球の反転
球の反転
2004年12月7日
ページ3
基本的な災害。
私たちはすでに上記で、私たちが考慮していた浸漬（インマージョン）が、その自己交差集合に沿った接平面が、もしそれらが存在する場合、別々のまま残るようなものであることを述べました。このような場合、4つの基本的な災害を用いて、一つの浸漬からもう一つの浸漬へと移行することが可能です。モーリンはそれらに名前をつけており、以下の図に示されています。最初のものは閉曲線の生成（およびその逆の消滅）に導きます。これは、水槽の水に手をつけて温度を確かめるときのように、肘を水に浸すときに起こります（左）。図a4では、表面は一点で接触しています。a5では自己交差曲線が生成されています。以降のテキストでは、この操作を「肘の災害」と呼びます。
「肘の災害」：閉曲線の生成と消滅
2番目の災害は「ミカンのスライス」です：
「ミカンのスライス」の生成と消滅という災害
これらの画像を左から右に見ていくと、放物線の円筒が二面角に近づく様子がわかります。自己交差集合は、2本の放物線のような別個の曲線と、当然ながら二面角の辺から構成されます。中央の図では、二面角の辺が円筒の母線の一つと接触しています。この点で、辺は円筒に接しています。自己交差集合は、一つの点で接する2本の放物線のような曲線と、二面角の辺から構成されます。右の図では、放物線の円筒が動きを続けました。自己交差曲線が変化しました。これは二面角の辺と、この辺上に2点で交差する放物線のような曲線から構成されています。逆に、放物線の円筒が静止しており、2つの「切断面」が移動していると考えることもできます。右の図は、2つの斧打ちや鋸で切ったような状況を連想させます。切りくずも描かれています。モーリンはこれを「ミカンのスライス」と比較し、非常に説得力のある表現でした。
3番目の災害は「パンツ」です。
「パンツ」の災害
図は十分に説明的です。左から右へとパンツが水に下がっていきます。左では鳥が股間をくぐりますが、魚は片方の足に閉じ込められています。右では魚が通過しますが、鳥が通っていた道は無くなっています。中央では中間の状態です。重要なのは、交差曲線の局所的な変化であり、これは「手術」として知られる曲線の弧の接続の変更に相当します。この変化をよく理解してください。これは球の反転のホモトピーにおいて最も困難で、よく見えるようにする必要があります。この災害が同時に一つの通路を閉じ、別の通路を開くことをしっかり覚えておいてください。
4番目で最後の災害は「四面体の逆転」です：
四面体を逆転させる災害
自己交差曲線は、四面体の4つの辺の延長線上の4つの「直線」から構成されています。左の図では、この四面体が外側に向かって灰色の面を見せています。右では逆で、面はピンク色です。中央では中間の状態：四面体は点Q（4つの面の交点で、四重の点）に縮小しています。
これらの4つの災害を用いて、連続的な横断的浸漬の系列を使って球を反転させることを考えます。このバージョンは数学者（盲人）のベルナール・モーリンに由来します。私と彼の出会いは記述する価値があります。ある日、文学部の技術者が、幾何学について話す講演者に私の描画の才能を提供するよう私に依頼しました。私は疑いもなくその会合に出席しました。私はいつも空間内の物体をよく見ることができ、数学の上級課程の教授が幾何学描画の問題を提示するとき、私は交差を描き、その同時にも透視図を描いていました。しかし、今回は状況が異なりました。
私は上記の図を描くことに何の困難もありませんでした。しかし、球の反転を含む図式にそれらを統合する必要があると、私は完全に混乱してしまいました。複数の層が重なったものを目の前にして、私は手も足も出ませんでした。傷ついたプライドで、私はこの人物に再び会いに行きました。彼は視力を失っていたにもかかわらず、形の展開において私よりずっと快適そうでした。それ以来、私は数か月間彼の授業を受けました。会話は非常に複雑でした。彼は言葉だけに頼っていました。私は彼に私の絵を説明するか、自宅で作った模型を彼の手に渡すか、その後現地で作った模型を渡すことができました。これらの会話は、非常に非現実的で、次のようなものでした：
- 二つの曲線が、卵をかき混ぜるための鞭のように結合する想像をしてみてくれ。
この人物の性格が難しかったにもかかわらず、これらの出会いは私にとって忘れられないものでした。私は最終的に、作業のセッションの前に2つのアスピリンを飲む習慣をつけることになりました。彼の性格は、妻が彼につけたあだ名、「祝福された稲妻（Foudre bénie）」にまとめられます。これはエラーゴーの「ティンタイン・オブ・チベット」に登場するキャラクターです。モーリンの恨みは、伝説的で、取り消しが不可能でした。彼は時折、亡くなった敵について次のように言いました：
- たまに、彼らに来世で小さな呪いをかけます。もし彼らに悪影響を与えないとしても、少なくとも良い影響を与えないでしょう。
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