1
欠損質量問題
ジャン＝ピエール・ピエット
マルセイユ観測所、フランス
（Il Nuovo Cimento B 109巻 1994年7月、pp. 697-710）
要約
新しい場の式を提示し、S3 × R1のトポロジーと関連付ける。空間の任意の点sを反対側の領域A(s)に結びつける微分的自己同型写像Aを導入する。この式によれば、多様体の幾何学はエネルギー運動量テンソルTと反対極テンソルA(T)の両方に依存する。時間に依存しない計量、弱い場、および小さな速度を考慮すると、関連するポアソン方程式が導かれる。この方程式は、クラスター構造とハロ構造の反対極構造とが相互作用するような構造を提供する。2番目の構造は最初の構造の閉じ込めに役立つ。このモデルが欠損質量効果および宇宙の大規模構造を説明できる可能性が示唆される。
- 序論
銀河の平衡は、例えば、Vlasov方程式とポアソン方程式の連立した非相対論的式によって研究される。ポアソン方程式は、一般相対性理論の場の式
(1)
S = c T
に加え、弱い場と小さな速度を仮定する定常状態仮説から導かれる。我々の銀河の可視質量によって生じる重力場が遠心力と圧力によってバランスされないことはよく知られている。一部の人々は、不可視質量、つまり暗黒物質が場に寄与し、遠心力をバランスさせると仮定している。以降、我々は新しい場の式に基づく別のモデルを提案する。
- 新しい場の式
我々は、宇宙がS3 × R1のトポロジーを持つと仮定する。
ガウス座標は
(2)
x = (x°, s)
で、x°は時間のマーカーであり、ベクトルsは空間のマーカーを表す。時空は向き付けられている。与えられた点sを反対極点s*に結びつける微分的自己同型写像を定義することが可能である。
(3)
s* = A(s)
多様体上に定義された2つのテンソル場SとTを考える。これらが次の場の式によって関連付けられていると仮定する。
(4)
S = c (T - A(T))
ここで
(5)
A(T) = T* = T(x°, s*)
光は時空の測地線に従うと仮定する。
gは計量テンソルである。
Rはリッチテンソルであり、次のようになる。
(6)
g* = g(x°, s*)
R* = R(x°, s*)
我々は場の式をより明確な形で書くことができる。
(7)
テンソルTとT*を次のように書く。
(8)
(9)
ここで
r* = r(x°, s*)
p* = p(x°, s*)
発散ゼロの条件を課すと、流体は次の保存方程式に従う。
(10)
- 時間依存しない条件、弱い場と小さな速度。ポアソン方程式。
古典的な方法を適用し、準ローレンツ計量を取る。
(11)
g = h + ε g
ここでhはローレンツ計量であり、εは小さなパラメータである。
3次元記法では
(12)
ニュートンの法則は全空間に適用される。さらに、重力ポテンシャルは次のように定義される。
(13)
逆に、重力ポテンシャルYが与えられれば、計量テンソルのgoo項が次の形を持つとき、粒子の運動は4次元測地線に沿う。
(14)
我々は次の結果を得る。
(15)
識別により、次のポアソン方程式を得る。
(16)
ΔY = 4πG (ρ - ρ*)
対称性のある球対称系を考慮すると
(17)
ここで
(18)
ρ* = ρ(s*)
(17)より
(19)
Y* = -Y