球の反転
球の反転
2004年12月7日
ページ3
基本的な災害。
私たちはすでに上記で、我々が考慮していた浸漬は、それらの自己交差集合に沿った接平面が、もし存在するならば、別々に保たれていると述べました。このような場合、4つの基本的な災害を用いて、一つの浸漬からもう一つの浸漬へと移行することが可能です。モーリンはそれらに名前を付けており、以下の図に示されています。最初のものは閉曲線の生成（およびその逆の消滅）に導きます。これは、例えば、コップの水に手をつけて温度を確かめるときに行われる動作です（左図）。図a4では、表面が一点で接触しています。a5では自己交差曲線が生成されています。以降のテキストでは、この操作を「肘の災害」と呼びます。
「肘の災害」：閉曲線の生成と消滅
2番目の災害は「ミカンのスライス」です：
「ミカンのスライス」の生成と消滅という災害
これらの画像を左から右へよく見ると、放物線の円筒が二面角に近づいているのがわかります。自己交差集合は、2本の放物線のような曲線で構成されており、それらは互いに離れており、もちろん二面角の辺も含まれます。中央の図では、二面角の辺が円筒の母線の一つと接触しています。この点で、辺は円筒に接しています。自己交差集合は、2本の放物線のような曲線で構成されており、これらは一点で接しており、二面角の辺も含まれます。右の図では、放物線の円筒が動きを続けました。自己交差曲線が変化しました。これは二面角の辺と、二面角の辺上に2点で交差する放物線の曲線から構成されています。逆に、放物線の円筒が静止しており、2つの「切断平面」が移動していると考えることもできます。右の図は、まるで2回の斧の打ち方や鋸で行われた2つの切断を連想させます。切りくずも描かれています。モーリンはこれを「ミカンのスライス」と比較し、非常に説得力がありました。
3番目の災害は「パンツ」です。
「パンツ」の災害
図は十分に説明的です。左から右へとパンツが水に沈んでいきます。左側では鳥が股間をくぐりますが、魚は片方の足の内部に閉じ込められています。右側では魚が通り抜けますが、鳥が通っていた道はなくなります。中央では中間の状態です。重要なのは、交差曲線の局所的な変化であり、これは「手術」として知られる、曲線の弧の接続の変更に相当します。この変換をよく理解するように試みることをお勧めします。これは球の反転のホモトピーにおいて最も困難で、よく見えるようにする必要があります。この災害が、ある道を閉じる一方で、直角方向に別の道を開くことをしっかり覚えておいてください。
4番目で最後の災害は「四面体の反転」です：
四面体を反転させる災害
自己交差曲線は、四面体の4つの辺の延長線上の4つの「直線」から構成されています。左の図では、この四面体が外側に灰色の面を見せています。右の図では、逆に面はピンク色です。中央では中間の状態です：四面体は点Q（4つの面の交点で、4重の点）に縮小されています。
これらの4つの災害を用いて、連続的な横断的浸漬の系列を通じて球を反転させることを考えます。この変種は数学者（盲人）のベルナール・モーリンによって考案されました。私たちの出会いは価値のあるものです。ある日、文学院の技術者が、幾何学について話す講演者に私の描画の才能を提供するよう私に依頼しました。私は疑いもなくその会合に赴きました。私はいつも空間内の物体をよく見ることができ、数学の上級課程の教授が幾何学的描写の問題を提示するたびに、私は交差を描き、その同時にも透視図を描いていました。しかし、今回は状況が異なりました。
私は上記の図を描くことには特に困難を感じませんでした。しかし、球の反転を含む図式にそれらを統合する必要があると、私は完全に混乱してしまいました。複数の層が重なっていることに対処するのに苦労しました。私は激しく怒って、この人物に再び会いに行きました。彼は視力を失っていたにもかかわらず、形の展開において私よりはるかに馴れていました。それ以来、私は数か月間彼の授業を受けました。対話は非常に複雑でした。彼は言葉だけに頼っていました。私は彼に私の絵を説明するか、家に帰って作成したモデルを彼の手に渡すか、あるいは後に現地で作成したモデルを渡すことができました。これらの対話は、まるで超現実的で、次のようなものでした：
- 2本の曲線が、卵をかき混ぜるための Whip のように結合する想像をしてみてください。
この人物の性格が難しかったにもかかわらず、私はその出会いを忘れることができませんでした。私は結局、作業セッションの前に2つのアスピリンを飲む習慣をつけることになりました。彼の性格は、妻が彼につけたあだ名「祝福された稲妻」にまとめられます。これはエラーゲの「ティンティン・アット・チベット」に登場するキャラクターです。モーリンの恨みは、伝説的で逆転不可能なものでした。彼は、すでに亡くなった敵について話すことがあり、次のように言いました：
- ときには、彼らに少し呪いを送ってやる。もし彼らに悪影響を与えなくても、少なくとも良い影響を与えないだろう。
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