.187)
... シュワルツシルト半径の内部に適した変換に到達する：
(6.204)
一方、その球の外側では：
(6.201)
*
*
基本的な要件は、f がシュワルツシルト球 r = Rs 上で正則であることである。依然として [1] より：
したがって、u は大域的な半径方向の指標として機能し、v は大域的な時間の指標として機能する。
なお、(6.187) より、零測地線 (ds = 0) は「一定の光速」を与える：
(142)
(6.201) から、r が無限大に近づくと f はゼロに近づくことがわかるため、アドラー、シーファー、バジンは [1] で次のように述べている：
しかしながら、それらは漸遠距離における平坦空間の球座標には対応しない。シュワルツシルト座標は対応するが。
クルスカル計量は、これらの領域におけるアインシュタイン方程式の特異点のない解でもあり、シュワルツシルト解と等価であるが、境界（シュワルツシルト球）に特異点を持たない。これは多様体の解析的拡張である。
クルスカルは、この境界での問題に集中し、そこは非特異的となり、特異性は f が無限大に近づく「幾何学的中心」に集中する。依然として参考文献 [1] を用いて、内向きの光子の半径方向の経路に捧げられた箇所を再現する：
u, v の観点では、軌跡は単純である。しかし、r と t の観点では、有限の r > Rs および有限の x� で始まり、x� が無限大に近づくにつれて r = Rs に向かって内向きに移動し、x� = 無限大 の線を越えてシュワルツシルト球の内部に入る。その後、r は軌跡に沿って減少し続けるが、x� は減少する。... 本論の扱いにより、x� はシュワルツシルト球の内部では合理的な時間の指標ではないことも明らかになる。
「完璧なものはない」ことがわかる。彼の特異な座標選択により、クルスカルはシュワルツシルト球の横断を扱い、幾何学的解の特異な特徴を「中心特異点」に封じ込めている。しかし、計量は無限遠でローレンツ計量ではなくなる。
これは、座標の選択が解の解釈をどのように変えるかを示している。我々の手法は「局所トポロジー」の変化（超環状ブリッジ）を導入するが、すべての特異性は排除される。
- 埋め込みに戻る
ウィーナー・グラウスタインの定理によれば、n 次元曲面（n > 2）は、最小次元が以下の空間に埋め込むことができる：
(143)
4 次元超曲面の場合、これは 10 次元空間に対応する。シュワルツシルト幾何学の測地線が平面内に存在することは知られている。 = p/2 はその一つに対応する。したがって、( = p/2) の測地線の部分集合に集中できる。これらの測地線は 2 つのパラメータ l と h に依存する。(l = 1) の測地線が、無限遠で速度がゼロである粒子に対応することは知られている。さらに、( = 定数) の測地線の部分集合を選択する。すると：
(144)
追加の座標 z を導入し、次のように書く：
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
その解が以下の微分方程式：
(147)
これらの測地線を 3 次元 [ z , r , ] 空間上に図示できる。それらは軸対称曲面の子午線である。
図 27：( = 定数) のシュワルツシルト測地線の等長埋め込みが行われる曲面の子午線
3 次元空間では、この曲面は図 28 のように見える（半分切断）。
図 28：埋め込み曲面
その上に「半径方向」の測地線を描くと、図 29 のようになる。
図 29：「半径方向」の測地線の表現。下：それらの [ r , ] 平面への投影。
これは非常に部分的な埋め込みであり、「半径方向」の測地線の集合に限定されている。図 29 は折り目を想起させ、鏡像異性（エナンチオモルフィー）を暗示する。実際、半径方向の測地線に沿って移動する 3 点の集合を考えよう。得られるのは：
図 30-a：「半径方向」の経路に沿って喉に向かって落下する 3 つの質量点。
そして：
図 30-b：喉を通過した後の同じもの。三角形は反転している。
平面投影 [ r , ] において、三角形の向きは反転している。
次に、半径方向の軌跡をたどり、シュワルツシルト球に向かって落下する 4 つの試験粒子を想像し、四面体を形成するとしよう。図 31 を参照。
図 31：ユークリッド 3 次元表現空間において、「半径方向」の測地線に沿ってシュワルツシルト球に落下する 4 つの粒子
図 32：シュワルツシルト球で「バウンド」した後、粒子は双子空間を移動する。四面体は反転している（鏡像異性）
先行の表現に戻ろう。法線ベクトルもまた反転している：
図 33：(l = 1) の測地線の集合において、( r , , z ) 空間での、ある特異な = 定数 の測地線の表現