トーラスの反転（トポロジー）
トーラスの反転
2004年12月9日
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これらの研究の結果の一つ：トーラスの自明な反転
球体を反転させることがこれほど難しかったのに対し、一方で、これに基づいてトーラスを反転させるのは非常に簡単です。10歳の子供でもできるでしょう。というのも、これは球体にハンドルがついたものです。クロスキャップの2つの尖点を入れ替えるように、疑問を抱くことなく球体を反転させます。その結果、ハンドルは内側に来ます。いわば「橋」が「トンネル」に変わります。しかし、道路網におけるトンネルは、正則なホモトピーによって点に変換できることが、すべての建設技術者に知られています。
球体が反転した後、このトンネルに指を差し込み、強く引けばよいのです。以下の図を参照してください。
トーラスの自明な反転
この図ではやや見えにくいですが、aにはトーラスの生成円の一つが示されています。これらは、メッシュの特異点を作ることなくトーラスを地図化するための二つの円のグループの一つを構成しています（『トポロジコン』を参照）。ハンドルが球体の一部の領域に集められたとき、bではその曲線が常に見えます。球体のハンドルが反転したとき、cでは、操作者がトンネルに指を挿入すると、この曲線はその指を囲みます。ハンドルを「引き出す」とき、dでは最終的な画像e、つまり反転したトーラスを見ることができます。この円は、表面の「首輪」の円に変わりました。したがって、メルジアンと並行する円の二重ネットワークでトーラスを地図化した場合（首輪の円はこの後者のグループに属する）、反転操作がこれらの二つのグループを入れ替えることがわかります。これはまるで魔法のように感じられ、私自身の理解を超えています。それぞれが自分の限界を知るべきです。私は個人的に、ある種の思考プロセスにおいて、脳にはフューズが必要だと考えています。
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