重力レンズ効果（負の質量による）
古典的一般相対性理論において、一定密度の物質で満たされた球体の内部および周囲の時空の幾何学（定常的）は、二つの結合されたメトリクスによって記述される。第一は「内部シュワルツシルトメトリクス」である：
条件：
第二は「外部シュワルツシルトメトリクス」である：
古典的な重力レンズ効果は、第二のメトリクスを用いて計算される。ここで、mは単純な積分定数であり、正に選ばれる。すると、質量を持つ粒子の平面的な軌道は、
で与えられる。ここで、
φは極角であり、uは幾何学的中心からの半径距離rの逆数である。光子は、
に従う。ここで、cは光の速度、hとlは軌道パラメータである。これは図10-aの古典的な模式図を与える。
ここで中心質量は単純な点質量に簡略化されている。では、(16)と(18)を見てみよう。質量密度の符号を変えることができる。
およびR
s
を−R
s
に変える。すると、次のようになる：
(16bis)
これらの解は結合され、負の質量で満たされた球体の内部および外部の幾何学を記述することができる。第一は、
の場方程式の解である。
第二はS = 0から得られる。1995年に参照[3]で導入されたように、負のレンズ効果が得られる。図10-bを参照。
図10-a：正の重力レンズ効果
図10-b：負の重力レンズ効果
我々は今や内部解を使うことができる。なぜなら、光子は仮定に基づき、負の質量のクラスタを通過できるからである（ニュートリノが太陽を通過するように）。しかし、ニュートリノを使用する望遠鏡は存在しない。では、観測への影響を見てみよう。第一は、重力レンズ効果によって引き起こされる赤方偏移の大きな銀河の明るさの減少である。実際、遠くに多くの弱い銀河が見つかる。古典的な解釈では、銀河の小規模なものが最初に形成され、その後重い対象に合体する。負のレンズは別の説明を提供する。では、負のレンズが、銀河や銀河クラスタの周囲で観測される強力なレンズ効果を説明できるかを見てみよう。まず、均一な物質分布（正または負の密度）は重力レンズ効果を生じさせない。非均一な分布のみがそうである。銀河が一定のタイプの穴を持つ均一な物質分布の中に組み込まれていると仮定してみよう。図11-aを参照。
図11：対象による正のレンズ効果と周囲の対称物質による負のレンズ効果の組み合わせ。全体的な効果の強化。
我々は、対称物質が球状の質量M（球状銀河または銀河クラスタ）を囲んでいることによる重力効果の強化を図式化した。第18節で示したように、一定密度の負の質量分布における球状の穴の重力場は、一定密度の正の質量で満たされた球体の重力場と等価である（図11-b）。図11-cでは、正の質量Mが重力レンズ効果に与える寄与を図式化した。主な効果（図11-c）は、穴によって光線が集束されることである。図11-aでは、この二つの効果が組み合わさっている。結論として、銀河や銀河クラスタの近くで観測される強力な重力レンズ効果は、正の質量を持つ不可視の暗黒物質が存在するという決定的な証拠ではない。別の解釈がある：対象は負の物質に囲まれている可能性があり、光線を集束させる。
異常物質または異常幾何学？
上述したように、物理学者は負の質量が私たちの宇宙に存在することを受け入れるのが難しい。さらに、古典的標準モデルはすべての答えを提供しない。例えば、反物質の初期物質がどこに行ったのかは誰も知らないため、宇宙の半分が欠けている。この問題は非常に厄介で、科学者は今や単に無視するようになった。1967年、A. Sakharovは「双子宇宙」がビッグバンによって生成された可能性を示唆した。この宇宙では時間の矢は逆転するかもしれない（[33]、[34]、[35]および[36]）。相互作用する宇宙対の考えは現在研究中である。Nima-Arkani Ahmed（バークレー大学物理学部）、Savas Domopoulos（スタンフォード大学物理学部）、Georgi Dvali（ニューヨーク大学物理学部）の最近の論文を参照[43]および[37]から[42]。
宇宙がM4多様体の2枚の被覆であると仮定する。
図12：多様体の2枚の被覆。
我々は、同じ座標系で記述できる2つの「共役点」MとMを結ぶ点対応を取得する。
我々は、この2枚の被覆に非単純連結な構造をメトリック（M4多様体の2点ファイバーに似た）を割り当てることができる。我々は、多様体に任意の数の異なるメトリックを割り当てることができる。それぞれのメトリックは、空間メトリックを定義する。
下位の多様体は、これらの空間メトリックのすべての点を結ぶ点対応を提供する。我々は、2つの結合されたメトリック空間FとFを得る。
ここでは、同じ双曲的シグニチャ(+ - - -)を持つ2つのリーマンメトリックを取る。これらのメトリックをgとgと呼ぶ。
これらの2つのメトリックから、測地線系を構築できるが、FとFが分離されているため、2つの測地線系も分離されている。結論として、これらのメトリックがゼロ測地線を提供し、光が両方の被覆でそれらを伝播すると仮定すれば、1つの被覆の構造はもう1つの被覆からは幾何学的に見えない。
古典的一般相対性理論では、場方程式（アインシュタイン方程式）に結びつけられた1つの被覆が考慮される。
それでは、均一で等方的な条件に対応する非定常解は、フリードマンモデルを提供する。定常解は、球対称性を持つが、方程式から得られる内部シュワルツシルト解（16）を提供する。
ここで、Tは球の内部で定数テンソル場であり、半径はr
o
である。
外部シュワルツシルト解（18）はS = 0から得られ、球対称性も持つ。
場方程式の選択は事前選択である。もしメトリック解が漸近的に平らでローレンツ的であれば、真空中での特殊相対性理論の有効性が保証される。ローレンツメトリックの周りで定常条件で級数展開を行うと、場方程式はポアソン方程式と識別できる。
さらに、ニュートン近似はニュートンの相互作用法則を提供する。フリードマン解に対応するモデルは観測される赤方偏移を提供する。局所的には、太陽の近くでの光線の曲がりや水星の近日点の進動も観測される。しかし最近、フリードマンモデルとハッブル定数の測定との間にいくつかの不一致が生じ、現在の宇宙論者は非ゼロの宇宙定数を再導入し、神秘的な「真空の反発力」に対応させている。
では、今度は2枚の被覆構造に戻る。2つのテンソル場TとTを導入し、それらが被覆FとFの内容を記述すると仮定する。メトリックgとgから、幾何的テンソルSとSを定義できる。4つのテンソルS、S、T、Tを、アインシュタイン方程式をもとにした2つの結合場方程式に結びつけることができる。
暗黒物質現象の最初の幾何的解釈。
以下の結合場方程式を考慮する：
これらは本質的に同一であり、gはgに等しい：被覆Fの測地線の画像は被覆Fの測地線になる。我々は2つの「並行宇宙」を得る。これらは重力のみで相互作用する。暗黒物質は、我々と同様の原子、中性子、陽子、光子から構成されていて、幾何学的に観測できない対称物質である。ニュートン近似を調べると、次のポアソン方程式を得る：
このモデルでは：
-
物質は物質を引きつける
-
対称物質は対称物質を引きつける
-
物質と対称物質は互いに引きつける。
しかし、これだけではすべての観測データを説明するわけではない：もし私たちの宇宙の隣接部分、アベル1942クラスタの近くに幾何学的に見えない暗黒物質が存在しても、その引力場が私たちの銀河やガスを捕らえなかった理由を説明できない。したがって、我々は以下の式系（参照[3]および[4]）を検討する：
暗黒物質現象の第二の幾何的解釈。
以下の結合場方程式系を考慮する：
注：これはg = -gを必ずしも含まない。ニュートン近似は第3節の仮説を支持する。次のポアソン方程式を得る：
我々は、双子宇宙、双子被覆が本質的に正の質量で満たされていると考え、場方程式の符号が私たちの被覆にいる観測者にとって負の質量のように見えることを好む。これを「見かけの質量」と呼ぶことができる。式(29) + (30)の対称性により、正のエネルギーと負のエネルギーの定義は純粋に任意である。古典的な局所的RGの検証はどうなるのか？この新しいモデルでは：
-
物質は物質を引きつける、ニュートンの法則に従って。
-
双子物質は双子物質を引きつける、ニュートンの法則に従って。
-
物質と双子物質は「反ニュートン的法則」に従って互いに反発する。
太陽系は宇宙の非常に密度の高い領域である。双子被覆の隣接部分では、双子物質は反発される。したがって、システムは非常に近くに：
に近い。第一の式はアインシュタイン方程式に等しいため、すべての古典的な検証が適用される。重力子はどうなるのか？彼らはどの経路をたどるのか？答えは2つの論点に依存する：
-
場方程式は、粒子の存在を無視し、測地線系のみを提供する宇宙のマクロ的記述を提供する。
-
さらに：重力子とは何か？
最近、[49]で、太陽から40〜60 AU離れた場所で、探査機Pioneer 10とPioneer 11に異常な長距離（負）の加速度が確認された。太陽に向かって（8.09 ± 0.20）× 10⁻⁸ cm/s²のモデル化されていない加速度（Pioneer 10）と（8.56 ± 0.15）× 10⁻⁸ cm/s²（Pioneer 11）が観測され、説明されて「理解されていない粘性抵抗力」とされた。同様に、Ulysses探査機では太陽に向かって（12 ± 3）× 10⁻⁸ cm/s²のモデル化されていない加速度が見つかった。この興味深い論文の完全な議論を参照。著者たちは次のように述べている：
「パラダイムは明らかである：暗黒物質なのか、重力の修正なのか？」。著者たちは指摘しているように、この現象を説明するために暗黒物質が使われると、合計の暗黒物質質量が3 × 10⁻⁴太陽質量より大きいことになり、天文暦の精度と矛盾する。3次元ニュートリノモデルもこの問題を解決できなかった[50]。他の研究者はニュートンの法則を修正し、ヤウカの力をつけ加えようとしている[51]。しかし、「この異常な加速度は、特に地球と火星の軌道では検出を逃れることはできないほど大きすぎる」と述べている。したがって、彼らはViking探査機のデータに焦点を当て、次のように結論付けている。「大きな誤差は、全体の惑星の天文暦と矛盾するだろう…もし宇宙船の回転に作用する異常な径方向加速度が重力的起源を持つなら、それは普遍的ではない。つまり、1000kg程度の物体よりも惑星サイズの物体に100倍以上強く影響を与えるだろう（…）、これは等価原理の奇妙な違反となるだろう。この謎めいた現象の別の解釈は、銀河内で星の間にある弱く反発的な双子物質の分布が、スパイラル構造のように、弱いポテンシャルバリアを形成することである。検討する必要がある。」
真空の反発力の問題。別の答え。
式(29)を観察すると、Tは「宇宙定数」として機能する。これは「双子宇宙の反発力」を表し、非定常結合解において役割を果たす可能性がある。均一性と等方性の仮定により、リーマンメトリックは次のようにロバートソン・ウォーカーの有名な形になる：
共役点間の距離（同じu、任意の点からの無次元の「半径距離」）は自動的に等しくない：
r = R u .......................
r = R u
座標の選択は、それぞれの被覆で自由であり、異なる宇宙時間を持つことができる：
.
t
および
t R = c T R R = c T R
我々は、以下の式を用いて場方程式を無次元形式に変換する：
その後、無次元形式に書かれたこれらのテンソル：
最終的に、我々は4つの2次結合微分方程式を得る（古典的アプローチでは2つ）：
我々は追加の仮定が必要である。両方の宇宙が放射時代に「並行な人生」を持つと仮定する。つまり：
これは曲率インデックスの負（k = k = -1）を強制する。その後、
外部シュワルツシルト解（18）はS = 0から得られ、球対称性も持つ。
場方程式の選択は事前的な決定である。もしメトリック解が漸近的に平らでローレンツ的であれば、真空中での特殊相対性理論の有効性が保証される。ローレンツメトリックの周りで定常条件で級数展開を行うと、場方程式はポアソン方程式と識別できる。
さらに、ニュートン近似はニュートンの相互作用法則を提供する。フリードマンモデルは場方程式の解に対応し、観測される赤方偏移を提供する。局所的には、太陽の近くでの光線の曲がりと水星の近日点の進動も観測される。しかし、最近、フリードマンモデルとハッブル定数の測定との間にいくつかの不一致が生じ、現在の宇宙論者は非ゼロの宇宙定数を再導入し、神秘的な「真空の反発力」に対応させている。
では、今度は2枚の被覆構造に戻る。2つのテンソル場TとTを導入し、それらが被覆FとFの内容を記述すると仮定する。メトリックgとgから、幾何的テンソルSとSを定義できる。4つのテンソルS、S、T、Tを、アインシュタイン方程式をもとにした2つの結合場方程式に結びつけることができる（9）。
暗黒物質現象の最初の幾何的解釈。
以下の結合場方程式を考慮する：
本質的に、これらは同一であり、gはgに等しい：被覆Fの測地線の画像は被覆Fの測地線になる。これにより、2つの「並行宇宙」が得られ、これらは重力のみで相互作用する。暗黒物質は、我々と同様の原子、中性子、陽子、光子で構成されていて、幾何学的に観測できない「双子物質」である。ニュートン近似を調べると、次のポアソン方程式を得る：
このモデルでは：
- 物質は物質を引きつける、
- 双子物質は双子物質を引きつける、
- 物質と双子物質は互いに引きつける。
しかし、これだけではすべての観測データを説明するわけではない：もし幾何学的に見えない暗黒物質が私たちの宇宙の隣接部分、アベル1942クラスタの近くに存在しても、その引力場が私たちの銀河やガスを捕らえなかった理由を説明できない。したがって、我々は以下の式系（参照[3]および[4]）を検討する：
10)
暗黒物質現象の第二の幾何的解釈。
以下の結合場方程式系を考慮する：
注：これはg = – gを必ずしも含まない。ニュートン近似は第3節の仮説を支持する。次のポアソン方程式を得る：
我々は、双子宇宙、双子被覆が本質的に正の質量で満たされていると考え、場方程式の符号が私たちの被覆にいる観測者にとって負の質量のように見えることを好む。したがって、「見かけの質量」と呼ぶことができる。式(29) + (30)の対称性により、正のエネルギーと負のエネルギーの定義は純粋に任意である。古典的な局所的RGの検証はどうなるのか？この新しいモデルでは：
- 物質は物質を引きつける、ニュートンの法則に従って；
- 双子物質は双子物質を引きつける、ニュートンの法則に従って；
- 物質と双子物質は互いに反発する、いわゆる「反ニュートン的法則」に従って。
太陽系は宇宙の非常に密度の高い領域である。双子被覆の隣接部分では、双子物質は反発される。したがって、システムは非常に近くに：
に近い。第一の式はアインシュタイン方程式に等しいため、すべての古典的な検証が適用される。重力子はどうなるのか？彼らはどの経路をたどるのか？答えは2つの論点に依存する：
- 場方程式は、粒子の存在を無視し、測地線系のみを提供する宇宙のマクロ的記述を提供する。
- さらに：重力子とは何か？
最近、[49]で、太陽から40〜60 AU離れた場所で、探査機Pioneer 10とPioneer 11に異常な長距離（負）の加速度が確認された。太陽に向かって（8.09 ± 0.20）× 10⁻⁸ cm/s²のモデル化されていない加速度（Pioneer 10）と（8.56 ± 0.15）× 10⁻⁸ cm/s²（Pioneer 11）が観測され、説明されて「理解されていない粘性抵抗力」とされた。同様に、Ulysses探査機では太陽に向かって（12 ± 3）× 10⁻⁸ cm/s²のモデル化されていない加速度が見つかった。この興味深い論文の完全な議論を参照。著者たちは次のように述べている：
「パラダイムは明らかである：暗黒物質なのか、重力の修正なのか？」。著者たちは指摘しているように、この現象を説明するために暗黒物質が使われると、合計の暗黒物質質量が3 × 10⁻⁴太陽質量より大きいことになり、天文暦の精度と矛盾する。3次元ニュートリノモデルもこの問題を解決できなかった[50]。他の研究者はニュートンの法則を修正し、ヤウカの力をつけ加えようとしている[51]。しかし、「この異常な加速度は、特に地球と火星の軌道では検出を逃れることはできないほど大きすぎる」と述べている。したがって、彼らはViking探査機のデータに焦点を当て、次のように結論付けている。「大きな誤差は、全体の惑星の天文暦と矛盾するだろう…もし宇宙船の回転に作用する異常な径方向加速度が重力的起源を持つなら、それは普遍的ではない。つまり、1000kg程度の物体よりも惑星サイズの物体に100倍以上強く影響を与えるだろう（…）、これは等価原理の奇妙な違反となるだろう。この謎めいた現象の別の解釈は、銀河内で星の間にある弱く反発的な双子物質の分布が、スパイラル構造のように、弱いポテンシャルバリアを形成することである。検討する必要がある。」
11)
真空の反発力の問題。別の答え。
式(29)を検討すると、Tは「宇宙定数」として機能する。これは「双子宇宙の反発力」を表し、非定常結合解において役割を果たす可能性がある。均一性と等方性の仮定により、リーマンメトリックは次のようにロバートソン・ウォーカーの有名な形になる：
共役点間の距離（同じu、任意の点からの無次元の「半径距離」）は自動的に等しくない：
r = R u
.......................
r = R u
座標の選択は、それぞれの被覆で自由であり、異なる宇宙時間を持つことができる：
t と t
および
t R = c T R R = c T R
我々は、以下の式を用いて場方程式を無次元形式に変換する：
その後、無次元形式に書かれたこれらのテンソル：
最終的に、我々は4つの2次結合微分方程式を得る（古典的アプローチでは2つ）：
我々は追加の仮定が必要である。両方の宇宙が放射時代に「並行な人生」を持つと仮定する。つまり：
これは曲率インデックスの負（k = k' = –1）を強制する。その後、結合後、圧力項を無視する（粉塵宇宙）：
から、すぐに：
を取得する。両方の被覆に質量保存を導入する：
すると、システムは：
となる。
R = R' は R'' = R'' = 0 をもたらすことに注意する。
一方、両方の宇宙が「完全に結合されている」と仮定すれば、R/R' = 定数、この特別な解はフリードマンモデルに対応し、「並行な進化」を持つ。しかし、我々はこれらが重力場によって結合されていると考え、(54-a)と(54-b)を通じて、線形拡張が不安定であることを示す。例えば、R > R' であれば、R'' > 0 かつ R'' < 0 となる。
このシステムは数値的に解ける。典型的な解は図13に示される。数値はVLS数値シミュレーションの初期条件を満たすように選ばれた。放射時代の進化法則は第15節で正当化される。
図13：宇宙と双子宇宙のスケールパラメータの進化。
この2つの宇宙が重力で相互作用するシステムが不安定であることがわかる。もし一方の宇宙が双子によって加速されれば、もう一方は減速する。観測される私たちの宇宙の加速は、この双子宇宙の「反発力」によって引き起こされる。2つの宇宙の物語は異なる。私たちの宇宙はより冷たく、より希薄である。双子はより熱く、より密度が高い。これは第2節の仮説を正当化し、VLSを決定する。
私たちの双子宇宙の進化はどのようになるだろうか？我々が見たように、それは双子物質の巨大なクラスタで満たされており、巨大な初期星に似ており、その冷却時間は宇宙の年齢よりはるかに長い。双子宇宙では核融合は起こらない。我々は、最初の核合成の後に水素とヘリウムが残ると考えている。双子宇宙では生命の現象は存在しない。
12)
ニュートンの法則とポアソン方程式。
一般相対性理論では、ニュートンの法則とポアソン方程式は、ほぼ定常的でほぼローレンツ的なメトリック解を考慮することでアインシュタインの場方程式から導出できる。ここでは、2つの摂動されたメトリックを、無次元座標h（時間）とzᵃ（空間）で記述する。2つの場方程式を級数展開し、ほぼ均一な宇宙を考慮すると、次のようになる：
無次元重力ポテンシャルを導入する：
無次元ラプラシアン演算子を定義する：
これにより、無次元ポアソン方程式を得る：
古典的な識別法により、ニュートンの法則が得られる。被覆Fでは：
被覆F'では：
重力ポテンシャルは、それが属する被覆によって、テスト粒子（m = +1）に異なる影響を与える。一般的に、被覆Fに属するテスト粒子（m = +1）は次のようないくつかの重力ポテンシャル（無次元）に寄与する。
我々が確認できるように、結合された場方程式系は、最初に記事の冒頭で仮定されたニュートン近似に完全に対応するシステムの動的を決定する。このモデルでは、光の速度cとc'は異なる可能性がある（そして我々はそう考えている）。第11節で導入された次元量を用いることで、次のように次元付き法則に戻ることができる：
ニュートンの法則は、両方の被覆で表される：
ポアソン方程式は、両方の被覆で同様に表される。
13)
スカラーカーブ。
式(29) + (30)にはどのような幾何学的意味があるのか。スカラー曲率RとR'は逆である。この新しい幾何学的枠組みを教えるようなイメージを与えることができる。まず、この構造が多様体の2枚の被覆であることを思い出そう。我々は2つの異なる枚葉をもつが、結合された計量gとg'を持つ。これらは独立ではない。なぜなら、これらは場の式の解であるからである。それぞれが独自の測地線系を生成し、枚葉F内の測地線の枚葉F'内の画像は、その対応する枚葉F'の測地線ではない。光は両方の枚葉でゼロ測地線をたどるが、どちらの枚葉にも接続するゼロ測地線は存在しないため、ある枚葉の構造は、もう一方の枚葉にいる観測者には幾何学的に見えない。今、枚葉Fに質量が存在し、その隣接する枚葉F'の領域は空であると仮定する。対応する場の式のシステムは：
枚葉Fに存在する質量分布が半径r₀の球体で、一定の密度の物質で満たされ、空気で囲まれていると仮定する。すると、静的な枚葉Fにおける幾何学は、二つの結合されたシュワルツシルト解（内部と外部）に対応する。これらは式(68)の解である。枚葉Fでは、共役幾何学をもつ。スカラー曲率は逆でR' = –Rである。球体の外側（およびその対応する枚葉F'の外側）では、R = R' = 0である。内部ではスカラー曲率は一定である。この教育的モデルは、図15に示されるように、やや丸みを帯びた「ポジコン」に、やや丸みを帯びた「ネガコン」が対応する。やや丸みを帯びた「ポジコン」では、中央部は球の一部である。
図14：枚葉Fに質量が存在する。枚葉F'に負の曲率が誘発される。やや丸みを帯びた「ネガコン」では、この教育的2次元画像では、馬の鞍に相当する領域がある。以下に、枚葉Fにいる観測者がこの現象をどのように理解するかを示す平面図。観測者は質量M（灰色の円盤）と、自身の枚葉内で移動する質量の軌跡を観測できる。この軌跡は、このユークリッド的表現では「やや丸みを帯びたポジコン」の測地線の投影に対応する。観測者は、対応する枚葉F'で移動する「対応する物質」の軌跡を見ることはできない。その物質は質量によって反発される。
今、質量が対応する枚葉F'、つまり対応する空間に存在すると仮定する。状況は逆転する。図15を参照。この2次元の教育的画像では、枚葉Fはやや丸みを帯びた「ネガコン」に、枚葉F'はやや丸みを帯びた「ポジコン」に見える。Fの幾何学、特にシステムの幾何学的中心近くは、「VLS」内の「セル」の中心にある対応する物質のクラスタの近くに似ている。我々の枚葉を通過する光はそれを通過するが、散乱される。第3節および図7で述べたように、これはクラスタの直径が観測結果に合致するため、ある値を越えてはならないことを意味する。以下に、観測者がどの枚葉にいるかに応じて、この現象をどのように理解するかを示す2つの平面図。
太陽系は宇宙の非常に密度の高い部分である。隣接する二重構造の部分では、二重物質が押しのけられる。その後、このシステムは非常に近接している：
最初の式はアインシュタイン方程式に一致し、すべての古典的な検証が適合する。では重力子はどうだろうか？どの経路をたどるのか？答えは2つの論点から成る：
-
場の式は宇宙のマクロな記述を提供し、粒子の存在を無視し、単に測地線系を与える。
-
一方で：重力子とは何か？
最近、[49]では、太陽から遠く（40〜60 AU）にある宇宙探査機パイオニア10号と11号において、異常な長距離（負の）加速度が確認された。モデル化されていない加速度が太陽に向かって作用し、パイオニア10号では（8.09 ± 0.20）× 10 -8 cm/s 2、パイオニア11号では（8.56 ± 0.15）× 10 -8 cm/s 2 であり、これは「理解されていない粘性抵抗力」として記述された。同様に、ユリシス探査機においても太陽に向かうモデル化されていない加速度が確認され、（12 ± 3）× 10 -8 cm/s 2 であった。この興味深い論文で完全な議論を参照のこと。著者らは次のように述べている：
「パラダイムは明白である：これはダークマターか重力の修正かである。」と指摘したように、もし説明のためにダークマターが求められるならば、それは合計で3 × 10 -4 太陽質量以上のダークマターを意味し、これは天体の位置計算の精度に矛盾する。3次元ニュートリノモデルもこの問題を解決しなかった[50]。他の研究者はニュートンの法則を修正し、ユカワ力の追加を試みた[51]。しかし、「この異常な加速度は、特に地球や火星の惑星軌道において検出されなかったのは不思議である」と述べている。彼らはヴィーガー探査機のデータに焦点を当て、次のように結論付けた：「大きな誤差は全体的な惑星の位置計算に不一致をもたらすだろう。…もし回転する宇宙探査機に作用する異常な径方向加速度が重力の起源を持つのであれば、それは普遍的ではない。つまり、それは1000kg程度の物体に対して、惑星サイズの物体よりも100倍以上強く作用しなければならない（…）、これは等価原理の奇妙な破れとなるだろう。」この依然として謎めいた現象の別の解釈として、銀河内において星間で弱い反発的な二重物質分布が作用し、スパイラル構造のように弱いポテンシャル障壁を形成する可能性がある。調査が必要である。
真空中の反発力の問題。別の答え。
式（29）を見ると、Tは「宇宙定数」として作用する。これは「二重宇宙の反発力」を表し、非定常な結合解において役割を果たす可能性がある。一様性と等方性の仮定により、リーマン計量は次のようにロバートソン・ウォーカー形式になる：
共役点間の半径距離（同じu、非次元的な「半径距離」、任意の点を基準として）は自動的に等しくならない：
r = R u
.......................
r = R u
座標の選択は、それぞれの折り目において自由であり、異なる宇宙時間を持つことができる：
.
t
et
t R = c T R R = c T R
場の式を非次元形式に変換し、次のように使用する：
以降、非次元形式で書かれたこれらのテンソル：
最終的に、4つの2次元の結合微分方程式を得る（古典的アプローチでは2つ）。：
いくつかの追加仮説が必要である。2つの宇宙が放射期において「並行な人生」を持つと仮定する、つまり：
これは負の曲率指数（k = k = -1）を課す。結合後、圧力項を無視する（ダスト宇宙）：
これによりすぐに次の結果を得る：
両方の折り目で質量保存を導入する：
するとシステムは次のようになる：
R = R が与えられると、R" = R" = 0 となる。
一方、もし2つの宇宙が「完全に結合」されている、つまり R/R = 定数であれば、この特異な解は「並行な進化」を持つフリードマンモデルに対応する。しかし、私たちは重力場を通じて結合されていると考える（54-a）と（54-b）、これは線形拡張が不安定であることを示している。例えば、R > R であれば、R" > 0 と R" < 0 となる。
このシステムは数値的に解くことができる。典型的な解は図13に示されている。数値はVLS数値シミュレーションの初期条件に合うように選ばれた。放射期の進化の法則は第15節で正当化される。
図13：
宇宙とその二重宇宙のスケールパラメータの進化。
この2つの宇宙が重力で相互作用しているシステムが不安定であることがわかる。一つの宇宙がもう一つの宇宙によって押し進められると、もう一つの宇宙は遅くなる。観測されている私たちの宇宙の加速度は、その「二重宇宙の反発力」によって引き起こされる。2つの宇宙の歴史は異なる。私たちの宇宙はより冷たく、より希薄である。二重宇宙はより温かく、より密度が高い。これは第2節の仮定を正当化し、VLSを決定する。
私たちの二重宇宙の進化はどのようなものだろうか？私たちが見たように、それは巨大な二重物質の塊で満たされており、巨大な原始星に似ており、その冷却時間は宇宙の年齢よりもかなり長い。二重宇宙では核融合は起こらない。最初の核合成の後、水素とヘリウムで満たされていると考える。二重宇宙では生命現象は存在しない。
ニュートンの法則とポアソン方程式。
古典的一般相対性理論では、ニュートンの法則とポアソン方程式は、ほぼ定常状態とほぼローレンツ計量の解を考慮してアインシュタイン場方程式から導出される。ここでは、非次元座標で書かれた2つの摂動計量 h（時間）、z a（空間）がある。
場方程式を級数に展開し、ほぼ一様な宇宙を考慮すると、次の結果を得る：
非次元重力ポテンシャルを導入する：
非次元ラプラシアン演算子を定義する：
すると非次元ポアソン方程式を得る：
古典的な識別法によりニュートンの法則が得られる。折り目Fでは：
折り目Fでは：
重力ポテンシャルは(m = +1)のテスト粒子に異なる影響を与える。それが属する折り目に依存する。一般に、折り目Fに位置する(m = +1)の粒子は、（非次元）重力ポテンシャルに次の寄与を与える。
私たちが見るように、結合場方程式のシステムは、論文の冒頭で仮定として導入されたニュートン近似に対応するシステムのダイナミクスを完全に決定する。モデルでは光の速度cとcが異なる可能性がある（そして私たちはそれが異なると考える）。第11節で導入された次元量を使用して、次のように次元付き法則に戻ることができる：
二つの折り目に表されたニュートンの法則は次のようになる：
ポアソン方程式はどちらの折り目でも同じように表すことができる。13)
スカラー曲率。
式（29）と（30）の幾何的意味は何か？スカラー曲率RとRは逆である。この新しい幾何的枠組みを説明するための教育的イメージを提示できる。まず、構造が多様体の二重被覆であることを思い出そう。2つの異なる折り目が得られ、結合された計量gとgがある。これらは独立ではない。なぜなら、これらは場方程式系の解だからである。それぞれが独自の測地線系を生み出し、折り目Fの測地線の折り目Fにおける像は、その二重折り目Fの測地線ではない。光は両方の折り目でヌル測地線をたどるが、両者を結ぶヌル測地線は存在しないため、一つの折り目の構造は、もう一つの折り目にいる観測者には幾何的に見えない。今、折り目Fに質量が存在し、隣接する折り目Fの部分が空であると仮定する。対応する場方程式系は次のようになる：
この質量分布が半径r o の球体で、一定密度の物質で満たされ、空洞に囲まれていると仮定する。すると、折り目Fでの幾何は定常状態と仮定され、内部と外部の2つの連続したシュワルツシルト解（内部と外部）に対応する。これらは式（68）の解である。折り目Fでは、逆のスカラー曲率R = - Rを持つ結合された幾何が得られる。球体の外側（および折り目Fの対応する隣接空間の外側）ではR = R = 0 である。内部ではスカラー曲率は一定である。教育的モデルは、図15に示される「太いポジコン」に該当し、「太いネガコン」に結びついている。図15では、「太いポジコン」の中央部は球の一部である。
図14：
折り目Fに質量が存在する。折り目Fに誘導された負の曲率。
「太いネガコン」では、関連する領域はこの2次元教育的画像では馬の鞍に似ている。下には、折り目Fにいる観測者がこのように考える平面を示す。彼は質量M（灰色の円盤）と彼の折り目で移動する質量の経路を観測できる。「この質量によって引きつけられている」という経路は、このユークリッド的表現では「太いポジコン」の測地線の投影に相当する。観測者は、二重物質の粒子が二重折り目Fで移動し、この質量によって反発されている経路を見ることはできない。
今、質量が二重空間の折り目Fに存在すると仮定する。状況は逆転する。図15を参照。この2次元教育的画像に従って、折り目Fは「太いネガコン」に似ており、折り目Fは「太いポジコン」に似ている。Fの幾何は、システムの幾何的中心に近い部分は、VLS内の「セル」の中心に存在する二重物質の塊に似ている。私たちの折り目に光が通過するが、それは散乱される。第3節および図7で述べたように、これはクラムの直径が観測結果に適合するために計算されるある値よりも大きくならないことを意味する。下には、折り目Fまたは折り目Fにいる観測者がこの現象をどのように考えるかを示す2つの平面表現。
図15：
折り目Fに「二重物質」の質量が存在し、折り目Fは空である。
これはFに負（誘導された）曲率を生じさせる。
論文の要約
