球の反転とクラインの壺の浸漬

球の反転

2004年12月7日

ページ1

導入

以降では、球面やトーラスなど、閉じた曲面を扱います。これは、一般の人々が理解する意味での「曲面」であり、つまりは3次元のユークリッド空間R3に表現される2次元の対象です。これらの曲面は、いくつかの種類の表現方法を持つことができます。もし曲面が自分自身と交差しない場合、それはR3に埋め込まれていると呼ばれます。もし交差する場合、それは浸漬と呼ばれ、その交差は自己交差集合（self-intersection）として現れます。

我々の埋め込みでは、接平面が連続的に変化し、また曲面に特異点が存在しないものとします。例えば、円錐の頂点のような特異点は含まないものとします。このような曲面は正則です。

浸漬の場合、自己交差曲線に沿って交差する2つの部分の接平面が異なることを要求します。

数学者が考える幾何学の世界は、物理的な世界とは大きく異なります。曲面が自分自身を貫くことには何の問題もありません。しかし物理的な世界ではこのようなことは不可能です。しかし、超現実的な世界では可能になります。聖書には、死者が復活するとき、「栄光の体」として現れると記されています。そのような体では、何でも通り抜けることができ、原則として自分自身を通り抜けることもできます。したがって、最終審判の時、あなたが栄光の体でローマを歩いているとしましょう。あなたがナヴォーナ広場を探しているとします。他の復活した人間に道を尋ねたいと思うかもしれません。その人があなたと同じような外見をしているとします。その人があなたがいる場所から反対方向へ歩いているとします。物理的な世界では、その人が正しい道を示すために自分自身を回転させる必要があります。しかし、栄光の体であれば、回転する必要はありません。その人は自分の指をへそに向け、自分自身を通り抜けることができます。その手が背中から現れると、その人はあなたに「そこです」と言うことができます。その人が腕を腹を通して入れることで、体の表面に2つの円からなる自己交差集合が生じ、その後通常の状態に戻ると消えます。

もし人が口を閉じ、鼻に夹子をつけて他の自然な穴を無視すれば、その体の形状はS2の球面のトポロジーになります。栄光の体として復活した人で、そのような自然な穴が閉じられているとします。その人は自分自身を通り抜けることができ、つまりその体の形状が埋め込みから浸漬に変わるのです。その際に生じた超現実的な問題の一つは、栄光の体として復活した人が、折り目をつけることなく体をひっくり返すことができるかどうかでした。

ちょっとした補足として、マジシャンは「魔法の円」を使い、互いに交差させることができます。このような「魔法のグリッド」を使って曲面を表現するのも考えられます。例えば、ここに黒とピンクで表現された2つの部分が、困難なく交差できるようにします。

魔法のグリッド

いずれにしても、数学と魔法には多くの場合、それほど違いがないと言えます。20年前に私は「トポロジコン」という漫画を制作しました。これは現在は絶版で、コレクターの間でのみ入手可能です。その中の1ページには以下のようなものがありました：

ベルンの出版社がこのシリーズを中止したのは残念です。製造価格がわずか1ユーロを少し超える程度で、13ユーロ（送料込み）で販売するという戦略は、黒白の作品で販売価格の92％以上が利益になるという状況では、明らかに商業的戦略としては明らかではありません。

R3に埋め込まれたS2の球面を考えます。外側の表面は灰色で、内側は古びたピンク色であるとします。この球面の対蹠点、つまり任意に「北極」と「南極」と呼ぶ2点を押しつぶして、一点に接触させます。例えば、ドーナツで行うことができます。数学的なドーナツ（ドーナツが栄光の体として復活するかどうかはわかりません）では、この2つの極の領域が一点で接触した後、自己交差曲線を通じて交差し、その形状は円になります。このようにして、この表面はタイプDの災害を経験したと予想されます。

その後、ドーナツや球面をひっくり返す試みを続けると、折り目が生じ、その折り目は不恰好な折れ線、あるいは正確には「折れ線の表面」（図d）になります。

1950年代後半、超現実的なドーナツを折り目をつけることなくひっくり返すことが可能かどうかという問題は未解決のままでした。正直に言って、誰もそれが不可能だと考えていました。しかし1957年、数学者スティーブン・スメール（フィールズ賞を受賞したが、別の研究で）は、S2のR3へのすべての浸漬が1つの集合をなしており、常に連続的な浸漬の変形（いわゆる正則なホモトピー）の系列を見つけることができることを証明しました。その結果、標準的な球面の埋め込みから反対極の埋め込みへの連続的な浸漬の系列が存在するということになります。より簡単に言うと、折り目をつけることなく球面をひっくり返すことが可能であり、その球面が自分自身をひっくり返すことを許されるという意味です。

スメールの指導教員はラウル・ボットでした。彼は弟子にどうすればよいのか尋ねました。スメールは答えました。「私はまったくわかりませんが、私の定理は完全に正しいです。」スメールは空間をイメージすることができませんでしたが、それは気にかけていませんでした（多くの幾何学者がそうであるように）。また、正直に言って、彼が定理を証明した後、実際にどうやってそれを実現するかには関心がなく、すぐに別のテーマに移ってしまいました。その結果、彼の同僚数学者たちは非常に困惑しました。私は、このような問題を生み出して、10年後に人々が解決策を見つけるのを待たせるのは、あまり親切ではないと思います。

頭の中で浸漬を想像するのは結構難しいです。しかし、R3に表現できるのはこのような方法しかない曲面も存在します。例えば、クラインの壺です。

クラインの壺

ここでは、トーラスのように、閉じた曲線の2つの集合からなるマジックシステム（座標系）で表現されています。このようにして、クラインの壺をマジックなしで表現できます。しかし、この表面が必然的に閉じた曲線、つまり円を通じて自己交差していることがわかります。したがって、これは埋め込むことはできません。