トーラスの反転（トポロジー）
トーラスの反転
2004年12月9日
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これらの研究の結果の一つ：トーラスの自明な反転
球を反転させることにどれほど難しかったかを考えると、一方で、トーラスを反転させるのは非常に簡単です。10歳の子供でもできるでしょう。というのも、トーラスは単に球にハンドルをつけたものです。クロスキャップの2つの尖点を入れ替えるように、球を疑問を抱かずに反転させます。その結果、ハンドルは内側に来ます。いわば「橋」が「トンネル」に変わります。しかし、道路工事の技術者なら誰でも知っているように、道路網におけるあらゆるトンネルは、正則なホモトピーによって点に変換できます。
球を反転させた後、このトンネルに指を挿して、ちょっと引き上げるだけでよいのです。以下の図を参照してください。
トーラスの自明な反転
この図ではやや見えにくいですが、aにはトーラスの生成円の一つが示されています。この円は、メッシュの特異点を作ることなくトーラスを地図化するための二つの円のグループの一つを構成しています（『トポロジコン』参照）。ハンドルが球の一部に集められたとき、bではこの曲線が常に見えるままです。球のハンドルが反転され、cになると、操作者がトンネルに指を挿すと、この曲線はその指を囲みます。ハンドルを「取り出す」とき、dでは最終的な画像e（反転したトーラス）を見て、この円が表面の「首輪」の円になったことがわかります。したがって、メルジアンとパラレルの円の二重ネットワークによって地図化されたトーラスから始めると、反転操作がこれらの二つのグループを入れ替えることがわかります。これはまるで魔法のように感じられ、個人的にはその理解を超えています。誰もが自分の限界を知らなければならないと思います。私は個人的に、ある種の思考プロセスでは脳にヒューズが必要だと考えています。
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