トーラスの反転
2004年12月9日
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トーラスの非自明な反転
J.P.プティ：
科学アカデミー報告集
第293巻、1981年10月5日会合、第1シリーズ pp. 269-272
ここでは図の連続を示すにとどめ、解説は加えない。
トーラスの非自明な反転。変換の前半部分
トーラスの非自明な反転。変換の後半部分
図vに至ると、灰色の構造と桃色の構造を一致させることが容易になり、この対象をクラインの壺の二重被覆に変形できることがわかる。
反転はその後、向かい合う層を交換することによって行われる。以下に同じ図を色分けして示す。
色分けしたクラインの壺の二重被覆
（この図は私のCNRS年次報告には含まれていない。『トポロジコン』に見られる。）
トーラスの異なる族
スティーヴン・スメールが1957年に証明したのは、球面の浸入の族はただ一つしかなく、それらはすべてホモトピーによって互いに結びつけられるということであった。それらは群をなし、その単位元は対象をそのままの状態にしておくことであった。トーラスについても同じことが成り立つかどうかが問われた。数学者のイオアン・ジェームズとエメリー・トーマスは、トーラスの浸入が四つの大陸に分かれ、正則ホモトピーによってはそれらの間を移ることが不可能であることを示した。
トーラスの四つの族
紙面中央に描かれた「標準トーラス」は、bに図示された対象と同じ族に属する。これは、私が1980年に発明したトーラスの反転の版において、ついでに示したことである。aで言及された族は360°の撚りを加えたトーラスを表している。標準トーラスに似ているが、両者は二つの曲線族を用いたそれらの地図作成システムから定義される。標準トーラスでは、経線と緯線に相当する二組の円が用いられる。トーラスaでは、その上に貼られた円族を、逆方向に撚れる第二の族で補完しなければならない。そこで示せるのは、正則ホモトピーによってこのトーラスaの網目を標準トーラスの網目（経線円と緯線円）と一致させることは不可能であるということである。この意味で、これらは異なる対象なのである。これらの対象はすべて、明らかにクラインの壺の二重被覆として構成することができる。
幾何学者の道具の力は何が可能で何が不可能かを予測できることにある。標準トーラスを図bのトーラスに変形すること：可能。cからdへ移ること：不可能。
これによって愚かに時間を浪費するのを避けられ、とりわけ、球面を反転させるような、決して自明ではない事柄を探究するよう促される。あらゆる科学において同じである。人々が、何年も、あるいは何世紀も、単にそれが実行不可能だと思い込んでいたために、実り豊かな取り組みのそばを通り過ぎてしまうことがある。私は人生の数年を、超音速で気体中を移動する物体の周りの衝撃波を、ラプラス力場、すなわち「MHD」を用いて消去する理論の構築に捧げた。ある学生は私の指導の下でこの主題で学位論文まで書き、我々はこれらの研究を査読付き雑誌や科学会議で発表した。これは三十年後にようやく表面化し始めたテーマである。アメリカ人がマッハ10で衝撃波を生じさせずに（とりわけこれらの「バン」の背後での空気の再圧縮に伴う途方もない熱的制約を受けずに）飛行できる極超音速機を保有しているのではないかと推測されている。これはオーロラの伝説、すなわちオーロラが発生する高度、高度80〜150kmを巡航する機体の有名な神話である。オーロラはまた、空気に支えられることでCNESのロケットよりもはるかに経済的となる将来の宇宙打ち上げ機の先駆けでもある。フランスでは、特にCNRSの人々がそれをまったく不合理だと考えたため、そのような研究を始めることは不可能であった（私は1975年にこれらの着想を得た）。その結果はアメリカ合衆国に対する三十年の遅れであり、私の意見ではまったく取り返しがつかない。
タバコ入れ
完全を期すために、中心的な対象をタバコ入れとした球面反転の版に言及しなければならない。それは私が若かった頃にはありふれた品であったが、今日ではほとんど見かけなくなったはずである。これらの連続図を最初に描いたのはジョルジュ・フランシスである。ここ数年、私はこれらの版の多面体版に取り組んでおり、すでにかなり美しい中心模型ができあがっている。しかし、それを皆さんにお見せするには、もう一度それを見つけ出さなければならない。かなり早く、そう願っている。なぜなら、それは私がこれまでに創り出した最も魅惑的な対象の一つだからである。
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