球の裏返しと尖点の入れ替え
球の裏返し
2004年12月8日
ページ2
クロスキャップの尖点の入れ替え
これは、球の裏返しが「一体何に使えるのか？」というテーマでの短い間の話です。ここでは、クロスキャップの2つの尖点を入れ替えるために使われます。これは一見不可能に思えたことでした。私は約12年前にこの小さな工夫を考えました。これは一度も発表されたことはありません。しかし、このようなものをどこに発表すればよいのでしょうか？分からないところです。これは数学上の「主要な結果」ではありませんが、それなりに魅力的な練習問題です。以下では、多面体表現を使用します。右側は「丸い」クロスキャップ、左側はそのいくつかの多面体表現の一つです。
クロスキャップとその一つの多面体表現。
下の右の図では、自己交差線の端にある2つの尖点C1とC2を、球の一部と見なせる領域に収めています。私たちは球を裏返すことができることを知っています。したがって、このオブジェクトにも同じ処理を施すことができます。その変形の過程の詳細には関係なく、多面体的には立方体を裏返すということになります。
私たちはわかっているのは、操作の終わりには、2つの内包が現れ、それが初期のクロスキャップの「内部」にいる観測者が見るものと似たものになります（ただし、この表面は一方向性なので、「内部」という表現は不正確です）。
裏返した後、左側は立方体、右側は球
多面体表現はこのような操作を追跡するのに非常に便利です。残りは、これらの内包に指を入れて外へ引き出すだけです：
尖点C2を「外へ」引き出す
もし気に入れば、紙で多面体モデルを作ることができます。あるいは、誰かがVRMLでこれらのモデルを作成して、操作できるようにしてくれれば幸いです。
操作を完了させるだけです。
出発時の浸漬と同様のものに、尖点が入れ替わった状態で移行。
私はかつて、精神分析家ジャック・ラカンとの出会いについての記事を書くことを約束しました。クロスキャップは彼が「基本的な幻想」をモデル化するために使いました。彼は「中心の尖点」に注目し、もう一つの尖点は無視していました。この中心部では、「言語的ペニス」または「小物体a」というものを位置付けていました。私は後でその話をしてあげます。とにかく、ラカンはこれらの尖点が「父-変換」される可能性を予期していませんでした。実際、彼がこの言語的・幾何学的・精神分析的なモデルについて話したとき、私は眉をひそめ、このクロスキャップで2つの尖点が異なる役割を果たす可能性を想像しました。そして、その次の瞬間、ただその質問をしただけで、それらを入れ替える方法を見つけました。ラカンはそのとき非常に驚いていたのを覚えています。彼の基本的な幻想は、一つではなく二つの言語的ペニスを持つことになりました。彼のすべての理論はこのオブジェクトを中心に構築されていました。しかし、私はすぐに代替案を提示し、言語的ペニスをボーの表面の唯一の極に位置付けました。これにより、彼は非常に満足して元の状態に戻ることができました。
この出来事は彼の死の少し前のことでした。私が確認した限り、この精神分析的・幾何学的な再配置は、ラカンの精神分析家コミュニティ内でまだ広がっていないようです。
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