1994年に『ニューヴォ・チメント』誌に掲載された論文の序論
この研究の出発点は1977年である。パリ科学アカデミーの『アカデミー・ド・サンス・コンテ・レンデュ』に掲載された2つの論文：
J.P.ペティ：「時間の矢が逆向きのエナンチオモルフな宇宙」、1977年5月8日号、第285巻、pp.1217-1221
J.P.ペティ：「時間の鏡における像との相互作用を示す宇宙」、1977年6月6日号、第284巻、Aシリーズ、pp.1413-1416
続く論文において、我々は、地球周辺（宇宙規模で）の点と、第二の宇宙における共役点との間の一点対一点の対応（対合写像）を、反対極性という関係を用いて試みた。これは、幾何学的対象の位相に関する仮定を前提としていた。しかし後に、この仮定は不要であることが判明した。なぜなら、局所的な構造（F, F*）は「スケルトン多様体」の二重被覆として定義できるからである。この構造は、射影空間P3の二重被覆として実現され、これは2次元の射影空間P2の3次元版に相当する。P2はよりよく知られたものであり、1902年にオーストリア人であるヴェルナー・ボーイが発見した表面（図184参照。原則としてアニメーションだが、サイトが完成すれば表示可能）がその代表的な表現である。
ボーイは大数学者ヒルベルトの弟子であった。ヒルベルトは弟子の発明に非常に満足していたと述べている。短い話だが、この発明の後、ボーイは大学を去り、その後一切消息を絶った。歴史家たちが彼の行方を追跡したが、すべての調査は無駄に終わった。彼が風邪で亡くなったのか、あるいは水道工として生涯を終えたのか、誰も知らない。
幾何学者は、球面S2のすべての点を射影平面P2に重ね合わせられることを知っている。これは次の論文の図10で示されている。北極が南極と一致し、赤道がボーイの表面の擬似赤道に沿って自身を巻きつける。この二重被覆は、論文の図11に示されている。少なくとも2次元では、この操作により鏡像的な物体が一致することに注意されたい。図12および図13は、このようにして「塊」が反対極領域の隙間にどのように位置するかを示す教育的図解である。
この二重被覆の構造は、3次元、さらには4次元へと拡張可能であり、球面S3およびS4がそれぞれ射影空間P3およびP4を被覆する。
さらに進む前に、読者にこの奇妙なボーイの表面の幾何学について馴染んでもらう。また、『トポロジコン』（ベルン出版、1984年）には、この対象のさまざまな表現が見られる。
読者に驚きをもたらすのは、この表面が自己交差する点の集合として、三葉草型の曲線（船の螺旋に似た）を持つことである。
左図では、三重点（3枚の面が交差する点）を可視化するために開口部が設けられている。この表面は非常に特異な存在に見える。実際、これは上記の3次元表現空間の概念を説明するのに非常に適した例である。
三重点Tと自己交差曲線は、すべて射影平面P2をR3に表現する方法に起因する。球面やトーラスはR3に埋め込み（plonger）可能であり、表面が自己交差しない、位相的に同値な表現が可能である。しかし、射影平面P2をR3に埋め込むことは不可能である。唯一可能なのは浸漬（immerger）である。したがって、上図の表面（ボーイの表面）は、P2をR3に浸漬したものである。2次元対象の浸漬とは、R3における表現方法の一つであり、その中には二重点の線（自己交差曲線）が存在し、その上では2つの接平面が存在し、さらに3枚の面が交差する三重点が多数存在する。ボーイの表面は、P2をR3に浸漬する無数の方法の一つにすぎない。他の浸漬方法は、サイトに掲載される予定の論文「射影平面のさまざまな顔」で見られる。
ボーイの表面の画像を得るのは比較的簡単である。我々が独自に考案し、発表したパラメトリック表現を用いればよい。→ 読者は、『数学』サブサイトにおいて、1981年にパリ科学アカデミーに掲載された論文の再録（J.ソリアウの協力あり。注：この人物は著名な数学者ではなく、彼の息子であるジェローム・ソリアウ。後に情報技術者となった）を見つけることができる。その参照は以下の通り：
「ボーイの表面の解析的表現」、パリ科学アカデミー『アカデミー・ド・サンス・コンテ・レンデュ』、第293巻（1981年10月5日）、第1シリーズ、pp.269-272
ここでは、表面が楕円形の子午線を持つことが示されている。この性質により、表面を容易に描画できる。以下は、『トポロジコン』という漫画の表紙に記載されたプログラムである。
BASICプログラム
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN(6*MU - P3)
110 E = 6.732 * SIN(3*MU - P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN(P8 * SIN(3*MU))
140 C2 = SQR(A * A + B * B) : C3 = (4 * D * E) / C2
160 CM = COS(MU) : SM = SIN(MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS(TE) : TS = B * SIN(TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM ここから3つの座標
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM 点を表示する命令
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
記録のため、この表面を楕円子午線を用いて表現できるという発見が、後に数学者アペリーが6次多項式の陰関数形で初めて表現するのを可能にした。すなわち：
f(x, y, z) = 0
この式はここでは再掲しない（非常に複雑であり、より単純な表現が存在すると確信しているが、それは別途サイトの『数学』欄に掲載される予定である）。
読者には、クラインの瓶の方がよく知られているだろう。これもR3に埋め込みすることは不可能である。その最も古典的な表現は、自己交差する集合が単一の閉曲線である浸漬として現れる。
クラインの瓶の二重被覆はトーラスT2であり、ボーイの表面（P2）の二重被覆も球面S2である。ボーイの表面に興味がある読者は、パリの「発見の宮殿」の展示室の一つに3次元模型を見つけることができる。この模型は、我々が作成したより粗いモデルをもとに、彫刻家マックス・ゾーズが製作したものである。
このような二重被覆の操作では、対象の子午線と緯線が自身の上に巻きつく。たとえば、トーラスの「緯線」（埋め込みと関連する）がどのように変化するかを示すことができる：
このトーラスの埋め込みでは、緯線は明らかに表面の測地線ではない（「首輪」の円を除く）。トーラスの子午線についても同様であり、それはその「...」の測地線である。