宇宙論セミナー提案
2006年11月2日
アンドレイ・サハロフ宇宙論モデルの幾何学化
J.P. ペティット & G. ダゴスティーニ
2006年11月2日
ノーベル賞受賞者のアンドレイ・サハロフは、宇宙論分野における彼の業績についてはあまり知られていない（[1], [2], [3]）。一方、著者の一人（[7], [8], [9], [10], [11]）は、1977年から同様の研究に取り組んでおり、その業績に1984年にフランスで出版された『アンドレイ・サハロフ 科学論文集』[4]（1982年に英語で初版）を読むまで気づかなかった。
このモデルを概略的に定義すると、T対称性を含むものであり、サハロフが最初に懸念したのは、観測可能な我々の宇宙に反物質が存在しないことの説明である。T対称性を検討した後、サハロフはCPT対称な宇宙を提唱した[6]。
我々は、以下の道具を用いてこのアイデアを幾何学的に表現する。
・動的群
・運動量空間（群のリー代数の双対空間）
（参考文献：『動的系の構造』J.M. サリオ、1972年[12]）
ミンコフスキー空間の等距変換群であるポアンカレ群から出発する。運動量の成分数は群の次元、すなわち10に等しい。
これらの成分は次のように分類される：
・エネルギーEを表す1成分
・運動量ベクトルを構成する3成分
・サリオが「通過」と呼ぶ3成分
・残りの3成分は「回転」と呼ばれる。
（このアプローチにより、スピンが純粋に幾何学的な対象として現れることが可能となる。参考文献[12]、p.181）
ローレンツ群には4つの連結成分がある。
・1つ目は群の単位成分であり、空間も時間も逆転しない。
・2つ目は空間を逆転（P対称性）するが、時間は逆転しない。
・3つ目は時間のみを逆転（T対称性）するが、空間は逆転しない。
・4つ目は空間と時間をともに逆転（PT対称性）する。
サリオはローレンツ群の最初の2つの成分を統合し、「正時性部分群 L₀」と呼ぶ。この部分群の要素は、ある運動に対して時間の向きを保持する。残りの成分は「非正時性部分 L_A」となり、時間の逆転（T対称性）を実現する。
ローレンツ群に時空の並進を加えて得られるポアンカレ群もまた、4つの連結成分を持つ。
ポアンカレ群全体（4つの成分を含む）がその運動量空間に作用するとき、T対称性はエネルギーの符号の逆転を引き起こす（参考文献[12]、p.197、「空間と時間の逆転」、式(14.67)）。
カールツァは、相対論的質点に電荷を与えることは、その運動を5次元の空間（空間型）に埋め込むことと等価であることを示した。すなわち：
t, x, y, z, z
この「カールツァ空間」の点は、次のようなベクトルに対応する：
この幾何学に対応する動的群は、ポアンカレ群の中心拡張である。この群のカールツァ空間への作用は、次のように行列形式で表現できる：
Lは4×4行列であり、6次元のローレンツ群の要素である。
これは時空並進に対応する4次元ベクトルである。
fはスカラーである。このポアンカレ群の中心拡張は11次元であり、これは運動量の成分数に等しい。したがって、相対論的質点の運動をカールツァ次元（追加次元）を持つ空間に埋め込むことは、運動量にスカラー成分として「電荷」qが追加されることを意味する。
この群がその運動量空間に作用するとき、電荷の保存則を表す追加の関係が得られる：
q' = q
C対称性を現すためには、8つの連結成分を持つ群に移行する必要がある。その要素は次のように書ける：
この群が運動量に作用するとき、電荷への作用は次のようになる：
（参考文献[13]『幾何学と相対性』p.413）電荷共役とカールツァ次元の逆転の同一性が再確認される。これにより、C対称性の明確な幾何学的表現が得られた。
前述したように、ポアンカレ群にはP、T、PT対称性を実現する要素が含まれる。ローレンツ群の正時性部分群L₀に注目する。
これはローレンツ群の要素を、正時性部分群（m = +1）と非正時性部分（m = -1）に分離する便利な表現である。ポアンカレ群の要素は次のように再記述できる：
ポアンカレ群またはその中心拡張の非正時性成分は、エネルギーが負の粒子の運動を意味する。このような粒子がエネルギーが正の粒子と衝突すると、完全な消失（消滅）が起こる。
我々が認識する宇宙は、質量がゼロでない粒子と、質量がゼロの粒子（光子；ニュートリノの質量がゼロか非ゼロかは別として）から構成されている。これらすべての粒子は、相対論的質点の特別な運動にすぎない。
もし群のすべての成分が作用するものと仮定すれば、次のような存在が示唆される：
・エネルギーが負の質量がゼロでない粒子
・エネルギーが負の光子
物理的には、エネルギーが正の物体とエネルギーが負のT対称な物体が共存することは困難に思える。そのため、我々は非連結な運動空間を仮定することを提案した。
サハロフの考えに倣い、時間の矢が逆転した2つのCPT対称な宇宙の「葉」からなる宇宙を基本とする。
このアイデアを群論的に表現するため、葉のインデックス f = ±1 を導入する。
以下に、非連結な5次元空間に作用する次の群を考える。
この構成では、CPT対称性（zとxの逆転）は、葉のインデックスの逆転（f → -f）と一致する。
共作用作用の計算から得られる結果は：
Pは4次元運動量・エネルギーベクトルである。
f = 1に対応する運動空間にエネルギーが正の粒子が存在する場合、m = -1に対応する群の要素は、インデックスf（葉の変更）、エネルギーE、運動量p、電荷qをすべて逆転させ、CPT対称性を実現する。
物質と反物質の二重性（C対称性）は、2つの葉のいずれにも存在する。
以上により、アンドレイ・サハロフが当初提案したモデルの幾何学的記述が得られた。
次に、2つの葉（f = +1 と f = -1）を結ぶ境界空間について、より詳細な考察を行う。この境界空間では、1つの次元が消える必要がある。
我々の宇宙には、P対称性によって互いに導かれる運動が存在する。例：同じエネルギーだがヘリシティが逆の2つの光子（光の偏光現象）。
C対称性も我々の宇宙に存在する（反物質の明確な存在、宇宙線や衝突加速器における観測）。
しかし、これまでの実験や観測では、エネルギーが負の粒子の存在を確認できていない。
エネルギーは時間並進不変性に関連するスカラーである。境界空間（2つの葉を結ぶ空間）では、時間座標が消える。
したがって、2つの5次元葉（カールツァ空間）が存在し、それぞれが次の計量を持つ：
ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz² - dz²
符号は：
(+ - - - -)
この境界空間の計量は：
ds² = -dx² - dy² - dz² - dz²
符号は：
(- - - -)
この境界空間はユークリッド空間である。
これは以下の図に概略的に示される：
サハロフモデル（CPT対称な2つの宇宙葉）
2つの宇宙の境界空間はユークリッド空間
参考文献：
[1] A. サハロフ：「CP非保存と宇宙のバリオン非対称性」ZhETF Pis'ma 5: 32-35 (1967)；英訳 JETP Lett. 5: 24-27 (1967)
[2] A. サハロフ：「多葉宇宙モデル」研究所応用数学プレプリント、モスクワ、1970年
[3] A. サハロフ：「時間ベクトル逆転を伴う宇宙論モデル」ZhETF 79: 689-693 (1980)；英訳 Sov. Phys. JETP 52: 349-351 (1980)
[4] アンドレイ・サハロフ、科学論文集、エディション・アンソロポス、フランス、1984年（完売）
[5] Andrei Sakharov, scientific works, Marcel Dekker Inc. 270 Madison Avenue, NYNY 10016
[6] アンドレイ・サハロフ：「宇宙における反クォーク」N.N. ボゴリューボフ60歳記念講演、ナウカ、モスクワ、pp. 35-44
[7] J.P. ペティット：「時間の矢が逆向きのエナンチオモル宇宙」CRAS 1977年5月8日、t.285 pp. 1217-1221
[8] J.P. ペティット：「時間の鏡における像との相互作用する宇宙」CRAS 1977年6月6日、t.284、Aシリーズ、pp. 1413-1416
[9] J.P. ペティット：「双子宇宙宇宙論」Astronomy and Space Science 226: 273-307, 1995
[10] J.P. ペティット：「欠落している質量問題」Il Nuovo Cimento B Vol. 109 1994年7月、pp. 697-710
[11] J.P. ペティット、P. ミディ、F. ランズヒート：「ダークマターに対する双子物質」国際天体物理学・宇宙論会議「物質はどこに？」、マルセイユ、2001年6月25日-29日
[12] J.M. サリオ、『動的系の構造』Dunod出版、1970年；英訳『Dynamical Systems Structure』Birkhauser出版、1999年
[13] J.M. サリオ：『幾何学と相対性』Hermann出版、1964年
この文書をIAPに送付するにあたり添えた手紙。返信の有無について、読者の皆様にご報告いたします。
ジャン＝ピエール・ペティット
元CNRS研究部長
マルセイユ天文台
ヴィラ・ジャン＝クリスチャン
206 Chemin de la Montagnère
84120 パルティュ
2006年11月2日
パリ天文物理研究所所長様
98 bis Boulevard Arago 75 014 パリ
コピー：
セミナー提案書の本文。タイトル：
アンドレイ・サハロフモデルの幾何学化
所長様、
退職した天体物理学者として、かつてオモンが所長だった頃、貴研究所で、アンドレイ・サハロフが当初提唱したCPT対称な2つの宇宙葉からなるモデルに関する天体物理学および宇宙論の研究を発表した。
それは6〜7年前のことである。
この研究をさらに進展させたため、パリ天文物理研究所の研究者たちにこの成果を発表したいと考えています。
所長様におかれましては、何卒ご検討賜りますようお願い申し上げます。
敬具
ジャン＝ピエール・ペティット
元CNRS研究部長
この手紙には返信がなかった。
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