球の反転とクラインの瓶の浸漬

球の反転

2004年12月7日

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導入

以降では、球面、トーラス、その他の閉じた曲面を扱う。これは一般の人々が理解する「曲面」という意味でのものであり、つまりは3次元のユークリッド空間R3に表現される2次元の対象である。これらの曲面はいくつかの種類の表現を持つことができる。もし曲面が自身と交差しない場合、それを「埋め込み」と呼ぶ。もし交差する場合、それを「浸漬」と呼び、その交差は「自己交差集合（self-intersection）」として現れる。

我々の埋め込みでは、接平面が連続的に変化し、特異点を持つことはない。例えば、円錐の頂点のような特異点は存在しない。これらの曲面は「正則」である。

浸漬の場合、自己交差線の沿いでは交差する2つの面の接平面が異なることが求められる。

数学者が考える幾何学の世界は、物理的な世界とは大きく異なる。曲面が自己交差することに何の不都合もない。物理的な世界ではこのようなことは不可能であるが、超現実的な世界では可能である。聖書には、死者が復活するとき、「栄光の体」として現れると記されている。そのような体では、何にでも通り抜けることができ、自分自身を通り抜けることも可能である。したがって、最終審判の時、あなたが栄光の体でローマを歩いていると仮定し、ナヴォーナ広場を探しているとしよう。他の復活した人間に道を尋ねたいと思うかもしれない。その人物が、あなたと同様の外見を持つと仮定する。あなたが尋ねた人物が、その広場とは反対方向に向かっているとしよう。通常の物理的な空間では、その人物は自分自身を回転させて、その指を正しい方向に向けなければならない。しかし、栄光の体であれば、その回転は必要ない。その人物は指をへそに向け、自分自身を通り抜けることができる。その手が背中から現れると、その人物はあなたに「ここを通ってください」と言うことができる。その腕を腹を通して入れることで、その人物の体表面には2つの円からなる自己交差集合が生じ、その後通常の状態に戻ると消える。

人が口を閉じ、鼻に夹子をつけて他の自然な開口部を無視すれば、その体の形状はS2の球面の位相をとる。栄光の体として復活した人物で、その自然な開口部が閉じられている場合を考える。この人物は自分自身を通り抜けることができ、つまりその体表面は埋め込みの状態から浸漬の状態に変化できる。ここで生じた超現実的な問題の一つは、栄光の体として復活した人物が、折り目を作ることなく体を反転させることができるかどうかである。

ちょっとした補足として、マジシャンは「魔法の円」を使い、互いに交差する「魔法のように」できる。このような「魔法のグリッド」を使って、例えば黒とピンクの2つの面が簡単に交差するような曲面を表現できるかもしれない。

魔法のグリッド

いずれにしても、数学と魔法にはしばしば大きな違いがないと認めなければならない。20年前に私は「トポロジコン」という漫画を制作した。現在は絶版で、コレクター向けのオブジェクトとしてしか入手できない。その中の1ページにはこのような絵が載っていた：

ベルンの出版社がこのシリーズを放棄したことは残念である。製造価格がわずか1ユーロを少し超える程度で、13ユーロ（送料を含む）で販売するという戦略は、黒白の絵本で12ユーロの利益を得るという、販売価格の92％以上を利益に回すという、明らかに商売としての戦略とは程遠いものだった。

R3に埋め込まれたS2の球面を考える。外側の表面は灰色で、内側は古びたピンク色である。この球面の対蹠点、つまり任意に「北極」と「南極」と呼ぶ2点を押しつぶし、一点に接触させることができる。例えば、ドーナツで試すことができる。数学的なドーナツ（ドーナツが栄光の体として復活するかどうかは分からない）では、この2つの極域が一点で接触した後、自己交差する曲線（円の形）を形成する。これを先取りして、この曲面は「ドー型の災難」を経験したと述べる。

その後、ドーナツや球面を反転させようとする試みが可能になるが、その操作中にしわが生じ、ひどい折り目（図d）になる。

1950年代後半、ドーナツのような超現実的な物体を折り目を作ることなく反転させることができるかどうかという問題は未解決のままであった。正直に言って、誰もそれが不可能だと考えていた。しかし1957年に数学者のステファン・スメール（フィールズ賞を受賞したが、別の研究で）は、S2のR3へのすべての浸漬が一意な集合をなしており、常に連続的な浸漬の変形（いわゆる正則なホモトピー）の列を用いて、一つの状態から別の状態に移行可能であることを証明した。その結果、球面の標準的な埋め込みから反対極の埋め込みへの連続的な浸漬の列を用いて、折り目を作ることなく球面を反転させることができるはずである。言い換えると、球面を折り目を作らずに反転させることができるということが、球面が自分自身を反転させることを許す限りでは可能である。

スメールの指導教員はラウル・ボットだった。彼は弟子にどうすればよいか尋ねると、スメールはまったく分からないと答えたが、自分の定理は完全に破壊できないと主張した。スメールは空間をイメージすることができなかったが、それには関係なかった（多くの幾何学者がそうである）。また、正直に言って、スメールが定理を証明した後、実際にどうやってその結果を実現するかには全く関心がなかった。すぐに別のテーマに移り、数学の同僚たちを大きな混乱に陥れた。私は、このような問題を作り出し、10年後に人々が解決策を見つけるのを放っておくのは、あまり親切ではないと思う。

頭の中で浸漬をイメージするのは結構難しい。しかし、R3ではこのように表現される以外に表現できない曲面も存在する。例えば、クラインの瓶である。

クラインの瓶

ここでは、トーラスのように、閉曲線の2つの集合からなるマッキングシステムと座標システムで表現されている。このようにして、クラインの瓶をマッキングしてもマッキングの特異点を生じさせない。しかし、この表面が必ず閉曲線、つまり円を介して自己交差していることが見える。したがって、これは埋め込みにすることができない。