数学的災難の球面反転

球面反転

2004年12月8日

ページ4

ベルナール・モーリンのバージョン

1979年のB.モーリンとJ.P.ペティットの論文のPDFバージョンをダウンロードするには、Pour la Scienceに掲載されたものです。

球面の反転 (2.8 MB)

外側に灰色の面、内側にピンクの面を向ける球面から始めます。bとcでは、極が接触します。その後、層が「肘の災難（catastrophe du coude）」に沿って重なっていきます。閉じた自己交差曲線が生成されます。下部右側の3つの半切断により、得られた構造がより明確になります。この段階では、球面は「空気船」のような円形で、二重の壁を持つ「バウドン（boudin）」と「床（plancher）」に似ています。

第一段階：「肘の災難」。閉じた自己交差曲線の生成

第二の操作：新たな「肘の災難」、第二の閉じた自己交差曲線の生成。

第二の閉じた自己交差曲線の生成。

これを実現するために、「空気船」はねじれの動きで折りたたまれ、対向する「バウドン」の2つの部分を接触させました。次の図は、2つの災難によって「ミカンのスライス」が生成された結果です。

ミカンのスライス2つの生成後

左側ではモデルに切断が施されています。中央では、局所的に断面がギリシャ文字「ガンマ（gamma）」の形をしている2つの円筒が相互に貫通した様子が示されています。ミカンのスライスの災難は、二つの平面で「丸太（bûche）」を切断することによって起こりました。ガンマの断面を持つそれぞれの円筒には、丸みを帯びた断面と二面角が含まれています。図iをよく見てください。図jでは、自己交差全体が描かれています。最も大きな閉じた曲線は、最初の「肘の災難」によって球面が「空気船」に変形した際に生成されたものです。ミカンのスライス2つを生成した後、より複雑な構造が得られ、図jはその部分集合です。図j"では、この構造が四面体の非隣接な2つの辺に沿って配置された2つのミカンのスライスに似ていることがわかります。

将来的にはアニメーションを作成することで、これらははるかに理解しやすくなるでしょう。技術的には何の問題もありません。これは時間の問題です。空間を読み取ることができ、つまり線、点線、色、影、反射といったコードを理解し、頭の中でその動きを想像して変形を連鎖させることができる人は非常に少ないのです。いつかこれらのことをすべて行う時間ができることを願っています。その間、ポリヘドロンモデルを使うこともできます。私はクロスカップをボーの表面に変える方法を示すためにそれを行いました。それが未来です。しかし、これらのモデルは自分で考案する必要があります。後ほど、ベルナール・モーリンが考案したこの変換の中心的なモデルの最適化されたポリヘドロンバージョンと、その作成方法が示されています（彼は盲人です！）。

なぜ私はこれ以上深く追求しなかったのか？それは「出口」がなかったからです。数学の雑誌はこのような研究を掲載することを拒否しています。1975年から1978年にかけて、パリ科学アカデミーの『Comptes Rendus』にいくつかのノートを掲載することができました。おそらくそれらはほとんど誰にも読まれていなかったでしょう。しかし、アカデミックのアンドレ・リクネロヴィッチがこれらの研究に個人的に関心を持っていたからです。彼は今では亡くなりました。これらの研究は1975年にはすでに完全に完了していたので、私の図をもとにアニメーション映画を作成するのが望ましかったです。私はアニメーションの作業に携わっていたので、このようなプロジェクトを調整する能力がありました。しかし、CNRSでは資金を調達することが不可能でした。最終的に、アメリカの数学者ネルソン・マックスが、彼の同僚チャールズ・プークがこのバージョンの球面反転のモデルを作成したのを参考にし、高性能なコンピュータを使用して、最初の映画を作成しました。しかし、これはフランス人が努力しても誰も反応しない中で、より組織的で支援が得られる外国の同僚に先を越されることが、これまでもこれからも何度も起こるのです。

第三段階、最も理解しにくい段階に移ります。

「パンツの災難（catastrophe du pantalon）」の2つの準備

図kでは、「パンツの脚」の2つの端が明確に見え、その詳細は前面のk'に示されています。白い矢印は「股間を通る」経路を示しています。この変形は本当に理解するのが難しいです。私がよりよく説明できるようにするために図mを追加しました。図lでは点線を使って自己交差曲線を示し、全体はl'に示されています。矢印の通る経路が閉じます。この閉じる動きは、曲線の交差部分の上昇を伴います。これらの曲線の端は、それぞれ「ミカンのスライス」に属する線に接触します。接触が起こると、手術が行われます。困難なのは、前のページで4つの基本的な災難を見た後、すべての角度からそれらを転写できる必要があります。必要であれば首をひねって見なければなりません。図nでは、手術が行われる「臨界時刻（moment critique）」、つまり変換の「中間状態（situation médiane）」が示されています。このとき、曲線の端の接続方法が変更されます。この「パンツの災難」は「一つの経路を閉じ、別の経路を開く」と知られています。初期の経路は白い矢印で示されています。しかし、モデルを垂直軸を中心に180度回転させれば、同じ角度から別の経路が見えるでしょう。これらの矢印は1つにまとめられます。これらの災難が起こる前には、この「折りたたまれた空気船」の中を移動することが可能です。しかし、これらの災難が効果を発揮すると、この経路はもう通れなくなります。一方で、他の2つの経路が新たに生成されます。しかし、どこに、どの空間の部分が関係しているのでしょうか？これらの経路はミカンのスライスの内部と外部をつなぎます。図l'では、ミカンのスライスが見えています。次の段階に進みましょう。

経路の閉鎖。二重の臨界状態へ

図oでは、2つの「パンツの災難」が2つの異なる段階で示されています。一方の経路は完全に閉じています。臨界状態にあり、曲線の弧が接続方法を変える直前です。右側（図o'の詳細）では、経路はまだ閉じようとしています。したがって、自己交差曲線o"の形は左右で異なります。図p、p'、p"では、両側で臨界状態（変換の「中間状態（situation "médiane"）」）に達しています。次の図では、手術が行われました。チューブ...