クラインのトーラスの反転
トーラスの反転
2004年12月9日
ページ6
トーラスの非自明な反転 **
**J.P.Petit : ** **
アカデミー・デ・サイエンスの報告。
第293巻、1981年10月5日開催、第1部、pp. 269-272
私は図の続きだけを提示し、それらを解説しないことにします。
トーラスの非自明な反転。変換の第一段階
トーラスの非自明な反転。変換の第二段階
図vに到達すると、グレイとローズの構造を一致させ、このオブジェクトをクラインの瓶の2枚の層を持つ被覆に変えることが容易であることがわかります。
この時点で、対応する層を入れ替えることで反転が行われます。以下は、同じ図に色コードを加えたものです。
クラインの瓶の2枚の層を持つ被覆、色コード付き
（この図は私のCNRS年次報告書には含まれていません。Topologiconで見つかります）
トーラスのさまざまな族。
1957年にステファン・スメールが示したのは、球面の浸漬には一つの族しかないこと、そしてそれらはすべてホモトピーによって結びついているということでした。これらは、元がそのままのオブジェクトである単位元を持つ群をなしていました。トーラスの場合も同じことが成り立つかどうかが問われました。数学者のIoan JamesとEmery Thomasは、トーラスの浸漬が4つの大陸に分かれていることを示し、それらの間を滑らかなホモトピーによって移動することは不可能であることを示しました。
トーラスの4つの族
中央に描かれた「標準的なトーラス」は、図bに示されたオブジェクトと同じ族に属します。これは私が1980年に考案したトーラスの反転のバージョンで、その際に示したものです。この説明に登場するaは、360度のねじれを受けていたトーラスを表します。これは標準的なトーラスに似ていますが、それらはそれぞれの地図システムから定義され、2つの曲線の族によって定義されます。標準的なトーラスでは、メルカトル線と並行線としての2つの円の集合を使用します。aのトーラスでは、その上に貼られた円の族に、逆方向にねじれたもう一つの円の族を追加する必要があります。このようにして、滑らかなホモトピーによってaのトーラスのメッシュを標準的なトーラス（メルカトル線と並行線の円）のメッシュに一致させることは不可能であることが示せます。この意味で、これらは異なるオブジェクトです。これらのオブジェクトはすべて、クラインの瓶の2枚の層を持つ被覆として構成できます。
幾何学者の道具の力は、何が可能で何が不可能かを予測できるということです。標準的なトーラスを図bのトーラスに変えることはできます。cからdへ移ることはできません。
これは無駄な時間を費やすことを避け、特に明らかではないことを探求するよう促します。例えば、球を反転させることです。これはすべての科学において同様です。人々はしばしば、それらが不可能だと信じるために、何年もの間、あるいは何世紀もの間、有益なアプローチを無視してしまいます。私は、ガス中で超音速で移動する物体の周囲で衝撃波を抑えるための理論を、ラプラスの力場、つまり「MHD」を用いて構築するために数年間を費やしました。私はこのテーマについて修士論文を書いた学生がおり、私たちはこれらの研究をさまざまな査読付き雑誌や科学会議で発表しました。これは30年後にようやく注目されるテーマとなりました。アメリカ人がマッハ10で飛行できる超音速飛行機を持っており、衝撃波を作らず（特に衝撃波の後にある空気の再圧縮に伴う膨大な熱的ストレスを受けることなく）飛行できるという噂があります。これは有名な「オーロラ」という飛行機の話で、極光が発生する高度（80〜150キロメートル）で飛行します。オーロラは、空気を頼りに飛行する将来の宇宙打ち上げ機の前段階でもあり、CNESのロケットよりもはるかに経済的です。フランスでは、1975年に私がこのアイデアを持っていたにもかかわらず、このような研究を始めることが不可能でした。なぜなら、特にCNRSの人々はそれらを完全に非現実的だと考えていたからです。その結果、私はアメリカに30年の遅れを生じさせることになりました。これはおそらく取り戻すことが不可能なものです。
タバコの袋のジョーク
完全にするために、タバコの袋を中央に据えた球の反転のバージョンについて言及する必要があります。これは私が若い頃によく使われていたものでしたが、今ではほとんど見かけません。これらのシーケンスを最初に描いたのはジョルジュ・フランシスです。ここ数年、私はこれらのバージョンの多面体バージョンに取り組んでおり、すでに中央にかなり美しいモデルができています。しかし、それをあなたに見せるには、それを再び手に入れなければならないのです。できるだけ早く、というのも、これは私がこれまでに作った中で最も魅力的なオブジェクトの一つだからです。
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