数学的災害の球面反転

球面の反転

2004年12月8日

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ベルナール・モーリンのバージョン

1979年のB.モーリンとJ.P.ピエの論文のPDFバージョンをダウンロードするには、Pour la Scienceに掲載されたものです。

球面の反転 (2.8 MB)

ここでは、外側に灰色の面を、内側にピンクの面を向ける球面から始めます。bとcでは、極が接触するようにします。その後、層が「肘の災害」として交差します。閉じた自己交差曲線が生成されます。下部および右側の3つの半分の切断により、得られた構造がよりよく理解できます。この段階では、球面は「空気船」のような円形で、二重壁の「バウンド」および「床」を持つように見えます。

第一段階：「肘の災害」。閉じた自己交差曲線の生成

第二の操作：新たな肘の災害、第二の閉じた自己交差曲線の生成。

第二の閉じた自己交差曲線の生成。

これを実現するために、「空気船」はねじれの動きで折りたたまれ、対向する「バウンド」の2つの部分を接触させました。次の図は、2つの災害によって「ミカンのスライス」が生成された結果です。

2つの「ミカンのスライス」が生成された後

左側ではモデルに切断が施されています。中央では、局所的に断面がギリシャ文字「ガンマ」の形をしている2つの円筒が交差した様子が示されています。ミカンのスライスの災害は、二つの平面で「丸太」を切断することによって起こると記憶されています。断面が「ガンマ」形をしている各円筒には、丸みを帯びた断面と二面角が共存しています。図iをよく見てください。jでは、自己交差の全体が描かれています。最も長い閉じた曲線は、最初の「肘の災害」によって球面が「空気船」に変化した際に生成されたものです。2つのミカンのスライスが生成された後、より複雑な構造が得られ、jはその部分集合です。j"では、この構造が四面体の非隣接な2つの辺に配置された2つのミカンのスライスの組み合わせに似ていることがわかります。

いつかこれらのことがもっと簡単に理解できるようになることを願っています。技術的には問題ありません。時間の問題です。空間を読み取ることができ、つまり線、点線、色、影、反射といったコードを理解し、頭の中で変換を連ねて提示された動きを想像できる人は稀です。いつかすべてのことをする時間を持ちたいと思っています。その間、多面体モデルを使用することもできます。私はクロスキャップをボーの表面に変換する方法を示すためにそれを行いました。それが未来です。しかし、これらのモデルは自分で考案しなければなりません。後ほど、ベルナール・モーリンが考案したこの変換の中心的なモデルの最適化された多面体バージョンが示され、自分でどのように作るかの方法も示されます（彼は盲目であることを思い出してください）。なぜ私はこれ以上深く進まなかったのかというと、それは「出口」がなかったからです。数学の雑誌はこのような研究を掲載することを許しませんでした。1975年から1978年にかけて、パリ科学アカデミーの『Comptes Rendus』にいくつかのノートを掲載することはできましたが、おそらく誰も読んでいませんでした。それは、アカデミックのアンドレ・リクネロヴィッチがこの研究に個人的に関心を持っていたからです。彼は今では亡くなりました。これらの研究は1975年にはすでに完全に完了していたので、私の描いた図をもとにアニメーション映画を作成するのが望ましかったです。私はアニメーションの作業に携わっていたので、このようなプロジェクトを調整する能力がありました。しかし、CNRSで資金を調達することは不可能でした。結局、アメリカの数学者ネルソン・マックスが、彼の同僚チャールズ・プークによって作られたこのバージョンの球面反転のモデルを参考にし、強力なコンピュータを使用して、最初の映画を作成しました。しかし、これはフランス人が努力したにもかかわらず、外国の同僚に先を越されることが、これまでもこれからも続くことになります。

第三段階、最も理解するのが難しい段階に移ります。

「パンツの災害」の2つの準備

図kでは、「パンツの足」の2つの端が明確に識別でき、その詳細は前景のk' に示されています。白い矢印は「股間を通る」経路を示しています。この変換は本当に理解するのが難しいです。私はよりよく説明するために図mを追加しました。lでは、点線を使って自己交差曲線を示し、全体はl' に示されています。矢印の通る経路が閉じるようになります。この閉じる動きは、交差曲線の一部が2か所で上昇します。これらの曲線の端は、それぞれ「ミカンのスライス」に属する線に接触します。接触が起こると、手術が行われます。困難なのは、前ページで4つの基本的な災害を見た後、あらゆる角度からそれらを転写できる必要があることです。必要であれば首をひねって見なければなりません。nでは、手術が行われる「臨界の瞬間」（変換の「中間状態」）が示されています。このとき、曲線の端の接続方法が変更されます。この「パンツの災害」は「一つの経路を閉じ、別の経路を開く」と知られています。初期の経路は白い矢印で示されています。しかし、モデルを垂直軸を中心に180度回転させると、同じ角度から別の経路が見えるでしょう。これらの矢印は1つにまとめられます。これらの災害が起こる前は、この「折り畳まれた空気船」を通過することが可能です。しかし、これらの災害が起こると、その経路はもう通れなくなります。一方で、他の2つの経路が生成されます。しかし、どこで、どの空間の部分が関係しているのでしょうか？これらの経路はミカンのスライスの内部と外部を結びます。l' では、ミカンのスライスが見えます。次の段階に進みます。

経路の閉鎖。二重の臨界状態へ

oでは、2つの「パンツの災害」が異なる段階で示されています。一方の経路は完全に閉じています。臨界状態にあり、曲線のアーチが接続方法を変える直前です。右側（図o' の詳細）では、経路が閉じ始めています。したがって、自己交差曲線o"の右と左の形状は異なります。図p、p' 、p"では、両側で臨界状態（変換の「中間状態」）に達しています。次の図では、手術が行われました。チューブ...