クラインのトーラスの裏返し
トーラスの裏返し
2004年12月9日
ページ6
トーラスの非自明な裏返し **
**J.P.Petit : ** **
アカデミー・デ・サイエンスの報告。
293巻、1981年10月5日開催、第1部、pp. 269-272
私は図の続きのみを提示し、それらの説明は省略します。
トーラスの非自明な裏返し。変換の第一段階
トーラスの非自明な裏返し。変換の第二段階
図vに到達すると、グレイとローズの構造を一致させ、この物体をクラインの瓶の二重被覆に変えることが容易であることがわかります。
この時点で、対応する層を入れ替えることで裏返しが行われます。以下は、同じ図で色符号化を施したものです。
クラインの瓶の二重被覆、色符号化付き
（この図は私のCNRS年次報告には含まれていません。Topologiconで見つかります）
トーラスのさまざまな族。
1957年にステファン・スメールが証明したのは、球面の浸漬には1つの族しかなく、それらはすべてホモトピーによって結びついているということでした。これらは、元の物体をそのままにしておくことである単位元を持つ群をなしていました。トーラスの場合も同じことが成り立つかどうか疑問に思われました。数学者のIoan JamesとEmery Thomasは、トーラスの浸漬が4つの大陸に分かれており、それらの間を滑らかなホモトピーによって移動することは不可能であることを示しました。
トーラスの4つの族
中央に描かれた「標準的なトーラス」は、図bに示された物体と同じ族に属します。これは私が1980年に考案したトーラスの裏返しのバージョンで、その際に示したものです。述べられているaの族は、360度ねじれたトーラスを表しています。これは標準的なトーラスに似ていますが、それぞれはその地図のシステム、つまり2つの曲線の族から定義されます。標準的なトーラスでは、メルカトル線と並行線に似た2つの円の集合を使用します。aのトーラスでは、その上に貼られた円の族に、逆方向にねじれたもう1つの円の族を追加する必要があります。その結果、滑らかなホモトピーによってaのトーラスのメッシュを標準的なトーラス（メルカトル線と並行線の円）のメッシュと一致させることは不可能であることが示せます。このような意味で、これらは異なる物体です。これらのすべての物体は、もちろんクラインの瓶の二重被覆として構成できます。
幾何学者の道具の力は、何が可能で何が不可能かを予測できるということです。標準的なトーラスを図bのトーラスに変えること：可能。cからdへ移ること：不可能。
これは無駄な時間を費やすことを避け、特に明らかでないことを探求するよう促します。例えば、球を裏返すことです。これはすべての科学において同様です。人々は、それが不可能だと信じているため、何年もの間、あるいは何世紀もの間、有益なアプローチを無視してしまうことがあります。私は、ガス中で超音速で移動する物体の周囲で衝撃波を除去する理論を構築するために、ラプラスの力場、つまり「MHD」を用いることに数年を費やしました。私はそのテーマについて修士論文を書いた学生がおり、私たちはそれらの研究成果をさまざまな査読付き雑誌や科学会議で発表しました。これは30年後にようやく注目されるテーマとなりました。アメリカ人は、衝撃波を発生させることなくマッハ10で飛行できる超音速飛行機を保有していると推測されています（特に衝撃波の後で空気が再圧縮されることによる膨大な熱的ストレスを受けることなく）。これは有名な「オーロラ」という都市伝説であり、オーロラが発生する高度（80〜150 km）で飛行する飛行機です。オーロラは、空気を基盤としている将来の宇宙飛行器の前駆けであり、Cnesのロケットよりもはるかに経済的になります。フランスでは、1975年に私がこのアイデアを持っていたにもかかわらず、このような研究を開始することは不可能でした。なぜなら、特にCNRSの人々は、それらを完全に非現実的だと考えていたからです。その結果、米国に対して30年間の遅れが生じたと考えていますが、これは完全に取り戻すことはできません。
タバコ袋のジョーク
完全にするために、タバコ袋を中央に据えた球の裏返しのバージョンについて言及する必要があります。これは私が若かった頃によく使われていたものでしたが、現在ではほとんど見かけません。これらのシーケンスを最初に描いたのはジョルジュ・フランシスでした。ここ数年、私はこれらのバージョンの多面体バージョンに取り組んでおり、すでに非常に美しい中心モデルを得ています。しかし、それをあなたに見せるには、それを再び見つける必要があります。できるだけ早く、というのも、これは私が作った中で最も魅力的な物体の一つだからです。
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